Главная » Просмотр файлов » Лекции в ворде

Лекции в ворде (1111790)

Файл №1111790 Лекции в ворде (Лекции в ворде)Лекции в ворде (1111790)2019-05-06СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава 1. Поверхностные интегралы

§1. Площадь поверхности



Площадь поверхности, заданной явным образом.

z = f(x,y), где функция f(x,y) определена в замкнутой ограниченной области G, при этом функция f(x,y) имеет в области G непрерывные частные производные второго порядка. Произведем разбиение поверхности P кусочно-гладкими линиями. Фрагменты разбиения на поверхности обозначим, как Pi, Проведем через точку Mi касательную плоскость к поверхности Pi. При этом ту часть плоскости, которая проецируется на Gi обозначим Si.И такую процедуру проведем для всех фрагментов Pi.Тем самым рассматриваемая поверхность окажется покрытой фрагментами касательных плоскостей. Полученная конструкция (скорее всего) не является многогранником в привычном смысле. Введем сумму

Пусть di максимальный диаметр Pi, а d – максимальный диаметр по всем фрагментам разбиения.

Определение: Число S называется пределом при сумм вида 1, если для любого существует такое, что для любого разбиения Pi , такого, что :

Если существует такой предел, то поверхность Р называется квадрируемой, а число S – площадью этой поверхности.



Теорема 1: Пусть функция определена в замкнутой ограниченной области G, в которой она имеет непрерывные частные производные первого порядка, тогда фигура задаваемая данной функцией является квадрируемой, и ее площадь вычисляется по следующей формуле:

Док-во: Рассмотрим некоторый фрагмент разбиения Pi, на котором произвольный образом выберем точку Mi. Замкнем уравнение касательной к плоскости к функции

Вектор нормали в точке Mi . Пусть – угол между нормалью и осью Oz. Вычислим

Пусть – площадь области в плоскости Oxy, на которую проецируется поверхность Pi, тогда справедливо . Таким образом, получаем, что площадь Si будет равна

Рассмотрим сумму

Правая часть выражения (3) при представляет собой интегральную сумму (для случая двойного интеграла) для функции , заданной на области G. В условиях указанной теоремы предел указанной суммы существует, а следовательно существует следующий предел:

, ч.т.д.



Замечание: Поверхности также могут задаваться и неявным образом. Но основной способ задания поверхностей (в смысле общности) – это параметрический способ задания поверхностей.



Площадь поверхности, заданной параметрически.

Параметрическое задание поверхности определяется следующими формулами:

Фиксировав параметр v и изменяя параметр u, радиус-вектор опишет на нашей поверхности некоторую линию. Таким образом, фиксируя разные значения, соответствующие параметрам u и v, получим криволинейную систему координат на поверхности. (Рассматриваемая поверхность является двумерной) Вычислим производные вектора r:

;

;

Плоскость, проходящая через данную точку M и содержащая вектора ru и rv, является касательной к данной поверхности. Поэтому вектор нормали

Суммируя по всем элементарным сегментам разбиения, получаем следующую формулу для вычисления площади поверхности D.

Рассмотрим модуль векторного произведения:

Откуда

Замечание (О вычислении длины на криволинейной поверхности):

Рассмотрим поверхность, а на ней достаточно близкие точки. Поставим перед собой вопрос о вычислении кратчайшей линии, которая соединяет две точки и . В том случае, когда точки M и N бесконечно близки, расстояние dl вычисляется как длина вектора dl:

На самом деле в дифференциальной геометрии квадрат элемента длины определяется следующей формулой (через E, F и G):

называется первой квадратичной формой поверхности, или метрикой поверхности. По первой квадратичной форме формулы (3) на поверхности измеряются линии, углы между линиями. Первая квадратичная форма определяет внутреннюю геометрию поверхности, которая определяет форму поверхности в пространстве. Чтобы поверхность была однозначно заданной необходимо

§2. Поверхностные интегралы первого рода



Рассмотрим квадрируемую поверхность P. Рассмотрим разбиение этой поверхности P на квадрируемые части. Пусть на P задана непрерывная функция , . Составим интегральную сумму

Пусть .

Определение: Число I называется пределом интегральных сумм при , если для любого существует , такая, что для любого разбиения, для которого , и для любого выбора точек выполняется

Обозначается: .

Если такой предел существует, то он называется поверхностным интегралом первого рода, и имеют место следующие обозначения

или

Замечание: Поверхностный интеграл является обобщением двойного интеграла на тот случай, когда областью задания подынтегральной функции является криволинейная поверхность. Если , то соответствующее вычисление двойного интеграла дает нам площадь данной поверхности.

Теорема 1: Пусть поверхность P задана явным образом в замкнутой ограниченной области G. Пусть функция имеет в области непрерывные частные производные первого порядка. Эти требования необходимы для того, чтобы поверхность была гладкой. Пусть на поверхности P задана непрерывная функция f(M).Тогда поверхностный интеграл от функции f(x,y,z)вычисляются следующим образом:

Док-во: Рассмотрим разбиение поверхности и составим интегральную сумму



Указанная интегральная сумма соответствует поверхностному интегралу, находящемуся в левой части формулы (4). Рассмотрим интеграл из правой части формулы (4):

Воспользуемся формулой среднего значения:

Полученная сумма соответствует правой части формулы (4). Рассмотрим разность

Таким образом, при указанном разбиении предельные значения левых и правых частей совпадают.

В том случае, когда поверхность задана параметрически, поверхностный интеграл вычисляется по формуле



§3. Ориентация поверхности.

Определение: Будем называть поверхность Ф двусторонней, если на ней можно задать непрерывное поле нормалей, иначе поверхность называется односторонней.

Пусть Ф – простая, гладкая, ориентированная поверхность, пусть задана ориентация , – кусочно-гладкая кривая с направлением обхода t, оно положительно если стоя на поверхности головой в направлении нормали, мы оставляем область слева. Пусть Ф простая, кусочно-гладкая поверхность, разобьем Ф на гладкие простые поверхности так, чтобы разбиение состояло из треугольников. На Ф выберем ориентированную совокупность, которая задает поле нормалей .Ориентации двух соседних треугольников согласованы, если на общей границе направления обходов противоположны. Ф – ориентированная поверхность.

Определение: Ф – ориентированная поверхность, если для любой триангуляции можно указать такие ориентации треугольников, что у любых двух треугольников, имеющих общую сторону ориентации согласованы.



§4. Поверхностный интеграл второго рода.

Предположим, что задана полная, кусочно-гладкая, ориентированная поверхность. Создадим для поверхности Ф поле нормалей . Пусть на поверхности Ф заданы функции P(M), Q(M), R(M). Разобьем Ф на N полных квадрируемых поверхностей . Выберем , . Составим интегральную сумму:

Определение: Будем говорить, что I – это предел интегральной суммы при , если можно указать такое :

Если I является пределом интегральных сумм, то говорят, что I – поверхностный интеграл второго рода векторного поля поверхности Ф.

Рассматривают также частные интегралы второго рода:

Пусть G – регулярное, замкнутое, ограниченное и квадрируемое множество на плоскости. Предположим, что на множестве G задана вектор-функция , такая, что она задает гладкую поверхность Ф.

Теорема: Если функции P, Q и R непрерывны на поверхности Ф; , то существует интеграл второго рода I, причем выполняется равенство:







Док-во:

, ч.т.д.

Рассмотрим явно заданную поверхность . Радиус-вектор такой поверхности и его производные:



§5. Формула Остроградского-Гаусса.



Определение: Будем говорим, что Ф – замкнутая поверхность, если Ф – полная ограниченная поверхность без границ.

Определение: Дивергенцией векторного поля называется скаляр, который в декартовых координатах имеет вид:

Теорема (Остроградского-Гаусса): Пусть – регулярное, замкнутое, ограниченное, кубируемое множество. Пусть граница этого множества состоит из конечного числа замкнутых, кусочно-гладких ориентированных поверхностей; и будем считать, что на границе выбрана единичная нормаль , внешняя по отношению к области D.

Если все три этих условия выполнены, то справедливо следующее равенство:

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
4,59 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее