Е.В. Троицкий - Аналитическая геометрия (лекции) (1113350), страница 15

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F (x0; y0) = 0 ¨ ²®, ·²® ¯®«³· ¥²±¿ § ¬¥­®© ª®®°¤¨­ ², ². ¥.F 0(x0; y0) = F (x(x0; y0); y(x0; y0)) = 0. ® ¯®±ª®«¼ª³ ª¢ ¤°¨ª ±³¹¥±²¢¥­­ ¿, ²® ®­¨®²«¨· ¾²±¿ «¨¸¼ ­ ­¥­³«¥¢®© ¬­®¦¨²¥«¼. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, F (x0; y0) = 0 | ª ­®­¨·¥±ª®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¨ ¤«¿ ¢²®°®© ª¢ ¤°¨ª¨.Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¥±«¨ ¤®¡ ¢¨²¼ ³±«®¢¨¥ ±¨«¼­®© ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨, ²® ®² ±³¹¥±²¢¥­­®±²¨ ¢ ¯®±«¥¤­¥¬ ° ±±³¦¤¥­¨¨ ¬®¦­® ®²ª § ²¼±¿.21221‹¥¬¬ 15.4.„«¿ «¾¡®© ª¢ ¤°¨ª¨ ±³¹¥±²¢³¥² ´´¨­­ ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨­ ², ¢ª®²®°®© ®­ ¨¬¥¥² ®¤­® ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ³° ¢­¥­¨©:1)2)3)4)5)6)7)8)9)xxxxxyyyy222222222+ y = 1, ½««¨¯±;+ y = 1, ¬­¨¬»© ½««¨¯±;+ y = 0, ¯ ° ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¬­¨¬»µ ¯°¿¬»µ;y = 1, £¨¯¥°¡®« ;y = 0, ¯ ° ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ;2x = 0, ¯ ° ¡®« ;1 = 0, ¯ ° ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯°¿¬»µ;+ 1 = 0, ¯ ° ¬­¨¬»µ ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯°¿¬»µ;= 0, ¯ ° ±®¢¯¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ.22222„®ª § ²¥«¼±²¢®.

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 ¯°¨¬¥°, ° ±±¬®²°¨¬ ª°¨¢³¾x 4xy + 6y + 2x + 4y 10 = 0;(x 2y + 1) 4y + 4y 1 + 6y + 4y 10 = 0;(x 2y + 1) + 2y + 8y 11 = 0;pp(x 2y + 1) + ( 2y + 2 2) 8 11 = 0;pp!!x p2y + 1 + 2yp+ 2 21 = 0;1919(x0) + (y0) 1 = 0;½««¨¯±. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¢±¥£¤ ¨¬¥¥¬ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ± ²°¥³£®«¼­®© ¬ ²°¨¶¥©, ². ¥.­¥¢»°®¦¤¥­­®¥.222222222222216. ®¢¥°µ­®±²¨ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ®¢¥°µ­®±²¨ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª § ¤ ¾²±¿ ¢ ­¥ª®²®°®© ´´¨­­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ³° ¢­¥­¨¥¬F (x; y; z) = |a x + a y + a z + {z2a xy + 2a xz + 2a yz} +q(x; y; z)ª¢ ¤° ²¨·­ ¿ · ±²¼+2| a x + 2a{z y + 2a z}+a = 0:(19)l(x; y; z)®¤­®°®¤­ ¿ «¨­¥©­ ¿ · ±²¼°¨ ½²®¬ ²°¥¡³¥²±¿, ·²®¡» ª¢ ¤° ²¨·­ ¿ · ±²¼ ¡»« ®²«¨·­ ®² ­³«¿. …±«¨ ¢¢¥±²¨®¡®§­ · ¥­¨¿0a a a a 1010 1a a axBCaaaaBCBCBCA ;Q := @ a a a A ; A := BC;L:=(a;a;a);X:=y@@a a a a Aa a aza a a a1122221111213122223132333332122323011121311222232132333312309113123²® ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¨¬¥² ¢¨¤0x1B y CCX T QX + LX + a = (x; y; z; 1)A BB@ z CA = 0:(20)1Š ª ¨ ° ­¼¸¥ ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ª¢ ¤°¨ª®© ¬­®£®·«¥­ ¢²®°®© ±²¥¯¥­¨ ± ²®·­®±²¼¾¤® ³¬­®¦¥­¨¿ ­ ­¥­³«¥¢®© ¬­®¦¨²¥«¼.®ª ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®³£®«¼­®©.0’¥®°¥¬ 16.1 (¨§ ª³°± «¨­¥©­®© «£¥¡°»).³±²¼±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² § ¤ ­ ª¢ ¤° ²¨·­ ¿ · ±²¼¢­¥ª®²®°®©q(x; y; z).¯°¿¬®³£®«¼­®©’®£¤ ­ ©¤¥²±¿ ¤°³£ ¿¯°¿¬®³£®«¼­ ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨­ ² ± ²¥¬ ¦¥ ­ · «®¬, ¢ ª®²®°®© ª¢ ¤° ²¨·­ ¿· ±²¼ ¯°¨¬¥² ¤¨ £®­ «¼­»© ¢¨¤q0(x0; y0; z0) = (x0) + (y0) + (z0) ;21£¤¥ ; ;123 | ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿·«¥­ 22Q, ².

¥.23ª®°­¨ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬­®£®-Q() = det (Q E ) = 0;e0 ; e0 ; e0 ¿¢«¿¾²±¿ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬¨ ­®¢»¥ ¡ §¨±­»¥ ¢¥ª²®° 123±®¡±²¢¥­­»¬¨¢¥ª²®° ¬¨. ‚ · ±²­®±²¨, ¢±¥ ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿ ¢¥¹¥±²¢¥­», ±®¡±²¢¥­­»¥¢¥ª²®° , ®²¢¥· ¾¹¨¥ ° §«¨·­»¬ ±®¡±²¢¥­­»¬ §­ ·¥­¨¿¬, ®°²®£®­ «¼­».‹¥¬¬ 16.2.„«¿«¾¡®£®¬­®£®·«¥­ ¢²®°®©±²¥¯¥­¨¢¯°®±²° ­±²¢¥±³¹¥-±²¢³¥² ¯°¿¬®³£®«¼­ ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨­ ², ¢ ª®²®°®© ®­ ¯°¨­¨¬ ¥² ®¤¨­ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¯¿²¨ ¢¨¤®¢:(i)(ii)(iii)(iv)(v)F = xF = xF = xF = xF = x1111122222+ y + z +( 6= 0);+ y + 2b z ( b 6= 0);+ y +( 6= 0);+ 2c y ( c 6= 0);+( 6= 0):2222322131212232 321 21„®ª § ²¥«¼±²¢®.

‚ ±¨«³ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬» ¬®¦¥¬ ­ ©²¨ ² ª³¾ ¯°¿¬®³£®«¼­³¾ ±¨±²¥¬³, ¢ ª®²®°®© ª¢ ¤° ²¨·­ ¿ · ±²¼ ¤¨ £®­ «¼­ , ². ¥.F = x + y + z + 2b x + 2b y + 2b z + b = 0:1222321 ±±¬®²°¨¬ ¢±¥ ¢®§¬®¦­»¥ ±«³· ¨.92230(i) °¨ =6 0 ¨¬¥¥¬!!!bbbF = x+ + y+ + x+ + b123211112232(b )2303(b )211(b )22322!3== (x0) + (y0) + (z0) + :(ii) °¨ = 0 ¨ 6= 0 ¨¬¥¥¬!!!bb(b)(b)F = x + + y + + 2b z + b = 00= (x ) + (y ) + 2b z + = x + y + 2b z + 2b = x + y + 2b z0:(iii) °¨ = = 0 ¨ 6= 0 ¨¬¥¥¬!!!bb(b)(b)F = x+ + y+ + b =2131223222210213221322232211211323322112233111222112202212122= (x0) + (y0) + :(iv) ³±²¼ = = 0 , 6= 0 ¨ µ®²¿ ¡» ®¤¨­ ¨§ b ¨ b ­¥ ° ¢¥­ ­³«¾. ’®£¤ ¨¬¥¥¬!!b(b)00F = x + + 2b y + 2b z + b = (x ) + 2c y ;£¤¥qc = (b ) + (b )x0 = x + b ;!!(b)110y = qb y+b z+ 2 b(b ) + (b )z0 = q 1( b y + b z) :(b ) + (b )213222111222131223232223322221121210332210212’ ª ¿ \­®°¬¨°®¢ª " ´³­ª¶¨© ¯¥°¥µ®¤ £ ° ­²¨°³¥² ®°²®£®­ «¼­®±²¼ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ¬ ²°¨¶» ¨, ²¥¬ ± ¬»¬, ®°²®£®­ «¼­®±²¼ § ¬¥­».…±«¨ ¦¥ b = b = 0, ²® ¬» ±° §³ ¨¬¥¥¬ ¢»° ¦¥­¨¥ ª®­¥·­®£® ¢¨¤ .(v) ³±²¼ = = b = b = 0 ¨ 6= 0.

’®£¤ ¨¬¥¥¬!!b(b)0F = x+ + b = (x ) + :233221‹¥¬¬ ¤®ª § ­ .31112029311212’¥®°¥¬ 16.3.„«¿ «¾¡®© ª¢ ¤°¨ª¨ ±³¹±²¢³¥² ¯°¿¬®³£®«¼­ ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨-­ ², ¢ ª®²®°®© ®­ ¨¬¥¥² ®¤¨­ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ 17 ¢¨¤®¢:1) xa + yb + zc = 1 (a b c > 0) (½««¨¯±®¨¤);2) xa + yb + zc = 1 (a b c > 0) (¬­¨¬»© ½««¨¯±®¨¤);3) xa + yb zc = 1 (a b > 0) (®¤­®¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤);x y + z = 1 (a b > 0) (¤¢³¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤);4)a b cx5) a + yb zc = 0 (a b > 0) (ª®­³± (¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ));6) xa + yb + zc = 0 (a b > 0) (¬­¨¬»© ª®­³± (¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ));7) xp + yq = 2z (p q > 0) (½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤);8) xp yq = 2z (p q > 0) (£¨¯¥°¡®«¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤);9) xa + yb = 1 (a b > 0) (½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¶¨«¨­¤°);10) xa + yb = 1 (a b > 0) (¬­¨¬»© ½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¶¨«¨­¤°);11) xa + yb = 0 (a b > 0) (¤¢¥ ¬­¨¬»¥ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¥±¿ ¯«®±ª®±²¨);12) x y = 1 (a b > 0) (£¨¯¥°¡®«¨·¥±ª¨© ¶¨«¨­¤°);a bx13) a yb = 0 (a b > 0) (¤¢¥ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¥±¿ ¯«®±ª®±²¨);14) y = 2px (p > 0) (¯ ° ¡®«¨·¥±ª¨© ¶¨«¨­¤°);15) y = a(a > 0) (¤¢¥ ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯«®±ª®±²¨);16) y = a(a > 0) (¤¢¥ ¬­¨¬»µ ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯«®±ª®±²¨);17) y = 0(¤¢¥ ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯«®±ª®±²¨):„®ª § ²¥«¼±²¢®.

‘­ · « ¯°¨¬¥­¿¥¬ «¥¬¬³, ¯®²®¬ ¤«¿ ª ¦¤®£® ¨§ ²¨¯®¢ (i){(v)° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ¢±¥ ±«³· ¨.  ¯°¨¬¥°, ¢®§¼¬¥¬ (i). ‚®§¬®¦­» ±«³· ¨:…±«¨ ¢±¥ i ®¤­®£® §­ ª , | ¯°®²¨¢®¯®«®¦­®£®, ²® ¤¥«¥­¨¥¬ ­ t ¨ ¯¥°¥¬¥­®©®±¥© ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ 1) (½««¨¯±®¨¤).…±«¨ ¢±¥ i ¨ ®¤­®£® §­ ª , ²® ¤¥«¥­¨¥¬ ­ t ¨ ¯¥°¥¬¥­®© ®±¥© ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ 2) (¬­¨¬»© ½««¨¯±®¨¤).…±«¨ ¢±¥ i ®¤­®£® §­ ª , = 0, ²® ¯¥°¥¬¥­®© ®±¥© ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª¢¨¤³ 6) (¬­¨¬»© ª®­³±).…±«¨ i ° §­»µ §­ ª®¢, = 0, ²® ¯¥°¥¬¥­®© ®±¥© ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³5) (ª®­³±).…±«¨ i ° §­»µ §­ ª®¢, ¯°¨·¥¬ ³ ®¤­®£® ²®² ¦¥ §­ ª, ·²® ¨ ³ , ²® ¯¥°¥¬¥­®© ®±¥©¨ ¤¥«¥­¨¥¬ ­ t ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ 3) (®¤­®¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤).22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222294…±«¨ i ° §­»µ §­ ª®¢, ¯°¨·¥¬ ³ ¤¢³µ ²®² ¦¥ §­ ª, ·²® ¨ ³ , ²® ¯¥°¥¬¥­®© ®±¥©¨ ¤¥«¥­¨¥¬ ­ t ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ 4) (®¤­®¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤).’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ±«³· © (i) ¤ ¥² 1){6).

€­ «®£¨·­® ± ¤°³£¨¬¨:(i) 1, 2, 3, 4, 5, 6(ii) 7, 8(iii) 9, 10, 11, 12, 13(iv) 14(v) 15, 16, 172’¥®°¥¬ 16.4.ª®®°¤¨­ ²,)Š ­®­¨·¥±ª®¥®¯°¥¤¥«¥­®³° ¢­¥­¨¥,(¤«¿®¤­®§­ ·­®¢®²«¨·¨¥¢¨¤®¢®²ª ­®­¨·¥±ª®©5; 6; 11; 13|±±¨±²¥¬»²®·­®±²¼¾¤®¬­®¦¨²¥«¿ .„®ª § ²¥«¼±²¢®. ’ ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ ±«³· ¥ ª°¨¢»µ, ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ª®½´´¨¶¨¥­²» (¢ · ±²­®±²¨, ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ¨ ±«¥¤ S ) ¨ ª®°­¨ i µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬­®£®·«¥­ ¬ ²°¨¶» Q ¿¢«¿¾²±¿ ®°²®£®­ «¼­»¬¨ ¨­¢ °¨ ­² ¬¨, ² ª¦¥ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ¬ ²°¨¶» A.

’ ª¦¥ ¨­¢ °¨ ­²­» ° ­£¨ r ¨ R ¬ ²°¨¶ Q ¨ A.’®£¤ ¯®¢¥°µ­®±²¼ ®¤­®§­ ·­® ®²­®±¨²±¿ ª ®¤­®¬³ ¨§ ²¨¯®¢ (i){(v), ² ª ª ª(i) r = 3; R = 3 ¨«¨ R = 4(ii)r = 2, R = 4(iii) r = 2, R = 2 ¨«¨ R = 3(iv)r = 1, R = 3(v) r = 1, R = 1 ¨«¨ R = 2‚­³²°¨ ²¨¯ (i) i | ¨­¢ °¨ ­²», = =.

‚­³²°¨ ²¨¯ (ii) ; | ¨­¢ °¨ ­²», (b ) = .Ž±² «¼­»¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨, ¿¢«¿¿±¼ ¶¨«¨­¤°¨·¥±ª¨¬¨, ¨¬¥¾² ª ­®­¨·¥±ª¨¥ ³° ¢­¥­¨¿, ­¥ ±®¤¥°¦ ¹¨¥ z. „®¯³±²¨¬, ¨¬¥¥²±¿ § ¬¥­ ¯°¿¬®³£®«¼­»µ ª®®°¤¨­ ², ¯¥°¥¢®¤¿¹ ¿ ®¤­® ¨§ ² ª¨µ ³° ¢­¥­¨© ¢ ¤°³£®¥. ’®£¤ x ¨ y ­¥ § ¢¨±¿² ®² z0 (¨ ¯®½²®¬³¤®ª § ²¥«¼±²¢® ±¢®¤¨²±¿ ª ¤®ª § ­­®¬³ ¤¢³¬¥°­®¬³ ±«³· ¾).

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