Лекции в ворде (1111790), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Теорема: (О сходимости тригонометрического ряда Фурье в каждой точке). Пусть – кусочно-гладкая функция на сегменте . Тогда – сходится в точке и для его суммы справедливо:

Д ок-во: Продолжим периодически функцию на всю числовую прямую с периодом и составим частичную сумму Фурье ряда: . Т.к. ; , то частичную сумму ряда можно переписать в следующей форме: (где – ядро Дирихле порядка (где обозначает количество слагаемых, которые мы выбираем в исходной частичной сумме ряда Фурье)) , где , где . Функции и представляют собой периодические функции с периодом . . Далее рассмотрим: .

Т.к. - чётная функция, то ; (умножим на

Рассмотрим частичную сумму: . Рассмотрим разность (2)-(1): . Преобразуем ядро Дирихле : . Домножим на и и получим: .

Заметим, что выражение для не определено в точке , но с другой стороны предел в данной точке равен: . Таким образом: . По лемме 2 при , и аналогично: при , следовательно, складывая два последних результата, получаем: при , т.е. . Отметим, что если функция непрерывна в точке и односторонние пределы совпадают, значит , тем самым пункт (1) теоремы доказан.

2) Для значений в точках и запишем: , тем самым пункт (2) теоремы доказан.

Комплексная форма ряда Фурье

. Но . Итак , где . Тем самым мы получили разложение функции по системе функций . Указанная система функций является ортогональной на сегменте , то есть .

§3. Понятие общего ряда Фурье

Тригонометрический ряд Фурье является частичным случаем общего ряда Фурье. Понятие общего ряда Фурье связано с разложением бесконечномерного евклидова пространства по ортонормированной системе. Будем рассматривать бесконечномерное евклидово пространство, т.е. линейное пространство, в котором имеется в том числе и бесконечно большое число независимых элементов , с точки зрения функций тригонометрической системы.

Пример: Рассмотрим пространство кусочно-непрерывных на сегменте функций (Обозначение: , ). Будем предполагать, что в точке разрыва . Введём в пространстве скалярное произведение (свёртку) двух функций: . Скалярное произведение удовлетворяет следующему свойству: (данное неравенство называется неравенством Коши-Буняковского).

Определение: Линейное пространство называется нормированным, если каждому элементу поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число – норма элемента . Причём норма удовлетворяет следующим условиям:

1. , если ; , если ;

2. , для любого ;

3. .

Примечание: Отметим, что в любом нормированном пространстве можно ввести метрику – расстояние между двумя элементами, в данном случае . Во всяком евклидовом пространстве можно ввести норму из скалярного произведения: .

Определение: Последовательность элементов евклидова пространства называется ортонормированным, если её элементы являются попарно ортогональны, а норма каждого элемента равна единице.

Определение: Рядом Фурье элемента f по ортонормированной системе называется ряд , где . называется коэффициентом Фурье элемента f.

Если евклидово пространство имеет конечную размерность равную , то система , состоящая из ортогональных элементов, норма каждого из которых равна единице, образует ортонормированный базис и любой элемент f такого пространства можно разложить по этому базису: . Указанное разложение также представляет собой пример общего ряда Фурье, но только этот ряд содержит конечное число слагаемых. В случае бесконечной размерности евклидова пространства встаёт вопрос о сходимости ряда Фурье, рассматривается сходимость к элементу пространства f по метрике данного пространства. Рассмотрим сумму . Назовём её n-ой частичной суммой ряда Фурье. Наряду с будем рассматривать линейные комбинации элементов ортонормированной системы .

Теорема 1: При фиксированном из всех сумм вида наименьшее отклонение элемента по норме данного евклидова пространства имеет n-ая частичная сумма (частичная сумма ряда Фурье). Или частичная сумма выражает свойство «экстремальности» ряда Фурье (минимизация погрешности приближения данного элемента f).

Док-во: Рассмотрим , получаем:

(прибавим и вычтем )

. Таким образом наименьшее отклонение от элемента по норме данного пространства даёт наименьшее отклонение, ч.т.д.

Утверждения:

1. Для любого элемента , для любой ортонормированной системы и для любого выполняется равенство: (данное равенство называется тождеством Бесселя).

2. Для любого элемента , для любой ортонормированной системы справедливо равенство: .

Замкнутые и полные ортонормированные системы

Ключевым моментом для построения рядов Фурье является корректность выбора ортонормированной системы .

Определение: Ортонормированная система в бесконечномерном евклидовом пространстве называется замкнутой, если любой элемент этого пространства можно приблизить с произвольной точностью по норме данного пространства с помощью конечной линейной комбинации элементов : и .

Теорема 2: (Необходимое и достаточное условие замкнутости ортонормированной системы). Для того чтобы ортонормированная система была замкнута, необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента :

где . (Равенство (1) называется равенством Парсеваля).

Док-во:

1. (Необходимость) Воспользуемся тождеством Бесселя. Если система – замкнутая, то такое, что левая часть тождества будет меньше чем при .

2. (Достаточность) Если справедливо равенство Парсеваля, то такое, что правая часть тождества будет меньше, чем , следовательно, и левая часть тождества будет меньше чем . А последнее означает, что система будет замкнутой, ч.т.д.

§4. Интеграл Фурье

В том случае, когда функция является не периодической, для её представления используется интеграл Фурье. Рассмотрим ряд Фурье функции на сегменте :

где

В физике выражение вида и называются гармониками, а само разложение функции (1) называется разложением функции по гармоникам. Введём, далее, выражение: – разность двух соседних частот. Нужно отметить, что при разность . От дискретного спектра разложения по частотам мы переходим к непрерывному спектру разложения по частотам.

Приближённый подход: Подставим выражения для интеграла Фурье (2) в формулу (1) и получим выражение для интеграла Фурье: . Перейдём к пределу при , при этом будем считать функцию абсолютно интегрируемой, т.е. – сходится, тогда: – интеграл Фурье.

Рассмотрим теперь строгий подход.

Теорема: Если функция :

1. Определена на всей числовой прямой ;

2. Кусочно-гладкая на всей числовой прямой ;

3. Абсолютно интегрируема на всей числовой прямой , то для любого справедливо равенство: .

Док-во: Согласно определению несобственного интеграла перепишем интеграл в левой части: . Нам нужно доказать, что . Внутренний интеграл представляет собой несобственный интеграл, зависящий от параметра и сходящийся равномерно по параметру при . Это справедливо в силу мажорантного признака Вейерштрасса: . Поэтому можно изменить в интеграле порядок интегрирования по и : . Это даёт, что . Воспользуемся изменённым соотношением (а именно разрывным множителем Дирихле): . При имеем: . Вычитая это равенство из равенства , получим: . Зададим и возьмём достаточно большим так, чтобы выполнялось неравенство: . Такая оценка возможно, т.к. интеграл является сходящимся. По лемме 2: для любого фиксированного A: при существует : при . Наконец: – сходится существует такое : при . Следовательно, при при , т.к. при , аналогично при , ч.т.д.

Преобразование Фурье

Интеграл Фурье: . Запишем интеграл Фурье в комплексной форме. Рассмотрим функцию . Эта функция является чётной функцией параметра , таким образом:

аналогично: – нечётная функция . Итак получаем:

Соотношение (3) называется комплексной формой интеграла Фурье. Перепишем формулу (3) в виде: и введём следующее обозначение: . Тогда соотношение (3) примет вид: . Функцию называют образом Фурье, – оригиналом Фурье, переход – обратным преобразованием Фурье, а переход – прямым преобразованием Фурье.

Характеристики

Список файлов лекций