Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

2)

3)

то говорят, что на данном множестве введена метрика, а само множество называется метрическим пространством.

Для последовательности точек в координатном пространстве {M_n} M, при означает, что расстояние между любой точкой последовательности В этом случае говорят, что имеется сходимость в метрике этого пространства. Природа элементов метрического пространства может быть весьма разнообразна (например, функции). Введем метрику на множестве функций в метрическом пространстве.

Пример 1: Рассмотрим множество всевозможных ограниченных функций на сегменте . Введем метрику следующим образом: . Можно проверить, что функция удовлетворяет трем вышеперечисленным условиям. Сходимость при в метрике данного пространства означает, что при (равномерная сходимость), то есть сходимость в метрике рассматриваемого пространства соответствует ранее введенному понятию равномерной сходимости.

Пример 2: Рассмотрим множество кусочно-непрерывных функций на сегменте , удовлетворяющих в точках разрыва следующему условию: .

Для данного множества функций введем: _.

Можно проверить, что введенная таким образом функция удовлетворяет трем условиям функции расстояния. А введенное условие точки разрыва позволяет избежать ситуации при . Сходимость к означает, что при . Такая сходимость называется сходимостью в среднем. Введенное ограничение на значение функции в точках разрыва гарантирует, что предельная функция при сходимости в среднем будет определяться единственным образом.

Определение: Пусть функции и интегрируемы на сегменте , говорят, что функциональная последовательность сходится в среднем к функции на сегменте , если при .

Теорема 7: Пусть функции и интегрируемы на сегменте , если функциональная последовательность на сегменте , то в среднем не сегменте .

Док-во: Зададим некоторое достаточно малое значение , так как на , то такое, что , справедливо неравенство _.

Поэтому : _.

Это означает, что при , то есть мы имеем сходимость в указанной метрике или последовательность в среднем, ч.т.д.

Замечание: Обратное утверждение не верно, более того из сходимости в среднем, не следует обычная (поточечная) сходимость.

Определение: Говорят, что функциональный ряд сходится в среднем и на сегменте , если последовательность его частичных сумм сходится в среднем к на , то есть

при

Сходимость в среднем представляет собой более слабое условие, чем равномерная сходимость, но, наряду с этим, является достаточным условием перехода к пределу под знаком интеграла, а сходимость в среднем для функциональных рядов является достаточным условием почленного интегрирования функционального ряда.

Теорема 8: Пусть функции и интегрируемы на . Пусть функциональная последовательность сходится в среднем к на , тогда

Причем для любого фиксированного верно на .

Доказательство:

По условию теоремы при

Следовательно, на .

Рассмотрим интеграл

Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского

при

Зададим , тогда правая часть полученного неравенства будет меньше чем . Тем самым из сегмента .

, ч.т.д.

Теорема 8’: Если функциональный ряд сходится в среднем на сегменте к функции и если все функции и интегрируемы на сегменте , то

то есть функциональный ряд можно интегрировать почленно, причем

на .

В доказательстве теоремы 6’ условие 3 заменяется на условие, что ряд

сходится в среднем на сегменте к некоторой непрерывной функции .

Теорема Арцела

Определение: Функциональная последовательность называется равномерно ограниченной на множестве Х, если

Определение: Функциональная последовательность {f_n(x)}называется равномерно непрерывной на Х, если

Теорема (теорема Арцела): Если функциональная последовательность равномерно ограничена и

равномерно непрерывна на сегменте , то из нее можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на сегменте .

Глава 4. Несобственные интегралы

§1. Несобственные интегралы I рода

Пусть функция определена на полупрямой _. Будем полагать, что Указанный интеграл зависит от A, то есть является функцией аргумента А.

Рассмотрим _.

Этот предел может существовать, а может и не существовать. Но независимо от этого будем обозначать его, и называть его несобственным интегралом первого рода.

В том случае, если предел существует, несобственный интеграл первого рода называется сходящимся, если предел не существует – расходящимся.

Признаки сходимости несобственных интегралов I рода

Теорема 1 (Критерий Коши сходимости несобственных интегралов первого рода): Для того чтобы несобственный интеграл сходился необходимо и достаточно, чтобы выполняется неравенство

Док-во: Обозначим функцией интеграл то есть _.

По определению сходимость несобственного интеграла означает существование .

В свою очередь, для того чтобы существовал этот предел необходимо и достаточно, чтобы выполняется следующее неравенство

, но _, таким образом, получаем, что выполняется , ч.т.д.

Вернемся к примеру 4. Рассмотрим следующий интеграл

Зададим и выберем _, по критерию Коши исходный несобственный интеграл первого рода сходится.

Теорема 2: (признак сравнения) Пусть при и функции и интегрируемые функции на любом сегменте , тогда из сходимости интеграла

следует сходимость интеграла

а из расходимости (2) следует расходимость интеграла (1).

Док-во: введём две функции

и

эти функции подчиняются такому соотношению

из последней записи следует, что если интеграл (1) сходится, то функция – ограниченная, поэтому функция также будет ограниченной и, следовательно, интеграл (2) сходится. Если же интеграл (1) расходится, то функция неограниченна, поэтому функция также неограниченна и значит интеграл (1) является расходящимся, ч.т.д.

Следствия:

1) при , то сходится при , если то расходится при .

2) и при и то интегралы сходятся и расходятся при этом одновременно.

Признак Дирихле – Абеля

Признак Дирихле – Абеля относится к интегралам следующего вида, а именно:

Теорема 3 (Признак Дирихле – Абеля): Пусть:

1) Функция непрерывна на полупрямой и имеет на этой прямой ограниченную первообразную ( ),

2) Пусть функция является не возрастающей функцией на промежутке пусть

при и, кроме того, имеет непрерывную производную на _. Тогда интеграл сходится.

Док-во: Для доказательства воспользуемся критерием Коши, для этой цели рассмотрим следующий интеграл

Так как функция является непрерывной (по условию), то интеграл правой части существует. Кроме того, функция не возрастает и при . Поэтому при _. Для определенности будем считать, что . Рассмотрим модуль исходного интеграла:

Зададим произвольное , так как функция при , то такая константа ; , мы можем сделать значение функции таким , при и выполняется условие, что

исходный интеграл сходится, ч.т.д.

§2. Несобственные интегралы второго рода

Пусть функция определена на полусегменте будем считать, что функция является не ограниченной на этом полусегменте. При этом на сегменте функция является ограниченной (при этом ). Точку а назовем особой точкой функции и рассмотрим интеграл: .

Понятно, что значение данного интеграла будет зависеть от и рассмотрим предел при значения этого интеграла.

В независимости от этого указанный предел будем называть несобственным интегралом II рода на полусегменте .

Если указанный предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если особая точка c является внутренней точкой промежутка разбиения, то есть

.

Теорема (Критерий Коши): Для того чтобы несобственный интеграл сходился на необходимо и достаточно, чтобы такое , что

выполнялось условие: .

Справедливость этого утверждения вытекает из того, что сходимость несобственного интеграла означает существование предела

Признак сравнения: Если функции и удовлетворяют условию при и существуют интегралы

то из сходимости (1) следует сходимость (2), а из расходимости (2) следует соответственно расходимость (1).

Следствие: Если , при и , то интегралы

сходятся и расходятся одновременно.

Главное значение несобственного интеграла

Пример:

Полученный предел очевидно не существует. Пусть , тогда указанный интеграл:

Пусть определена на и пусть функция интегрируема на любом сегменте.

Характеристики

Список файлов лекций