Е.В. Троицкий - Аналитическая геометрия (лекции) (1113350), страница 16

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®ª ¦¥¬ ½²®, ­ ¯°¨¬¥°, ¤«¿ ³° ¢­¥­¨¿ ¢¨¤ x + y + = 0. ³±²¼ x = c x0 + c y0 + c z0 + c ¨y = c x0 + c y0 + c z0 + c , °¥§³«¼²¨°³¾¹¥¥ ¢»° ¦¥­¨¥ ­¥ § ¢¨±¨² ®² z0. ’®£¤ c c = c cc c = c cc c = c cc c = c c ;¢ · ±²­®±²¨, ¥±«¨ µ®²¿ ¡» ®¤­® ¨§ c ¨ c ®²«¨·­® ®² 0, ²® ¤¢¥ ¯¥°¢»¥ ±²°®ª¨¬ ²°¨¶» ¯¥°¥µ®¤ «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬» ¨ ¯®«³· ¥¬ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥.“° ¢­¥­¨¿ ° ±¯ ¤ ¾¹¨µ±¿ ¯®¢¥°µ­®±²¥© (11, 13, 15, 16, 17) ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ®¤­®§­ ·­® ² ª¦¥ ¨§ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨µ ±®®¡° ¦¥­¨© (²¥®°¨¿ ¯«®±ª®±²¥©).21321221222232211211 3112 3221 3122 3231 3132 321 312 323132952131116.1. Ž±­®¢­»¥ ¢¨¤» ¯®¢¥°µ­®±²¥© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ¨ ¨µ£¥®¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ±¢®©±²¢ 1) ½««¨¯±®¨¤.

xa + yb + zc = 1222222z6y6-aax®±ª®«¼ª³ jxj a, jyj b, jzj c, ²® ½««¨¯±®¨¤ ®£° ­¨·¥­.’¥®°¥¬ 16.5.«®±ª®¥ ±¥·¥­¨¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ¥±²¼ ª°¨¢ ¿ ¯®-°¿¤ª ­¥ ¢»¸¥ ¤¢³µ.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚»¡¥°¥¬ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ², ¢ ª®²®°®© ³° ¢­¥­¨¥ ¯«®±ª®±²¨:2z = 0. ’®£¤ ³° ¢­¥­¨¥ ±¥·¥­¨¿ G(x; y) := F (x; y; 0) = 0.‘«¥¤±²¢¨¥ 16.6.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ²® ¥¤¨­±²¢¥­­»¥ ­¥¯³±²»¥ ®£° ­¨·¥­­»¥ ª°¨¢»¥ 0, 1 ¨«¨ 2-£®¥¯³±²®¥ ¯«®±ª®¥ ±¥·¥­¨¥ ½««¨¯±®¨¤ | ½««¨¯± ¨«¨ ²®·ª .¯®°¿¤ª .23) ®¤­®¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ (°¨±. 5 a) xa + ybz =1cxy‚ ±¥·¥­¨¨ ¯«®±ª®±²¼¾ z = 0 ¯®«³· ¥²±¿ ½««¨¯± b + b = 1, ­ §»¢ ¥¬»© £®°«®¢»¬.Ž¤­®¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬ § ¬¥· ²¥«¼­»¬ ±¢®©±²¢®¬.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 16.7.  §®¢¥¬ ¯°¿¬®«¨­¥©­®© ®¡° §³¾¹¥© ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¯°¿¬³¾,¶¥«¨ª®¬ ¢ ­¥© ±®¤¥°¦ ¹³¾±¿. Š ª ¯° ¢¨«®, ½²® ¯®­¿²¨¥ ­¥ ¯°¨¬¥­¿¥²±¿ ª ° ±¯ ¤ ¾¹¨¬±¿ ¯®¢¥°µ­®±²¿¬.’¥®°¥¬ 16.8.®¡° §³¾¹¨µ.2222222222Ž¤­®¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ ¨¬¥¥² ¤¢ ±¥¬¥©±²¢ ¯°¿¬®«¨­¥©­»µ—¥°¥§ ª ¦¤³¾ ²®·ª³ ¯°®µ®¤¨² °®¢­® ®¤­ ¯°¿¬ ¿ ª ¦¤®£® ±¥¬¥©-±²¢ , ¨ ½²¨ ¤¢¥ ¯°¿¬»¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ °®¢­® ¯® ½²®© ²®·ª¥.

„¢¥ ° §«¨·­»¥ ¯°¿¬»¥¨§ ®¤­®£® ±¥¬¥©±²¢ ±ª°¥¹¨¢ ¾²±¿, ¨§ ° §­»µ | ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ ¨«¨ ¯ ° ««¥«¼­».96zz66@@@yy@: ,, @ @,,,@,@@@@@-x-x )¡)¨±. 5.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ³ª § ­­»¥ ±¢®©±²¢ ¿¢«¿¾²±¿ ´´¨­­»¬¨, ­¥¬¥²°¨·¥±ª¨¬¨, ¯®½²®¬³ ¤®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼ ²¥®°¥¬³ ¤«¿ £¨¯¥°¡®«®¨¤ x +y z =1. ¥°¥¯¨¸¥¬ ½²® ³° ¢­¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥2x2z =1 y ;222(x z)(x + z) = (1 y)(1 + y):2Ž²±¾¤ ±° §³ ¢¨¤¨¬ ¤¢ ±¥¬¥©±²¢ ¯°¿¬®«¨­¥©­»µ ®¡° §³¾¹¨µ:(((xz)=(1y)(x z) = (1 + y) ;I:II:(x + z) = (1 + y)(x + z) = (1 y)£¤¥ ¨ | ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ¢¥¹¥±²¢¥­­»¥ ·¨±« , ­¥ ®¡° ¹ ¾¹¨¥±¿ ¢ ­³«¼ ®¤­®¢°¥¬¥­­®. ’®£¤ = < 0; = + > 0; 2222² ª ·²® ¯ °» ¯«®±ª®±²¥© ¢ ¯¥°¥±¥·¥­¨¨ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¤ ¾² ¯°¿¬³¾.³±²¼ ²®·ª (x ; y ; z ) ¯°¨­ ¤«¥¦¨² £¨¯¥°¡®«®¨¤³.

’®£¤ , ¢§¿¢ ¤«¿ I = x + z¨ = 1 + y , ¤«¿ II | = x + z ¨ = 1 y , ¯®«³·¨¬ ¯°¿¬»¥, ¯°®µ®¤¿¹¨¥·¥°¥§ ¤ ­­³¾ ²®·ª³. ®±ª®«¼ª³ ®¤­® ¨§ ·¨±¥« 1 y ¨«¨ 1 + y ®²«¨·­® ®² 0, ²®¯ ° (; ) ®¯°¥¤¥«¥­ ¯® ²®·ª¥ (x ; y ; z ) ®¤­®§­ ·­® (± ²®·­®±²¼¾ ¤® ¬­®¦¨²¥«¿)¤«¿ ª ¦¤®£® ±¥¬¥©±²¢ . ˆ² ª, ·¥°¥§ ª ¦¤³¾ ²®·ª³ ¯°®µ®¤¨² °®¢­® ®¤­ ¯°¿¬ ¿ª ¦¤®£® ±¥¬¥©±²¢ .®ª ¦¥¬, ·²® ¤°³£¨µ ®¡° §³¾¹¨µ ­¥². „®¯³±²¨¬, ·²® ®¡° §³¾¹ ¿ ¯ ° ««¥«¼­ ¯«®±ª®±²¨ z = 0, ². ¥. ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ¯«®±ª®±²¨ z = z . ’®£¤ ®­ ¤®«¦­ ±®¤¥°¦ ²¼±¿ ¢ ®ª°³¦­®±²¨ x + y = 1 + z , ·²® ­¥¢®§¬®¦­®.

ˆ² ª, ¢±¿ª ¿ ®¡° §³¾¹ ¿¯¥°¥±¥ª ¥² z = 0, §­ ·¨², ¨ £®°«®¢®© ½««¨¯± (®ª°³¦­®±²¼). ‚ ±¨«³ ¢° ¹ ²¥«¼­®©000000000022000020970±¨¬¬¥²°¨¨ ¤®±² ²®·­® ¨±±«¥¤®¢ ²¼ ®¤­³ ¥£® ²®·ª³, ­ ¯°¨¬¥°, (1; 0; 0). ³±²¼ ·¥°¥§ ­¥¥ ¯°®µ®¤¨² ¯°¿¬®«¨­¥©­ ¿ ®¡° §³¾¹ ¿ ± ­¥ª®²®°»¬ ­ ¯° ¢«¿¾¹¨¬ ¢¥ª²®°®¬(; ; ):8>< x = 1 + ty = t>: z = t² ª ·²® ³° ¢­¥­¨¥ (°¥§³«¼² ² ¯®¤±² ­®¢ª¨ ¢ ³° ¢­¥­¨¥ £¨¯¥°¡®«®¨¤ )( + )t + 2t = 0¤®«¦­® ¨¬¥²¼ °¥¸¥­¨¥¬ «¾¡®¥ t, ®²ª³¤ (( + = 0 = 02 = 0 = 0222222222‡­ ·¨², ­ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° (± ²®·­®±²¼¾ ¤® ­¥­³«¥¢®£® ¬­®¦¨²¥«¿) ° ¢¥­(0; 1; 1), ².

¥. ¨¬¥¾²±¿ ¤¢¥ ¢®§¬®¦­®±²¨, ¨µ ¬» ³¦¥ ­ ¸«¨ | ½²® ¯°¿¬ ¿ ¯¥°¢®£®±¥¬¥©±²¢ ¨ ¯°¿¬ ¿ ¢²®°®£®. ˆ² ª, ¤°³£¨µ ®¡° §³¾¹¨µ ­¥².ˆ§ ­ «®£¨·­®£® ±®®¡° ¦¥­¨¿ ¯®«³· ¥¬, ·²® ¯°¿¬»¥ ®¤­®£® ±¥¬¥©±²¢ ­¥ ¬®£³²¯¥°¥±¥ª ²¼±¿. ³±²¼ ®­¨ ¯ ° ««¥«¼­» ®¤­®¬³ ¢¥ª²®°³ (; ; ). ‡­ ·¨², ®­ ¯ ° ««¥«¥­ ª ¦¤®© ¨§ 4-µ ¯«®±ª®±²¥©, ´¨£³°¨°³¾¹¨µ ¢ § ¯¨±¨ ¤¢³µ ¯°¿¬»µ ±¥¬¥©±²¢ .’®£¤ ®­ ¿¢«¿¥²±¿ ­¥­³«¥¢»¬ °¥¸¥­¨¥¬ ±¨±²¥¬» 4-µ «¨­¥©­»µ ³° ¢­¥­¨© ± ¬ ²°¨¶¥©0 1BB CCB@ 0 0 0 CA0 0 0…±«¨ = 0 = 0, ²® ¯°¿¬»¥ ±®¢¯ ¤ ¾². …±«¨ = 0 ¨ 0 6= 0, ².

¥. ¬®¦­® ±·¨² ²¼ = 0 = 1, ²® ° ­£ ­¥ ¬¥­¼¸¥ ²°¥µ (¯®±ª®«¼ª³ ¤®«¦­® ¡»²¼ 0 = u ¨ 0 = u).€­ «®£¨·­® ¢ ®¡° ²­®© ±¨²³ ¶¨¨. ‡­ ·¨², ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® = 0 = 1, ¨ 0| ­¥­³«¥¢»¥. ’®£¤ ¤«¿ ³±«®¢¨¿ rk < 3 ­¥®¡µ®¤¨¬® 1 = 1 1 = + 1 + 0 1 + 0 = 2(0 ) = 0; 0 0 0 1 0 1 22·²® ¢ ¤ ­­®© ±¨²³ ¶¨¨ ¢®§¬®¦­® ²®«¼ª® ¥±«¨ = 0 ¨ ¯°¿¬»¥ ±®¢¯ ¤ ¾². ˆ² ª, ¤¢¥¯°¿¬»¥ ®¤­®£® ±¥¬¥©±²¢ ±ª°¥¹¨¢ ¾²±¿.‘¥¬¥©±²¢ ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿, ² ª ª ª ®²®¡° ¦¥­¨¥ (x; y; z) 7! ( x; y; z) ¯¥°¥¢®¤¨² ¯°¿¬»¥ ®¤­®£® ±¥¬¥©±²¢ ¢ ¯°¿¬»¥ ¤°³£®£®, ¯ ° ««¥«¼­»¥ ±¢®¨¬ ¯°®®¡° § ¬.

„¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ ¡» ¯°¿¬ ¿ ¯°¨­ ¤«¥¦ « ®¡®¨¬ ±¥¬¥©²¢ ¬, ²® ¥¥ ®¡° § |² ª¦¥, ¨ ²¥¬ ± ¬»¬, ¬» ¨¬¥«¨ ¡» ¤¢¥ ¯ ° ««¥«¼­»¥ ¯°¿¬»¥ ¨§ ®¤­®£® ±¥¬¥©±²¢ .’¥¯¥°¼ ° ±±¬®²°¨¬ ¤¢¥ ¯°¿¬»¥ l ¨ l ¨§ ° §­»µ ±¥¬¥©±²¢. ³±²¼ | ¯«®±ª®±²¼,¯°®µ®¤¿¹ ¿ ·¥°¥§ l ¨ ­¥ª®²®°³¾ ²®·ª³ P 2 l , P 62 l . ®½²®¬³ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥1212981¯«®±ª®¥ ±¥·¥­¨¥ £¨¯¥°¡®«®¨¤ , ¿¢«¿¿±¼ ¯® ²¥®°¥¬¥ 16.5 ª°¨¢®© ¯®°¿¤ª ­¥ ±² °¸¥2, ¤®«¦­® ¡»²¼ ¯ °®© ¯ ° ««¥«¼­»µ ¨«¨ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ. Ž¤­ ¨§ ­¨µ| l , ¤°³£ ¿ | ­¥ª®²®° ¿ ¯°¿¬®«¨­¥©­ ¿ ®¡° §³¾¹ ¿ l 3 P . Ž­ ­¥ ±®¢¯ ¤ ¥²¨ ­¥ ±ª°¥¹¨¢ ¥²±¿ ± l , ¯®½²®¬³, ¯® ¤®ª § ­­®¬³, ­¥ ¬®¦¥² ¯°¨­ ¤«¥¦ ²¼ ¯¥°¢®¬³±¥¬¥©±²¢³, §­ ·¨², ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¢²®°®¬³, ¨ ¢ ±¨«³ ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨ ¯°¿¬®© ¢²®°®£®±¥¬¥©±²¢ , ¯°®µ®¤¿¹¥© ·¥°¥§ P , ±®¢¯ ¤ ¥² ± l .2x4) ¤¢³¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ (°¨±.

5 ¡) a yb + zc = 1«®±ª®±²¼ z = 0 ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¥² £¨¯¥°¡®«®¨¤ ¨ ° §¤¥«¿¥² ¥£® ­ ¤¢¥ · ±²¨, ­ §»¢ ¥¬»¥ ¯®«®±²¿¬¨ .112222222’¥®°¥¬ 16.9.„®ª § ²¥«¼±²¢®. °¿¬®«¨­¥©­ ¿ ®¡° §³¾¹ ¿ ­¥ ¬®¦¥² ¯¥°¥±¥ª ²¼ ¯«®±ª®±²¼ z =„¢³¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ ­¥ ¨¬¥¥² ¯°¿¬®«¨­¥©­»µ ®¡° §³¾¹¨µ.0. ‡­ ·¨², ®­ «¥¦¨² ¢ ¯«®±ª®±²¨ z = z .

® ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ ¯«®±ª®¥ ±¥·¥­¨¥x +y =z 1a b c®£° ­¨·¥­® (½««¨¯±, ²®·ª ¨«¨ ;) ¨ ­¥ ¬®¦¥² ±®¤¥°¦ ²¼ ¯°¿¬³¾.2xyz5) ª®­³± ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª (°¨±. 6 )) a + b c = 0z60@@@@:@@@@@@@@y-x )2222202222222OEALC ECLA EC LA E C LA E C LAE C LA O¡)%,,%,, %, % , % ¢)¨±. 6.‡ ¬¥²¨¬, ·²® ³° ¢­¥­¨¥ ®¤­®°®¤­® (¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ): F (x; y; z) =; 2 F (x; y; z), ¨ ² ª¨¬ ®¡° §®¬, «¾¡ ¿ ¯°¿¬ ¿, ±®¤¥°¦ ¹ ¿ O ¨ ­¥ª®²®°³¾ ¤°³£³¾²®·ª³ ª®­³± , ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¿¬®«¨­¥©­®© ®¡° §³¾¹¥©.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 16.10. ³±²¼ | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ª°¨¢ ¿, «¥¦ ¹ ¿ ¢ ¯«®±ª®±²¨ , ²®·ª O ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦¨² . Š®­¨·¥±ª®© ¯®¢¥°µ­®±²¼¾ ­ ¤ ± ¶¥­²°®¬ ¢ O ­ §»¢ ¥²±¿ ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ ¢±¥µ ¯°¿¬»µ ¢¨¤ OX , X 2 (°¨±. 6 ¡)). °¿¬»¥ OX ­ §»¢ ¾²±¿®¡° §³¾¹¨¬¨, ª°¨¢ ¿| ­ ¯° ¢«¿¾¹¥© ª®­¨·¥±ª®© ¯®¢¥°µ­®±²¨.99’¥®°¥¬ 16.11.Š®­¨·¥±ª ¿ ¯®¢¥°µ­®±²¼ ­ ¤ ½««¨¯±®¬ ¿¢«¿¥²±¿ ª®­³±®¬ ¢²®°®£®¯®°¿¤ª .„®ª § ²¥«¼±²¢®.

‚»¡¥°¥¬ ² ª³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ² ± ¶¥­²°®¬ ¢ O, ·²® ¯«®±ª®±²¼ § ¤ ¥²±¿ ³° ¢­¥­¨¥¬ z = h 6= 0 (°¨±. 6 ¢)). …±«¨ ¬» ¢»¡¥°¥¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ®±¥©Ox ¨ Oy ¯ ° ««¥«¼­® £« ¢­»¬ ®±¿¬ ½««¨¯± , ²® ³° ¢­¥­¨¥ ½««¨¯± ¢ ¯«®±ª®±²¨ ¯°¨¬¥² ¢¨¤:F (x; y) = a (x x ) + a (y y ) 1 = 0;£¤¥ 0 < a a . ’®£¤ ³° ¢­¥­¨¥ ª®­¨·¥±ª®© ¯®¢¥°µ­®±²¨ ­ ¤ ­¨¬:x y (x; y; z) = z F z h; z h = 0:„¥©±²¢¨²¥«¼­®, ²®·ª x (yx; y; z), z 6= 0, ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¯®¢¥°µ­®±²¨ x ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®y£¤ , ª®£¤ ²®·ª z h; z h; h ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ª°¨¢®©, ². ¥.

F z h; z h = 0. ® ¯°¨±¤¥« ­­®¬ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¨ z 6= 0 ¤ ­­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ° ¢­®±¨«¼­® ¢»¢®¤¨¬®¬³. Ž±² «®±¼ ¤®ª § ²¼, ·²® ¯°¨ z = 0 ¢»¢®¤¨¬®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ®¯°¥¤¥«¥­® ¨ ¥£® ¬­®¦¥±²¢®°¥¸¥­¨© ±®¢¯ ¤ ¥² ± O. Ž¯°¥¤¥«¥­­®±²¼ ±«¥¤³¥² ¨§ ²®£®, ·²® ¢® ¢²®°®¬ ±®¬­®¦¨²¥«¥ ±²¥¯¥­¼ 1=z ° ¢­ 2 ¨ ¯°¨ ³¬­®¦¥­¨¨ ¯°®¯ ¤ ¥². ®±«¥ ³¬­®¦¥­¨¿ ³° ¢­¥­¨¥¯°¥¢° ¹ ¥²±¿ (¯°¨ z = 0) ¢ h q(x; y) = 0. ®±ª®«¼ª³ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ­ ¯° ¢«¥­¨©³ ½««¨¯± ­¥², ²® x = y = 0.ˆ² ª,x x y y !(x; y; z) = z a1 = 0:z h +az h®±«¥ § ¬¥­» x0 = x x , y0 = y y , z0 = z ¯®«³· ¥¬(x0; y0; z0) = a h (x0) + a h (y0) (z0) = 0;².

¥. ª®­³±.2‡ ¤ · 16. —²® ¯°¥¤±² ¢«¿¾² ±®¡®© ª®­¨·¥±ª¨¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨ ­ ¤ £¨¯¥°¡®«®© ¨¯ ° ¡®«®© ? Ž²¢¥²: ®¡»·­»© ª®­³± ¡¥§ ¤¢³µ ¨«¨ ®¤­®© ¯°¿¬®©.7) ½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤ (°¨±. 7 )) xp + yq = 2z111102220222222201102022011222222222’¥®°¥¬ 16.12.„®ª § ²¥«¼±²¢®. „®±«®¢­® ª ª ± ¤¢³¯®«®±²­»¬ £¨¯¥°¡®«®¨¤®¬.8) £¨¯¥°¡®«¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤ (°¨±. 7 ¡)) xp yq = 2zŽ¯°¥¤¥«¥­¨¥ 16.13. ¥­³«¥¢®© ¢¥ª²®° (; ; ) § ¤ ¥²««¨¯²¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤ ­¥ ¨¬¥¥² ¯°¿¬®«¨­¥©­»µ ®¡° §³¾¹¨µ.222 ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ­ ¯° -F = 0, ¥±«¨ ®­ ®¡³«¿¥² ª¢ ¤° ²¨·­³¾ ´®°¬³ ³° ¢­¥­¨¿q(; ; ) = a + a + a + 2a + 2a + 2a = 0:¢«¥­¨¥ ¤«¿ ¯®¢¥°µ­®±²¨112222332100121323zz66y-xy-x¡) )¨±. 7.’¥®°¥¬ 16.14.€±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ­¥ § ¢¨±¿² ®² ¢»¡®° ±¨±²¥¬»ª®®°¤¨­ ².„®ª § ²¥«¼±²¢®.

„®±«®¢­®, ª ª ¤«¿ ª°¨¢»µ.’¥®°¥¬ 16.15.2°¿¬®«¨­¥©­»¥ ®¡° §³¾¹¨¥ «¾¡®© ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¨¬¥¾² ±¨¬¯²®-²¨·¥±ª®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥.„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼8>< x = x + ty = y + t>: z = z + t| ¯°¿¬®«¨­¥©­ ¿ ®¡° §³¾¹ ¿. ®¤±² ¢¨¢ ¢ ³° ¢­¥­¨¥ F = 0, ¯®«³·¨¬ F t + 2F t +F = 0 ¤«¿ «¾¡®£® t. ‡­ ·¨², F = q(; ; ) = 0.200020’¥®°¥¬ 16.16.212ƒ¨¯¥°¡®«¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤ ¨¬¥¥² ¤¢ ±¥¬¥©±²¢ ®¡° §³¾¹¨µ,¯°®µ®¤¿¹¨µ ·¥°¥§ ª ¦¤³¾ ²®·ª³.

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