Е.В. Троицкий - Аналитическая геометрия (лекции) (1113350), страница 18

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®¡° §³¾¹¨¥¥±²¼­¥²­¥²¥±²¼’¨¯  §¢ ­¨¥(iii) ½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¶¨«¨­¤°£¨¯¥°¡®«¨·¥±ª¨© ¶¨«¨­¤°¯ ° ¡®«¨·¥±ª¨© ¶¨«¨­¤°’¥®°¥¬ ¤®ª § ­ . «¨·¨¥ ¶¥­²°®¢ €±¨¬¯²®². ­ ¯° ¢«¥­¨¿¯°¿¬ ¿®¤­®¯°¿¬ ¿¤¢¥ ¯«®±ª®±²¨­¥²217. «¥¬¥­²» ¯°®¥ª²¨¢­®© £¥®¬¥²°¨¨17.1. ®¯®«­¥­¨¥ ¯«®±ª®±²¨®¯®«­¥­­ ¿ ¯«®±ª®±²¼ | ½²® ¯«®±ª®±²¼, ª ª®²®°®© ¯°¨±®¥¤¨­¥­» ­¥ª®²®°»¥\¡¥±ª®­¥·­® ³¤ «¥­­»¥" ½«¥¬¥­²» (²®·ª¨). ˆ¬¥­­®, ª ¦¤®¬³ ­¥±®¡±²¢¥­­®¬³ ¯³·ª³±² ¢¨²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ­¥±®¡±²¢¥­­ ¿ ²®·ª . °¨ ½²®¬ ±·¨² ¥²±¿, ·²® ±®¡±²¢¥­­»© ¯³·®ª ¯¥°¥±¥ª ¥²±¿ ¢ ±®¡±²¢¥­­®© ²®·ª¥, ­¥±®¡±²¢¥­­»© | ¢ ­¥±®¡±²¢¥­­®©.Ž¡º¥¤¨­¥­¨¥ ¢±¥µ ­¥±®¡±²¢¥­­»µ ²®·¥ª ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥±®¡±²¢¥­­®© ¯°¿¬®©.’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢»¯®«­¥­» ±«¥¤³¾¹¨¥ ª±¨®¬»:AI. —¥°¥§ ¤¢¥ «¾¡»¥ ° §«¨·­»¥ ²®·ª¨ ¯°®µ®¤¨² ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ¯°¿¬ ¿.AII. „¢¥ «¾¡»¥ ° §«¨·­»¥ ¯°¿¬»¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ ¢ ¥¤¨­±²¢¥­­®© ²®·ª¥.…±«¨ ¬» § ¡»¢ ¥¬ ¯°® ²®, ·²® ­¥ª®²®°»¥ ²®·ª¨ ¡»«¨ ­¥±®¡±²¢¥­­»¬¨, ².

¥.¯°¨±®¥¤¨­¥­­»¬¨, ²® ¯°¨µ®¤¨¬ ª ¯®­¿²¨¾ ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨.„«¿ ²®£®, ·²®¡» ½²¨ ª±¨®¬» § ¯¨± ²¼ ¢ ¡®«¥¥ ±¨¬¬¥²°¨·­®¬ ¢¨¤¥, ¢¢®¤¨²±¿±«¥¤³¾¹¥¥ ¯®­¿²¨¥ ¨­¶¨¤¥­²­®±²¨.Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 17.1. ’®·ª ­ §»¢¥²±¿ ¨­¶¨¤¥­²­®© ¯°¿¬®©, ¥±«¨ ²®·ª «¥¦¨² ­ ½²®© ¯°¿¬®©. °¿¬ ¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ¨­¶¨¤¥­²­®© ²®·ª¥, ¥±«¨ ¯°¿¬ ¿ ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§½²³ ²®·ª³.€ª±¨®¬» ¯°¨¬² ¢¨¤:AI. „«¿ «¾¡»µ ¤¢³µ ° §«¨·­»µ ²®·¥ª ±³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ¯°¿¬ ¿, ¨­¶¨¤¥­²­ ¿ ¨¬.AII. „«¿ «¾¡»µ ¤¢³µ ° §«¨·­»µ ¯°¿¬»µ ±³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ²®·ª , ¨­¶¨¤¥­²­ ¿ ¨¬.‘´®°¬³«¨°³¥¬ ±«¥¤³¾¹¨©°¨­¶¨¯ ¤¢®©±²¢¥­­®±²¨: …±«¨ ¢¥°­® ­¥ª®²®°®¥ ®¡¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ® ²®·ª µ,¯°¿¬»µ ¨ ¨­¶¨¤¥­²­®±²¨ ¬¥¦¤³ ­¨¬¨ ­ ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨, ²® ¢¥°­® ¨ ¤¢®©±²¢¥­­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, ¢ ª®²®°®¬ ²®·ª¨ ¨ ¯°¿¬»¥ ¬¥­¿¾²±¿ ¬¥±² ¬¨.Œ» ­¥ ¡³¤¥¬ ®¡±³¦¤ ²¼ ¯®«­»© ­ ¡®° ª±¨®¬, ² ª¦¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®±²¼ ¨² ª ¤ «¥¥.

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¥. ®²®¡° ¦¥­¨¥ ²®·¥ª¯®¯®«­¥­­®© ¯«®±ª®±²¨ ­ ¬­®¦¥±²¢® ¯°¿¬»µ ±¢¿§ª¨, ®¯°¥¤¥«¿¥¬®¥ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬.  ±±¬®²°¨¬ ¯®¯®«­¿¥¬³¾ ¯«®±ª®±²¼ ª ª «¥¦ ¹³¾ ¢ ²°¥µ¬¥°­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥. ³±²¼ ²®·ª O ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¨ ®¯°¥¤¥«¿¥² ±¢¿§ª³. Š ¦¤®© ±®¡±²¢¥­­®©²®·ª¥ ¯®±² ¢¨¬ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¥¤¨­±²¢¥­­³¾ ¯°¿¬³¾ ±¢¿§ª¨, ¯°®µ®¤¿¹³¾ ·¥°¥§­¥¥. Š ¦¤®© ­¥±®¡±²¢¥­­®© ²®·ª¥ , ². ¥. ­ ¯° ¢«¥­¨¾ ¨«¨ ­¥±®¡±²¢¥­­®¬³ ¯³·ª³­ , ¯®±² ¢¨¬ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¥¤¨­±²¢¥­­³¾ ¯°¿¬³¾ ±¢¿§ª¨, ¨¬¥¾¹³¾ ²® ¦¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥.Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¢»¯®«­¥­» ±«¥¤³¾¹¨¥ ³±«®¢¨¿.°¥¤«®¦¥­¨¥ 17.4.°¨ ¯¥°±¯¥ª²¨¢­®¬ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ¯°¿¬»¥ ¯¥°¥µ®¤¿² ¢ ¯«®±-ª®±²¨ ¨ ±®µ° ­¿¥²±¿ ®²­®¸¥­¨¥ ¨­¶¨¤¥­²­®±²¨.®½²®¬³ ¯°¿¬»¥ ±¢¿§ª¨ ­ §»-¢ ¾² \²®·ª ¬¨", ¯«®±ª®±²¨ | \¯°¿¬»¬¨" ¤ ­­®© ¬®¤¥«¨ ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨.‡ ¬¥· ­¨¥ 17.5.

°¨ ¯¥°±¯¥ª²¨¢­®¬ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ­¥±®¡±²¢¥­­ ¿ ¯°¿¬ ¿ ¯¥°¥-µ®¤¨² ¢ ¯«®±ª®±²¼ ±¢¿§ª¨, ¯ ° ««¥«¼­³¾ . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯®¯®«­¥­­ ¿ ¯«®±ª®±²¼±®®²¢¥²±²¢³¥² ±¢¿§ª¥ ± ¢»¤¥«¥­­®© ¯«®±ª®±²¼¾, ¯°®¥ª²¨¢­ ¿ ¯«®±ª®±²¼ | ¯°®±²®±¢¿§ª¥.³±²¼ ²¥¯¥°¼ Oe e e | ¯°®¨§¢®«¼­»© °¥¯¥° ± ¶¥­²°®¬ ¢ O.  ±±¬®²°¨¬ ­ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° ¯°¿¬®© l ¨§ ±¢¿§ª¨ O. „®¯³±²¨¬, ·²® ®­ ¨¬¥¥² ª®®°¤¨­ ²»(x ; x ; x ). Š®®°¤¨­ ²» ¤°³£®£® ­ ¯° ¢«¿¾¹¥£® ¢¥ª²®° l ¡³¤³² ®²«¨· ²¼±¿ ®² ­¨µ­¥­³«¥¢»¬ ¬­®¦¨²¥«¥¬. ’°®©ª ·¨±¥« (x : x : x ), ®¯°¥¤¥«¥­­ ¿ ± ²®·­®±²¼¾ ¤®­¥­³«¥¢®£® ¬­®¦¨²¥«¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ®¤­®°®¤­»¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¬¨ l ®²­®±¨²¥«¼­® ³ª § ­­®£® °¥¯¥° .‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¢±¥ ²°¨ ·¨±« x ; x ; x ­¥ ¬®£³² ¡»²¼ ­³«¥¢»¬¨ ®¤­®¢°¥¬¥­­®. ±±¬®²°¨¬ ¯«®±ª®±²¼ : x = 1 ¨ °¥¯¥° Ee e ¢ ­¥©, £¤¥ E ¨¬¥¥² ¢ Oe e eª®®°¤¨­ ²» (0; 0; 1) (±¬ °¨±. 8).°¨ ±®®²¢¥²±²¢¨¨, ®¡° ²­®¬ ª ¯¥°±¯¥ª²¨¢­®¬³, ²®·ª¥ (x : x : x ) ± x 6= 0®²¢¥· ¥² ²®·ª ¯«®±ª®±²¨ ± ª®®°¤¨­ ² ¬¨x = xx ; y = xx :1 2 312311223331 21 2 311233233Ž±² «¼­»¬ ²®·ª ¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾² ­¥±®¡±²¢¥­­»¥ ²®·ª¨ ¯®¯®«­¥­­®© ¯«®±ª®±²¨ .“° ¢­¥­¨¥ ¯°¿¬®© ¢ ®¤­®°®¤­»µ ª®®°¤¨­ ² µ ¨¬¥¥² ¢¨¤a x + a x + a x = 0;112211033e1E e21e3eO21 e1¨±.

8.£¤¥ ²°®©ª (a ; a ; a ) ®¯°¥¤¥«¥­ ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ­¥­³«¥¢®£® ¬­®¦¨²¥«¿, a ; a ; a­¥ ®¡° ¹ ¾²±¿ ¢ ­³«¼ ®¤­®¢°¥¬¥­­®. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°¿¬ ¿ ² ª¦¥ ¯°¨®¡°¥² ¥²\®¤­®°®¤­»¥ ª®®°¤¨­ ²»" (a : a : a ).…±«¨ a ¨«¨ a ­¥ ®¡° ¹ ¾²±¿ ¢ ­³«¼, ²® ½²® ®¡»·­ ¿ ¯°¿¬ ¿, ¯®¯®«­¥­­ ¿ ­¥±®¡±²¢¥­­®© ²®·ª®©. …±«¨ ¦¥ a = a = 0, a 6= 0, ²® ½²® ­¥±®¡±²¢¥­­ ¿ ¯°¿¬ ¿x = 0.123111223321233°¥¤«®¦¥­¨¥ 17.6.ª®®°¤¨­ ² ¬¨’°¨ ²®·ª¨ X , Y ¨ Z ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨ ± ®¤­®°®¤­»¬¨(x : x : x ), (y : y : y ) ¨ (z : z : z ) «¥¦ ² ­ ®¤­®© ¯°¿¬®©1231²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ 23123 x x x y y y = 0:z z z 123123123„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ¢¥­±²¢® ­³«¾ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¿ ¥±²¼ ³±«®¢¨¥ ª®¬¯« ­ °­®±²¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ¢¥ª²®°®¢.’¥®°¥¬ 17.7.2„«¿ ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨ ¢ ¬®¤¥«¨ ±¢¿§ª¨ ¢»¯®«­¥­ ¯°¨­¶¨¯¤¢®©±²¢¥­­®±²¨.„®ª § ²¥«¼±²¢®.

“±«®¢¨¥ ¨­¶¨¤¥­²­®±²¨ ¢ ª®®°¤¨­ ² µ § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥a x + a x + a x = 0;1±¨¬¬¥²°¨·­®¬ ¯® ¤¢³¬ ®¡º¥ª² ¬.122211133’¥®°¥¬ 17.8 („¥§ °£ ).³£®«¼­¨ª ABC ¨ A0B 0C 0,³±²¼­ ¯°®¥ª²¨¢­®©¯«®±ª®±²¨§ ¤ ­»¤¢ ²°¥-¯°¨·¥¬ ®¤­®¨¬¥­­»¥ ¢¥°¸¨­» ¨ ±²®°®­», ²®·­¥¥, ¯°¿-AA0, BB 0 ¨ CC 0 ¯¥°¥±¥ª -¬»¥, ¨µ ±®¤¥°¦ ¹¨¥, ­¥ ±®¢¯ ¤ ¾². ’®£¤ ²°¨ ¯°¿¬»¥¾²±¿ ¢ ®¤­®© ²®·ª¥ ¢ ²®¬ ¨ ²®«¼ª® ¢ ²®¬ ±«³· ¥, ¥±«¨ ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¯°¿¬»µAB ¨ A0B 0, BC ¨ B 0C 0, AC ¨ A0C 0 «¥¦ ² ­ ®¤­®© ¯°¿¬®©.„®ª § ²¥«¼±²¢®. Ž¡®§­ ·¨¬ ³ª § ­­»¥ ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿·¥°¥§ P , Q ¨ R,0) ³±²¼ S | ²®·ª ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¯°¿¬»µ AA , BB 0 ¨ CC 0. ³±²¼a; b; c; a0; b0; c0; p; q; r; s | ­¥ª®²®°»¥ ¯°¥¤±² ¢¨²¥«¨ (²°®©ª¨) ®¤­®°®¤­»µ ª®®°¤¨­ ² ²®·¥ª A; B; C; A0; B 0; C 0; P; Q; R; S : a = (a ; a ; a ); : : : ’®£¤ ¤«¿ ­¥ª®²®°»µ; 0; ; 0; ; 08>< s = a + 00a00s = b + b>: s = c + 0c0‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¤«¿ ½²®£® ­¥®¡µ®¤¨¬® ¡»«® ­¥±®¢¯ ¤¥­¨¥ a ¨ a0 ¨ ². ¤.

’®£¤ 8>< u := b c = 00c0 0 00b00v := c a = a c>: w := a b = 0b0 0a0123’ ª¨¬ ®¡° §®¬, u ®²¢¥· ¥² ²®·ª¥ «¥¦ ¹¥© ¨ ­ ¯°¿¬®© BC ¨ ­ B 0C 0, ². ¥. Q.€­ «®£¨·­®, v | ­¥ª®²®°»© ¯°¥¤±² ¢¨²¥«¼ ª®®°¤¨­ ² R, w | P . ‘«®¦¨¢ ¯®·«¥­­®° ¢¥­±²¢ , ®¯°¥¤¥«¿¾¹¨¥ u, v ¨ w, ¯®«³·¨¬ u + v + w = (0; 0; 0), ². ¥. ²®·ª¨ «¥¦ ²­ ®¤­®© ¯°¿¬®© (¯«®±ª®±²¨ ±¢¿§ª¨).( ¥°¥´®°¬³«¨°³¥¬ ¤®ª § ­­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ ¢¨¤¥.0 0 0³±²¼ ­ ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨ § ¤ ­» ¤¢¥ ²°®©ª¨ ²®·¥ª ABC ¨ A B C , ­¨0 B0ABCAC0B C A C A B B 0 C 0 A0 C 0 A0 B 0000A 6= A A 6= A B 6= B B 6= B0 C 6= C 0 C 6= C0abc000A A B B C CA B CA A0 B B0 C C0a b cA B C®¤­ ¨§ ª®²®°»µ ­¥ ¨­¶¨¤¥­²­ ®¤­®© ¯°¿¬®©, ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§¯°¿¬»¥, ¨­¶¨¤¥­²­»¥,,,,¨,,¨­¶¨¤¥­²­»¥ ²®·ª ¬,¨,,¨,¨±®®²¢¥²±²¢¥­­®.¨,,¨¨¨,¨­¶¨¤¥­²­» ®¤­®© ²®·ª¥.¨,,¨.

Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§,,,,²®·ª¨, ¨­¶¨¤¥­²­»¥ ¯°¿¬»¬³±²¼ ²°¨ ¯°¿¬»¥¨¨,,,,,, ¨ ¯³±²¼,¯°¿¬»¥,Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§±®®²¢¥²±²¢¥­­®.’®£¤ ²°¨ ²®·ª¨,,¨­¶¨¤¥­²­» ®¤­®© ¯°¿¬®©.® ¯°¨­¶¨¯³ ¤¢®©±²¢¥­­®±²¨, ¬» ¤®ª § «¨ ²¥¬ ± ¬»¬ ±«¥¤³¾¹¥¥ ¤¢®©±²¢¥­­®¥³²¢¥°¦¤¥­¨¥.ABC A0B0C0A B C A0 B 0C0B C 0 A C 0 A B 0B0 C0 A0 C0 A0 B0000A 6= A A 6= A B 6= B B 6= B C 6= C C 6= CA B C000A A B B C C0a b cA A B B0 C C 0A B Ca b c³±²¼ ­ ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨ § ¤ ­» ¤¢¥ ²°®©ª¨ ¯°¿¬»µ¨­¨ ®¤­ ¨§ ª®²®°»µ ­¥ ¨­¶¨¤¥­²­ ®¤­®© ²®·ª¥, ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§²®·ª¨, ¨­¶¨¤¥­²­»¥,,¨¨­¶¨¤¥­²­»¥ ¯°¿¬»¬,,,,¨,,¨¯°¿¬»¥, ¨­¶¨¤¥­²­»¥ ²®·ª ¬¨,,,,¨¨,¨,±®®²¢¥²±²¢¥­­®.,¨¨­¶¨¤¥­²­» ®¤­®© ¯°¿¬®©.¨­¶¨¤¥­²­» ®¤­®© ²®·ª¥.® ½²® ¨ ¥±²¼ ®¡° ²­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥.1122,¨,,,,¨. Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§,³±²¼ ²°¨ ²®·ª¨¨¨,,,,, ¨ ¯³±²¼,²®·ª¨,Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§±®®²¢¥²±²¢¥­­®.’®£¤ ²°¨ ¯°¿¬»¥,,17.3.

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