Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Определение: Если существует предел , то он называется главным значением несобственного интеграла в смысле Коши и обозначается следующим образом:

(V.p. = vabeur principal).

В этом случае говорят, что функция интегрируема на прямой _. Очевидно, что если несобственный интеграл сходится, то его значение совпадает с его собственным значением. Но может так быть, что несобственный интеграл расходится, но при этом имеет конечное главное значение.

Рассмотрим несобственный интеграл второго рода , где c – внутренняя особая точка интервала .

Определение: Если существует предел «конструкции» следующего вида: ,

то он называется главным значением несобственного интеграла второго рода и обозначается V.p. .

Отметим, что исходный несобственный интеграл может быть расходящимся, то есть может не существовать предел .

V.p. .

§3. Несобственные кратные интегралы

Несобственный интеграл возникает на неограниченной области, либо ограниченной области, но имеющей особые точки. Пусть G – ограниченная квадрируемая область на плоскости , и пусть в области G (за исключением, быть может, некоторой точки ) определена функция , не ограниченная в окрестности точки . Заключим точку в произвольную квадрируемую область , где – диаметр области _. Пусть функция интегрируема в области _. Рассмотрим предел на области .

.

Этот предел называется несобственным интегралом от функции по области G (несобственный двойной интеграл). Для кратных несобственных интегралов, как правило, не вводят понятия интегралов первого и второго рода. Если указанный предел существует и не зависит от способа стягивания области точке , то говорят, что несобственный интеграл сходится, а в противном случае – расходится. В ряде задач математической физики важную роль играет случай, когда – круг с радиусом и центром в точке . Если существует

, где – круг с радиусом и центром в точке , то этот предел называется главным значением несобственного интеграла по области G от функции и обозначается

V.p.

Пусть функция определена в неограниченной области G и пусть последовательность ограниченных квадрируемых областей монотонно «исчерпывает» область G, то есть любая область и

Пусть функция интегрируема в любой ограниченной области вида . Рассмотрим числовую последовательность , построенную следующим образом . Если и не зависит от выбора последовательности областей _,то говорят, что несобственный интеграл сходится, а в противном случае – расходится.

Замечание: Кратные несобственные интегралы обладают следующим удивительным свойством, а именно: для несобственных интегралов понятия сходимости и абсолютной сходимости являются эквивалентными.

Отмеченное свойство обусловлено произвольностью стягивания к точке _, или соответственно, произвольностью выбора последовательности

Собственные интегралы, зависящие от параметра

1. .

2. ; .

3. A, B – множители; .

4. A, B – множители; f: ; f – отображение .

5. – плотное в себе множество и [окрестность точки] .

П усть имеется множество Q в n-мерном пространстве и в нем заданы функции , , причем и такие, что . Пусть в : .Рассмотрим случай когда , – следовательно, : F: интеграл по x на .

и этот интеграл называется собственным интегралом, зависящим от параметра.

Теорема 1 (Теорема о непрерывности): Пусть Q – параллелепипед в n-мерном пространстве: .

Вместо параллелепипеда может быть замкнутое, ограниченное, плотное в себе множество при .

Теорема 1.1:

Пусть непрерывна в области определения. Тогда непрерывна в своей области определения .

Док-во: ; при где Фиксируем , тогда по первой теореме Вейерштрасса можно указать такое число , что при по теореме Кантора функция f равномерно непрерывна на сегменте , можно указать такое , что выполняется:

при .Фиксируем , , , ч.т.д.

Уточним теорему 1.1: Пусть при и соответственно .

Теорема 1.2: Пусть функция непрерывна на прямоугольнике . Обозначим:

; .

Тогда:

1. Функция непрерывна на сегменте .

2. Функция .

3. , тогда .

Док-во: По теореме 1.2: , ; ч.т.д.

Теорема 1.4:

Пусть функция f непрерывна в области определения , пусть также существует производная и непрерывна также на .

Тогда:

1. , где – множество непрерывных функций, имеющих непрерывные первые производные.

2. .

Док-во: ; и непрерывные (т.к. – непрерывная функция). Введем следующую вспомогательную функцию, которую назовем «формальной» производной:

фиксируем получаем: , ч.т.д.

Теорема 1.5: Пусть f, дифференцируемы на .

Тогда:

1. I – дифференцируема на . .

2.

Док-во: I – дифференцируема. , ч.т.д.

Глава 5. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

§1. Определение несобственного интеграла

Определение: Функция f называется локально интегрируемой, если , т.е. f – интегрируема на сегменте .

Определение: Пусть , пусть . Рассмотрим полуинтервал . Пусть задана функция . Будем считать, что локально интегрируема по переменной x на . Несобственным интегралом с особой точкой b по называется формальное выражение: .

Определение: Будем говорить, что интеграл сходится равномерно на множестве Q к I, если справедлива оценка или справедлива оценка . (Определение поточечной сходимости).

Пусть имеются два N-мерных пространства ; Пусть – предельная точка множества причем: Будем говорить, что равномерно стремится к при по если [ окрестность точки ] , справедлива оценка . Обозначение следующее: .

§2. Свойства несобственного интеграла, зависящего от параметра

Пусть – локально интегрируемы по x на . Пусть . и сходится равномерно на Q

– первое свойство несобственного интеграла, зависящего параметра, называющееся теоремой о линейности.

Теорема 2.2 (Замена переменных в несобственных интегралах, зависящих от параметра):

Пусть:

1.

2. – непрерывна по x на .

3. , при .

Тогда следующий интеграл сходится равномерно на множестве Q, тогда и только тогда, когда сходится равномерно на множестве Q, причем справедливо равенство: .

Теорема 2.3: Пусть для каждого функции и по переменной x. Пусть Тогда сходится равномерно по тогда и только тогда, когда сходится равномерно по , причем верно: .

Теорема 2.4: Пусть функция локально интегрируема по x на сегменте . Пусть сходится поточечно на множестве Q сходится равномерно на Q , тогда выполняется условие .

Док-во: Обозначим при .

Заменим – остаток.

, ч.т.д.

Теорема 2.5 (Критерий Коши): Пусть функция локально интегрируема по . сходится равномерно на Q тогда и только тогда, когда что выполняется условие .

Док-во:

1. Пусть сходится равномерно на множестве Q к функции I. Фиксируем . Выберем . Фиксируем мы можем записать следующее:

. Необходимость выполнена.

2. Докажем достаточность. Пусть выполнено условие (1). Из этого следует, что сходится поточечно по критерию Коши. Фиксируем и выберем число , . Перейдем к пределу при . При этом . По теореме (2.4) сходится равномерно на Q, ч.т.д.

Теорема 2.6 (Признак Вейерштрасса): Пусть функция локально интегрируема по x. Пусть – локально интегрируема по x. Пусть: , при . Здесь . Пусть сходится интеграл интегралы – сходятся равномерно на Q.

Док-во: Без ограничения общности будем считать, что . Выберем Фиксируем . . Согласно критерию Коши интегралы и сходятся равномерно на Q, ч.т.д.

Теорема 2.7 (Признак Дирихле-Абеля): Пусть функции и локально интегрируемы по . Пусть выполняются два требования:

1. ;

2. функция монотонна по переменной x.

Тогда рассматриваемый интеграл сходится равномерно на Q.

Док-во: функция непрерывна по x; функция по x. Пусть: ( – рассматривается аналогично). Выберем .

Фиксируем . Рассмотрим случай, когда – не возрастает по x; .

Фиксируем .

. Пусть – не убывает по x, . Справедлива та же оценка. По условию теоремы, функция при монотонно равномерна по y, следовательно, при . По критерию Коши интеграл сходится равномерно на множестве Q, ч.т.д.

Теорема 2.8 (Признак Дини): Пусть множество Пусть: сходится поточечно на Q к ; . Пусть либо либо , следовательно, сходится равномерно на множестве Q.

Док-во: Выберем . Обозначим: .

Согласно теореме 1.2 . Так как – сходится поточечно, то , , – монотонная. Согласно признаку Дини для последовательности: . Покажем, что Перепишем это . Положим . Фиксируем , ч.т.д.

§3. Непрерывность, интегрирование и дифференцирование интеграла,

зависящего от параметра

Теорема 2.9 (Непрерывность): Пусть: – сходится равномерно по y на множестве Q к функции , следовательно, верно: .

Док-во: Выберем . Обозначим , . Так как , ч.т.д.

Теорема 2.10 (Интегрируемость): Пусть: сходится равномерно на к функции I. Пусть . Обозначим следовательно:

Характеристики

Список файлов лекций