В.А. Ильин, Г.Д. Ким - Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1113055), страница 29
Текст из файла (страница 29)
1 окусы Г1(-с,0), Гз(с, О) расположены по о $ Обозначим через Р1 и Рг основания пе з снования перпендикуляров, опущенных ллипса на касательную. Утверждение тео ем «азино если мы пок~ж~м что ~Г М Р жем, что гМцРз = сРгМцб/ или, что то же фокусов до касательной. Т ц, = з цР, (рис. 1). Пусть Лы и огда г — расстояния от йц — (схц/а ) — 1 а + ех г следовательно, ЬГзМцРг ЬГ1МцР1 так как цРз (так «ак оба они р~моугожму з ц 1 — — сГзМцРз. ° Показанной теореме можно дать след ю претацию: если и о дать следующую оптическую интер- поместить в один из фок сов после отражен ия от эллипса соберутся в ф у в источник света, то лучи товой луч от у в другом фокусе, так как сверазится от эллипса как от каса эллипсу в точке падения луча.
касательной, проведенной к 156. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы 171 Теорема 56.2. Касательная к гиперболе в прцизвцльнца ее точке ювлюетсю биссектрисой внутрениегц угла Мц треугольника ГзрзМц, где Гы Гз — фокусы гиперболы. Л о к а з а т е л ь с т в о. Эта теорема доказывается точно так же, как и предыдущая.
Отметим лишь одно отличие (не затрагивая очевидные): фокусы Г1 и Гг расположены по разные стороны от любой касательной (рис. 2). ° Теореме 56.2 можно дать оптическое истолкование, аналогичное тому, которое было дано для эллипса. Теорема 56.3. Касательная к параболе естпь биссекп1риса угла между фекальным радиусцм МцГ точки касанию Мц и перпендикулярам МцР, опущенным из пзцчкн Мц на директрису.
Показательство. Из уравнения (55.3) касательной к параболе уз = 2рх в точке Мц(хц, уц) этой параболы сле- п с дует, что точка А (рис. 3) пере- ьл сечения касательной с осью Ох имеет кординаты ( — хц,0). Следовательно, АО = хц и АГ = АО + ОГ = хо+ р/2. С другой стороны, МцГ МцР = МцС+ СВ = ха +р/2. Таким образом, АГ = МцГ и, значит, бГАМц = ЕАМцГ. Но 5ГАМц — — ЕОМцА, следова- Рис. 3 тельно, ЕВМцА = 1АМцГ. ° Эта теорема имеет следующее оптическое истолкование: если в фокусе параболического зеркала поместить источник света, то лучи, отразившись от зеркала, образуют пучок параллельных лучей. Это свойство используется в конструкции зеркальных прожекторов.
9- з Р х Сс. о х д 2 со О й 3 х Д! о а С,Г о о Д а а Ф. » Г:3 Ф, И Ъ!ь И (с И «(ас И ь И 44 с:Г 343 а И с И И х ь О л 3 д с» )4 а аъ ь ас с» о ,И х о а ахо ,4 О 43ОО оха О РО о Дод О О РО х х х х ас О Ось О а со »,3 Х Х Р Х а х «О, а х - О а а о ОРОХ Д»Я С' ~ 3'8н х -ха са Яи хх х ч ~-"» а са д д Д ' 44 ХО Р Д С ,ц. Р Р са х а я Р, »,Г С'3 »С »со д Е~ М 6 Р СРГ о Р . ооа Риони оф „оо. « Р хо П о«а С~Я И П д , Д о,о П Х ч ~ 33.44 Д5 о оо П о о ОРО о О П Р П Р Р '2 хе М ж ж м ф Щ П3 ф $$ Ф ГП» а о а3: ~'о $3 П3 О Я Г3 о О а х Оа 44 О о х а а а д а а 43 О а х ю Я д а со 85И "Д Ю а Рс х о М Гс„ х ха О д Д о $Д а Рс са и х О хх д и а » Р у х 43 в о а н х о н х о х н х о дх ~ х х а О 44 а х О х а,я ас о М х х х х Ф Я а а Р да »О 36 Й - Рс И И Га М ,о а а а а х -И Й ь + о' Р д ь с со С3 с И а ь С'4 ас О 44 х "„, х х с» а с» +~Д р Щ И Н а 8 Ь О О х '" ОП " а с» СО $ .с 4' -И.
д Р Ь ДО 43 с» + а х Рс х й О' С й ь о + о а ь д О О Р Р с а со И Д + Рс ь Ос со 'Й- й ас с с с ь ь Сс + с « ь « ь с» Рс й ь С'4 + И со а+ ь о ' о И«фо О ь о РЬау дх 44, й ас 44 Я "РРР, а 4$ аа2и ОДНО х О а 'Р ха хо а л х а С3 О О Р Р, 44.3 а ос РЙ О Р „»ОО. о а о а оа ~ Р О„О о о' х Дьоа а О а иоа д Р О О РОР а, оо 9 о "о лЯ Р, с О Сс О Р сс Р во+а до Р»О у И Р Р РЬР 5 Р .а а а о О О са 34 о С'. х ах ь у Ъ Ю о 44 3 В Р,О О И ПГ со Оо дх ,. Сс Р~ «а " Е ~Ц $$ И а и О о а а СГ О, о Я о а аа а Й Ф Я Щ хо ф 4Г3 фс $3 па Ф уо О., $3;П Я ю а О ГП" а а Д Ф Х ГС,ХДаа Х ОРОХР '8а~- о Охах о Д,О 2 со '9' а д О о а О.
О С а,аодО а оаааоха О - Оу Охааоаао х х а 'о о ао н д а а а .9. а аоаа аа "И О ,. а, х'Л й'Охс В ОС» хадааа(Оаа алн-хаахао а ха 3 О о о, х а О" О д а а а х о „"О 4$ Х а Оа О, О. «о 'а'хн Й х а »2 Я О 3 л д 43 Х а О' л „ИООаОйлд „РХО соаса хах ОГах ~~а х Р ал" О 3$ о 3. а х ДД ло а о хха«ма аааоои 43 а ~'о ' С4«ааа в -Л а 2 Ь О 4$ а Х Р Ра а' ИГс ах»о Р о о хо ОДМ " Р ИД О ХО лдн РХР „х д о».3 о Р О х 3$ ОД са а а О Х ога, Х а а йс х " Х со д а:Г а О.
О« ,8 х,„ я д д х „оаа О О РО со Р а 44 И о с»О а3 ~х с~ Р д с о ~ Я И 5 — х ь х а О. а х са р ~+ а 9. Р о О ' И ас ОаП РГ а со Р О ДЮ а х д н 43 х х О„О. са й"- Х О о О я а о Р. ад Сс О О а О., И о Яа ас " О. х со ИЛОВ са а х д а 43 О, о о» я х да О РП 4$ О О О, «О с- С) И + О' + й~ О' ! СУ сс Е Р Ф О! Ф х б о".3 С~ И н СУ И СУ С3' И йй са Ф 3). ь Й Ф Ф Х ь Ф й а> св в ),О :2 -х )3 Ой Х «й Ф й в й 2 ь о О' И х Ф х й Д в 33 2 д,х Ф Х д 2 й й в 2 й Ф у~ о 2 и 2 «3 д. Ф о о й о "х х 2 2 Х й Ф2 63 й О) Ф х х 2 2 йх в О в й ! х Ф с) ь Ф ь ь Ф ь Х о с.'! О, О со И Я „ Ф дх в в Ф Ф о д о „ а о х Х О й о а) д Ф о в в о х Ф 8х О 2 )с Ф Ф2 ДФФ 2 о о а !.3' ~ ~х д о.
333 о~ Ф д Яйй Ф й 63 -О М О Н Фо Х 2 Х ~ЛО3 — ! о 4 охй 8 ~у И 33 )3 й 2 в в Х й Ф М д Ф в — х в )! )6 о — "3 й<3 Х Е дчл хл Ф в й Ф, н! й Е Ф в йс~,й в Ф Ф н ! х ..а й с) в ай ~1 о «а)~ ф «О Е „х д, д й В '„' Н3:3'о д ФФ Ф)33 ФФ О ОФ- д В" а)! «О ,„Ф «С~ О Ф о 2 ~БООИ И й % Со« о х й Ф о О! й й й Ф о Х 63 х х о Я н 2 й х й О, йо й 6 ° н хд я н Ф Й й д о й в Е Ф в Е в ъ в Са Ф. Ф Ф Ф "ъ Ф Ф а).
Ф ивь Ф Фъ с) д Ф а). Е ФФФ д в ФЕд С) Ф Ф Е Ф, ф Ф Е Ф ФМО« Ф О«Е й Е 2 ФФЕ х'с) 2 двх Ф О «Ф Ф Ф "» Ф в Ф д % а Е в в Ф в О" О') Ъ Е д~ Ф в Ф „Е И йД Д-О в «3 Ф О Ф х в 'ЕФ' "Ы о х ,о ,й О )3 х» х Ф в Ф й Зс х д » 8 2" '8 3в Ф д" со ,ой дх « Е йй Ф Ии х ф~у~д - о Ф Ф х „ 2 О) Фви о й Ф Ф Сй й 6 63 Х )3 д хо д8 в 8 22 ХДд«6 Ф "хн" х д о»«д- Ф : Я и О' Ф О" О'( Х ФФХ Д5 О 2 32 й в 2 ,йхо в х в в -в д2 дн х В в Ф О Д в о дв в й Зю О' х х о Ф д Ой «8 ь в д И в О' Ф +~ ь С3' И И 'лл х Ф о ФФ «О Х Ф Ф) Ф ,"о й Ф Х й й О! х д в Ф Х дв » х Х й «6 Я" «8 сс с) х дй й й д в о й '8 .
в Ф о в )3 » Х в в Ф ОО «в «й Ф СУ И Й М~ О И О В СО Ф й х х й + Ф Са в О) . ь х О),Д ййй Ф й«3 д ЗФ" д 2Р В ОО 2 д«О Е о ц-) в Ф О ~ й й й О ФЗХДЩ 2 Е Ф Ф )6 3), Ф Ф з 3 «й са О Ф Ф с) % в М Ф, Ф Ф ФФ Ф Е ай«й Е Ф Ф ь Ф Ф 3). )О О 'Ф Ф б) Ф Ф М М Ф ь ОО Ч 2 ай )3 Д,О Д й в И х 0 с~ ФЛ Х в Ф о й с« в й . Х йох вой а) ххх Ф д2 О'ФФОФ о й а) "вдв Ф в О' о х д. о х ФФ" дх «2й д Ф ФХ~ и> 'о йно ФФХ .а й сй О ХФ й 2 й1 О."! й о "й о о в хнс й о о с! Х о х б И- И И йс йй И + й( н + И И И 633 И Х й Ф .Хх о Ф ' ххх Ф дйхх Ф йвхх й в-Х ь й «) с) в ФХВФ в ФФ Х й Е а\ Ф й ь ХООХН Ф й н х т ~3~~ :Ф )6 О О Ф ~х" н й" но нхн Х ФР.
О) Е х Е хФвх Ф й а! у, о х "„о " ь Ф Ос Ф -во „О В О. х 2 о в„х н о х х о Ф х )О й ХМ«ХО й Ф в вО й Х О.с ФО' й ДХ 2 ФЗ х дх о с) в и 2 -й 22 х й Оо,а 63 «й в йхо ой8$ оХД 2О в в ОФ н х д х ф х 2 Я~2Х юв О,8 о «О «ОМ Ф,О Ф их х х х х о й Ф Ой Ф 2 Е х сс Ф о Ф х «6 Е ФЯ ь 'с) са Ф Ф «О ФИ Ф о Ф. 2 Е Х 22 Я Ф й О. „Х Х Н О' в Фхх 8е й )3 О' о й Ф Ф Х й й 2 Ф х й о 2 Ф ас й о, й н Ф х с) я о о й й »2 ДХ в Ф й 333 2 о н с) а) Ой ой "й Ф ь М Ф .й х Е ! д ФХФЯ сс с) х 'О о Ф с с с с) ьь о Ф вЂ” „ ь ь й й Ф 633 ь ь в И И 2 д„ о И О й с) с, Х Х в ас ъ Ф.
сс в Ф Е Ф 3' Ф Ф О Ф Е Ф О«'Х Ф й Ф О Ф Х Ф Ф Х » о й Ф в х д й о "л Ф в Ф х Е й Х Ф й а) О в .я Ф. н 2 )Х О х ь в в И й~ 2 х2о Ф до* в Ф Ф % ДФ5 Ф Ф й в в )3 Ф ь + л ь + ! И й х ДОС о дй й х 3Х Ф )6 ! Ф ь + ь + И ! Ф ь ь + с И И ь л И й й в О И ~ й ь о" х 2 о Ф й сс в о Ф сй Ь дх дд м Ф О ьь йв — 2 + Ф 2 2 й о «О Я й + Ф Ф ,О 2 — Ф о с ° х с Е Са Ь Ф Ф о ьь Ф" Ф й о «) с О О Яц О й й й й й й ь Сс. О и со И о' и со «3 о о о о О х х а х а х а «3 а Р. » о дв» ХМ х в о»н+ во а х + 'ъ о ьн ха дИ, х х в н фох н СЧ а«О а " д х х х +фа а~ хо в , .Х.-«,„ х ьх аво х а аь со о х ~Савн й СС-О а авсч а ф оа~хвн й а5в хо.
Оан о~х о а.д„» +нь Фз х ь в в + «3 СС «» д и И ох «3 СО н ю + «ч| О».Ь в «3 б'» Х ч сч+ х + «чв о «3+ Х сч „, + а ' — й с О» Ь Х «+ ь сч с» с» О+ ф «3 с\ '» ь о И о в х С«+ Х ь „в в ОЯ «ЬО с. «о. х а х х Х «3 ан х ф в й х д х в х х а и а а в в а Я х х ф ф а ах х х х д в а а н д 1 в а а а «Р с\ ~ а ~ со х х о д х Я в ф а о х в в х а ао Фщ ~ ф » 'с Р. х а сс ф в «О * х а б' х» О а о р в а х ц» :.з ° д вО 33 ЯСЦ «б х с-в И х Ф о Оа»а О йа В О, й й й ав й й ь Ф 'б й'О д й О.О С« О.
О О О в Ф в й в О О О Оай О а» Я О % Ы О ь в й О 'Ъ О О й й О йО О Ч»О О О в ф й О О а О, й й *й'О О О Ф О. Ы О'О О ймЕ С3 й С« Ь О О ОЧ«Ф с» -И~Ок и. О,-» к " с» в ь с» +Ио« ~а" И О КСЧ О +++ «««с« а й« к к к х х а 1' «б х х в "' а И8 х х д о в в Р. а х о н «с й«33 й о ф Д сс н ф о * а д «б со Х,о ф сс Р й за ххх о ф хв Й~ х «д 33 д~оь фон 3:-..'- '- «3 3 в х Х«-в Оо а а» в 3ИРх ;'с, ф» С»охах 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
