Е.В. Троицкий - Аналитическая геометрия (лекции) (1113350), страница 14

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°¨ ½²®¬ ³±«®¢¨¥ ­¥¢»°®¦¤¥­­®±²¨ ¬ ²°¨¶» C £ ° ­²¨°³¥², ·²®¸²°¨µ®¢ ­­ ¿ ±¨±²¥¬ ¿¢«¿¥²±¿ °¥¯¥°®¬, ². ¥. «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬ .20102103‘«¥¤±²¢¨¥ 14.6.2311 1021 21031 3111221223132012 13122 232 32313 1002300330013…±«¨ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥2f23 233 3¿¢«¿¥²±¿ ´´¨­­»¬ ®²­®±¨²¥«¼­® ®¤-­®£® °¥¯¥° , ²® ¨ ®²­®±¨²¥«¼­® «¾¡®£®.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ f ¿¢«¿¥²±¿ ´´¨­­»¬ ®²­®±¨²¥«¼­® °¥¯¥° Oe e e , ²®£¤ 1 2 3¯® ²¥®°¥¬¥ ¨¬¥¾² ¬¥±²® ´®°¬³«» (18). ³±²¼ Oeee | ¯°®¨§¢®«¼­»© °¥¯¥°.³±²¼ D | ¬ ²°¨¶ ¯¥°¥µ®¤ ®² Oe e e ª Oeee, ² ª ·²®0 1 0 10 10 1 0 10 1xxxxxxCBCBB@ y CA = D B@ y CA + BCB@ y A ; @ y A = D @ y A + @ y CA :zzzzzz1 2 31 2 301 2 310011183’®£¤ ª®®°¤¨­ ²» (xe; ye; ze) ®¡° § Pe = f (P ) ¨ ª®®°¤¨­ ²» (x; y; z) ²®·ª¨ P ¢°¥¯¥°¥ O eee ±¢¿§ ­» ´®°¬³« ¬¨0e 10e1 0 10 10 1 0 1xxxxx C Bx CBCBCBCBCBee@ y A = D @ y A + @ y A = D C @ y A + D @ y A + @ y A =zezezzzz0 10 10 1 0 1xxxxBCBCBCB= D C D @ y A + D C @ y A + D @ y A + @ y CA:zzzz|{z}¯®±²®¿­­»© ¢¥ª²®°°¨¬¥­¿¿ ®¡° ²­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²¥®°¥¬», ¯®«³· ¥¬ ²°¥¡³¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥.2Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 14.7.

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“° ¢­¥­¨¿ ¯°¿¬»µ ¨ ¯«®±ª®±²¥© ¢ ¯¥°¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ²±®¢¯ ¤ ¾² ± ³° ¢­¥­¨¿¬¨ ¨µ ®¡° §®¢ ®²­®±¨²¥«¼­® ¢²®°®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ². ²®¤®ª §»¢ ¥² ¯³­ª² 1).³­ª² 2) ±«¥¤³¥² ¨§ ±«¥¤±²¢¨¿ ¯°® ®²®¡° ¦¥­¨¥ ¢¥ª²®°®¢.2‡ ¤ · 14. „®ª § ²¼ ®¡° ²­®¥: ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ¯«®±ª®±²¨ ¨«¨ ¯°®±²° ­±²¢ ±³±«®¢¨¿¬¨ 1) ¨ 2) ¿¢«¿¥²±¿ ´´¨­­»¬.14.1. ˆ§®¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 14.10. €´´¨­­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ­ §»¢ ¥²±¿ ¨§®¬¥²°¨·¥±ª¨¬(¨«¨ ¨§®¬¥²°¨¥© ), ¥±«¨ ®­® ±®µ° ­¿¥² ° ±±²®¿­¨¿ ¬¥¦¤³ ²®·ª ¬¨:(f (P ); f (Q)) = (P; Q):84‡ ¤ · 15. „®ª § ²¼, ·²® ´´¨­­®±²¨ ¬®¦­® ­¥ ²°¥¡®¢ ²¼, ².

¥. ¨§ ±®µ° ­¥­¨¿° ±±²®¿­¨¿ ´´¨­­®±²¼ ±«¥¤³¥² ¢±¥£¤ .°¥¤«®¦¥­¨¥ 14.11.„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ¢¥­±²¢® ²°¥³£®«¼­¨ª®¢, ¢ · ±²­®±²¨ ³£«®¢, ¯® ²°¥¬ ±²®°®­ ¬.ˆ§®¬¥²°¨¿ ±®µ° ­¿¥² ³£«» ¬¥¦¤³ ¯°¿¬»¬¨.2’¥®°¥¬ 14.12.³±²¼f | ´´¨­­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥, Oe e e1 2 3 | ¯°¿¬®³£®«¼­ ¿±¨±²¥¬ ª®®°¤¨­ ². ’®£¤ ±«¥¤³¾¹¨¥ ³±«®¢¨¿ ½ª¢¨¢ «¥­²­»:1) f | ¨§®¬¥²°¨¿;2) ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© °¥¯¥° O0 e0 e0 e0 = f (O)f (e )f (e )f (e ) ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¿¬®³£®«¼11 2 323­»¬;3)f¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ª®®°¤¨­ ²­®© § ¯¨±¨¬ ²°¨¶ C¿¢«¿¥²±¿ ®°²®£®-­ «¼­®©.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚²®°®© ¨ ²°¥²¨© ¯³­ª² ½ª¢¨¢ «¥­²­» ¯® ²¥®°¥¬¥ 7.8.ˆ§ 1) ±«¥¤³¥² 2) ² ª ª ª ¨§®¬¥²°¨¿ ±®µ° ­¿¥² ¤«¨­», ¯® ¯°¥¤«®¦¥­¨¾, ¨ ³£«».Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ²®·ª¨ P ¨ Q ¨¬¥¾² ª®®°¤¨­ ²» (x ; y ; z ) ¨ (x ; y ; z )±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ®²­®±¨²¥«¼­® ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬» Oe e e .

’®£¤ ¨µ ®¡° §»Pe ¨ Qe ¨¬¥¾² ²¥ ¦¥ ª®®°¤¨­ ²» ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ O0e0 e0 e0 . ® ´®°¬³«¥¤«¿ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ° ±±²®¿­¨¿ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ¨¬¥¥¬ ¢ ¯¥°¢®© ¨¢²®°®© ±¨±²¥¬ µ ±®®²¢¥²±²¢¥­­®:q(P; Q) = (x x ) + (y y ) + (z z ) ;qe Qe ) = (x x ) + (y y ) + (z z ) : 2(P;Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 14.13. °¥®¡° §®¢ ­¨¥, § ¤ ­­®¥ ¢ ­¥ª®²®°®© ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ´®°¬³« ¬¨1112221 2 31 2 311222211xe = x + a;2222112222ye = y;­ §»¢ ¥²±¿ ±ª®«¼§¿¹¥© ±¨¬¬¥²°¨¥©.

²® ª®¬¯®§¨¶¨¿ ±¨¬¬¥²°¨¨ ®²­®±¨²¥«¼­® ­¥ª®²®°®© ¯°¿¬®© ¨ ±¤¢¨£ ¢¤®«¼ ­¥¥.’¥®°¥¬ 14.14 (˜ «¿).‚±¿ª ¿ ¨§®¬¥²°¨¿ ¯«®±ª®±²¨ ¿¢«¿¥²±¿ «¨¡® ¯ ° ««¥«¼-­»¬ ¯¥°¥­®±®¬, «¨¡® ¯®¢®°®²®¬ ®²­®±¨²¥«¼­® ­¥ª®²®°®© ²®·ª¨, «¨¡® ±ª®«¼§¿¹¥©±¨¬¬¥²°¨¥© ®²­®±¨²¥«¼­® ­¥ª®²®°®© ¯°¿¬®©.85„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ¯®¬­¨¬, ·²® ®°²®£®­ «¼­»¥ ¬ ²°¨¶» 2 2 ¨¬¥¾² ®¤¨­ ¨§±«¥¤³¾¹¨µ ¢¨¤®¢:!cos'sin'C = sin ' cos ' ;!cos'sin'C = sin ' cos ' : ±±¬®²°¨¬ ±­ · « ¨§®¬¥²°¨¨ ± det C = 1 (¨§®¬¥²°¨¨ ¯¥°¢®£® °®¤ ). …±«¨ ' = 0,²® C = E ¨ f ¿¢«¿¥²±¿ ¯ ° ««¥«¼­»¬ ¯¥°¥­®±®¬:!!!xe = x + x :yeyy00…±«¨ ' 6= 0 (± ²®·­®±²¼¾ ¤® 2k), ²® ­ ©¤¥¬ ­¥¯®¤¢¨¦­»¥ ²®·ª¨ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ,². ¥. ² ª¨¥ P , ·²® f (P) = P.

ˆ¬¥¥¬ ¤«¿ ª®®°¤¨­ ² (x; y) ²®·ª¨ P ³° ¢­¥­¨¿(xe = x cos ' y sin ' + x = x ;ye = x sin ' + y cos ' + y = y(x(cos ' 1) y sin ' = x :x sin ' + y(cos ' 1) = y®±ª®«¼ª³ ' 6= 0, ²® cos ' 6= 1 ¨ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ±¨±²¥¬»sin ' = (cos ' 1) + sin ' 6= 0: cos ' 1 sin ' cos ' 1 000022‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ­¥¯®¤¢¨¦­ ¿ ²®·ª P(x; y) ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ¥¤¨­±²¢¥­­ .  ±±¬®²°¨¬ ­®¢³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ² (x0; y0), § ¤ ­­³¾ ±®®²­®¸¥­¨¿¬¨x0 = x x; y0 = y y(². ¥. ±¤¢¨­¥¬ ­ · «® ª®®°¤¨­ ² ¢ ²®·ª³ P). ‚ ­®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ´®°¬³«»¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ f ¡³¤³² ¨¬¥²¼ ¢¨¤xe0 = x0 cos ' y0 sin ';ye0 = x0 sin ' + y0 cos ';². ¥. ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯®¢®°®²®¬ ­ ³£®« '. ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ¨§®¬¥²°¨¾ ¢²®°®£® °®¤ : det C = 1.

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¥. ±ª®«¼§¿¹³¾ ±¨¬¬¥²°¨¾ ®²­®±¨²¥«¼­® ®±¨ O00x00.2‚ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¢¢¥¤¥¬ ±«¥¤³¾¹¨¥ ¯®­¿²¨¿:Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 14.15. ‚¨­²®¢®¥ ¢° ¹¥­¨¥ | ª®¬¯®§¨¶¨¿ ¯®¢®°®² ®²­®±¨²¥«¼­®­¥ª®²®°®© ¯°¿¬®© ¨ ±¤¢¨£ ¢¤®«¼ ­¥¥;±ª®«¼§¿¹ ¿ ±¨¬¬¥²°¨¿ | ª®¬¯®§¨¶¨¿ ±¨¬¬¥²°¨¨ ®²­®±¨²¥«¼­® ­¥ª®²®°®© ¯«®±ª®±²¨ ¨ ±¤¢¨£ ¯ ° ««¥«¼­® ¥©;§¥°ª «¼­®¥ ¢° ¹¥­¨¥ | ª®¬¯®§¨¶¨¿ ¯®¢®°®² ®²­®±¨²¥«¼­® ­¥ª®²®°®© ¯°¿¬®© ¨±¨¬¬¥²°¨¨ ®²­®±¨²¥«¼­® ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­®© ¥© ¯«®±ª®±²¨.°¥¦¤¥, ·¥¬ ¯¥°¥©²¨ ª ¯°®±²° ­±²¢¥­­®¬³ ­ «®£³ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬», ¤®ª ¦¥¬ ¢±¯®¬®£ ²¥«¼­³¾ «¥¬¬³.211‹¥¬¬ 14.16.2222221‹¾¡ ¿®°²®£®­ «¼­ ¿²°¥µ¬¥°­ ¿¢¥ª²®°, ®²¢¥· ¾¹¨© ±®¡±²¢¥­­®¬³ §­ ·¥­¨¾1¬ ²°¨¶ ¨¬¥¥²±®¡±²¢¥­­»©.„®ª § ²¥«¼±²¢®.

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’®£¤ ¢ ½²®¬ ¡ §¨±¥ ¬ ²°¨¶ f ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ¢¨¤:0 1 0 0 1C = @ 0 G A;0£¤¥ G | ®°²®£®­ «¼­ ¿ 2 2-¬ ²°¨¶ .³±²¼ det G = 1, ²®£¤ ¨§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ²¥®°¥¬»14.14 ±«¥¤³¥², ·²® e ¨ e!¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ·²® G = 10 01 , ¤«¿ ¬ ²°¨¶» f ¬» ¨¬¥¥¬ ¤¢¥¢®§¬®¦­®±²¨:01101 0 01 0 0C=B@ 0 1 0 CA ; C = B@ 0 1 0 CA :0 0 10 0 1® ²¥¬ ª®®°¤¨­ ² ¬, £¤¥ ( 1), ¯°®¨§¢¥¤¥¬ ±¤¢¨£, ª ª ¢ ²¥®°¥¬¥ 14.14.

‚ °¥§³«¼² ²¥¯®«³·¨¬ ¢ ­®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ¤¢ ¢ °¨ ­² ´®°¬³« f :xe0 = x0 + axe0 = x0ye0 = y0 + b ;ye0 = y0 + b :e(z0) = z0e(z0) = z0‚ ¯¥°¢®¬ ±«³· ¥ ¨¬¥¥¬ ±ª®«¼§¿¹³¾ ±¨¬¬¥²°¨¾, ¢® ¢²®°®¬ | ¢¨­²®¢®¥ ¢° ¹¥­¨¥­ ³£®« .!cos'sin'³±²¼ ²¥¯¥°¼ det G = 1. ’®£¤ G = sin ' cos ' . …±«¨ ' = 0, ²® ¯®«³· ¥¬«¨¡® ¯ ° ««¥«¼­»© ¯¥°¥­®± (· ±²­»© ±«³· © ¢¨­²®¢®£® ¢° ¹¥­¨¿), «¨¡®, ¥±«¨ ¢ «¥¢®¬ ¢¥°µ­¥¬ ³£«³ ±²®¨² ( 1), ±¤¥« ¢ ®¯¿²¼ ±¤¢¨£ \­ ¯®«®¢¨­³ ±¢®¡®¤­®£® ·«¥­ ",®²®¡° ¦¥­¨¥ ± ´®°¬³« ¬¨xe0 = x0ye0 = y0 + b ;ze0 = z0 + c². ¥.

±ª®«¼§¿¹³¾ ±¨¬¬¥²°¨¾. …±«¨ ' 6= 0, ²® ² ª ¦¥ ª ª ¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© · ±²¨¤®ª § ²¥«¼±²¢ ²¥®°¥¬» 14.14, ­ ©¤¥¬ ²®·ª³ (y; z) ¨ ¯°®¨§¢¥¤¥¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨©±¤¢¨£ ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ·²® ¢ ­®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² (x0; y0; z0) ´®°¬³«» f ¡³¤³²xe0 = x0 + aye0 = y0 cos ' z0 sin 'ze0 = y0 sin ' + z0 cos ':2883‚ ±«³· ¥ (+) ¯®«³·¨«¨ ¢¨­²®¢®¥ ¢° ¹¥­¨¥. ‚ ±«³· ¥ ( ), ±¤¥« ¢ ®¯¿²¼ ±¤¢¨£ \­ ¯®«®¢¨­³ ±¢®¡®¤­®£® ·«¥­ ", ¯®«³·¨¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ± ´®°¬³« ¬¨xe0 = x0ye0 = y0 cos ' z0 sin 'ze0 = y0 sin ' + z0 cos ';².

¥. §¥°ª «¼­®¥ ¢° ¹¥­¨¥.215. €´´¨­­ ¿ ¨ ¬¥²°¨·¥±ª ¿ ª« ±±¨´¨ª ¶¨¿ ª¢ ¤°¨ªŽ¯°¥¤¥«¥­¨¥ 15.1. „¢¥ ±³¹¥±²¢¥­­»¥ ª¢ ¤°¨ª¨(±®®²¢., ¬¥²°¨·¥±ª¨ )½ª¢¨¢ «¥­²­», ¥±«¨ ®¤­ ¨§ ­¨µ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯¥°¥¢¥¤¥­ ¢ ¤°³£³¾ ´´¨­­»¬ (±®®²¢.,¨§®¬¥²°¨·¥±ª¨¬) ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥¬ ª ª ¬­®¦¥±²¢® ²®·¥ª.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 15.2. „¢¥ ª¢ ¤°¨ª¨ ±¨«¼­® ´´¨­­® (±®®²¢., ¬¥²°¨·¥±ª¨ ) ½ª¢¨¢ «¥­²­», ¥±«¨ ®¤­ ¨§ ­¨µ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯¥°¥¢¥¤¥­ ¢ ¤°³£³¾ ´´¨­­»¬ (±®®²¢.,¨§®¬¥²°¨·¥±ª¨¬) ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥¬ ª ª ¬­®¦¥±²¢® ²®·¥ª ¨ ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®© ª°¨¢®© ¢ «¾¡®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ±®¢¯ ¤ ¥² (± ²®·­®±²¼¾ ¤® ­¥­³«¥¢®£® ¬­®¦¨²¥«¿)± ³° ¢­¥­¨¥¬ ¢²®°®© ª°¨¢®© ¢ ®²®¡° ¦¥­­®© ±¨±²¥¬¥.‡ ¬¥²¨¬, ·²® ®¡° § ±³¹¥±²¢¥­­®© ª¢ ¤°¨ª¨ ¯°¨ ´´¨­­®¬ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¨ |ª¢ ¤°¨ª , ¨¬¥¾¹ ¿ ¢ ®²®¡° ¦¥­­®¬ °¥¯¥°¥ ²® ¦¥ ³° ¢­¥­¨¥, ·²® ¨±µ®¤­ ¿ ª¢ ¤°¨ª ¢ ¨±µ®¤­®¬ °¥¯¥°¥.

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