Лекции в ворде (1111790), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Предел функциональной последовательности зависит от x и соответственно обозначается:

.

Аналогично вводятся определения для функциональных рядов. Членами функциональных рядов являются функции, определенные на множестве Х. Функциональный ряд имеет вид:

.

Определение: Если числовой ряд сходится (расходится), то говорят, что функциональный ряд сходится (расходится) в точке .

Определение: Если функциональный ряд сходится в каждой точке Х, то говорят, что

указанный ряд сходится на множестве Х.

Поставим вопрос: в каком случае предел последовательности непрерывных функций является непрерывной функцией. В каком случае сумма ряда, состоящая из непрерывных функций – функция непрерывная? Эти два вопроса взаимосвязаны, т.к. сумма ряда есть предел последовательности частичных сумм. Предел произвольной функциональной последовательности может быть рассмотрен, как сумма ряда , где . Ответы на поставленные вопросы тесным образом связаны с понятием равномерной сходимости последовательностей.

§1. Равномерная сходимость функциональной последовательности и рядов

Пусть сходится на Х к . Сходимость в точке x означает, что . В нашем случае, вообще говоря N зависит от  и от х.

Определение: Говорят, что функциональная последовательность сходится равномерно на множестве Х, если: (один и тот же для всех ) такой, что и .

Обозначения: на Х.

Геометрическая иллюстрация равномерной сходимости.

С геометрической точки зрения неравенство означает, что при график любой функции будет лежать в -окрестности графика функции .

1) Сходится ли равномерно последовательность к функции на полуинтервале ?

2) Сходится ли равномерно функциональная последовательность на сегменте ?

Сформулируем эквивалентные определения равномерной сходимости что функциональной последовательности.

Определение: Функциональная последовательность называется равномерно сходящейся на множестве Х, если при , т.е. .

Определение: Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно к функции на множестве Х, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно к функции при на множестве Х. Иными словами, это означает что такой, что выполняется условие .

Примечание: Рассмотрим тот же ряд, но в случае, когда множество X принимает значения .

, следовательно, данная последовательность расходится на множестве X.

§2. Признаки равномерной сходимости функциональных

последовательностей и рядов

Теорема 1 (Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности):

Для того чтобы функциональная последовательность сходилась равномерно на множестве Х к некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы >0 – натурального, , выполнялось следующее условие: .

Док-во: 1. Необходимость. Пусть последовательность равномерно сходится к функции на множестве Х, тогда выполняется , т.к. p – натуральное, то, очевидно, что и , используя свойства модуля, окончательно получаем – натурального, , ч.т.д.

2. Достаточность. Пусть – натурального

Условие (1) означает, что последовательность является фундаментальной числовой последовательностью и, следовательно, сходится к некоторому числу, зависящему от выбора х. Таким образом, функциональная последовательность сходится на множестве Х при , а значит и последовательность также сходится к при , где p – натуральное. Переходя к пределу при в неравенстве (1): , а это и означает, что , ч.т.д.

Теорема 1’ (Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда):

Для того, чтобы функциональный ряд равномерно сходился к своей сумме необходимо и достаточно, чтобы – натурального, , выполнялось .

Док-во: Аналогично доказательству теоремы 1.

§3. Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных рядов

Определение: Числовой ряд называется мажорантным (или мажорирующим) для функционального ряда на множестве X, если .

Теорема 2 (Признак Вейерштрасса):

Если для функционального ряда на множестве Х существует мажорантный сходящийся ряд , то исходный функциональный ряд сходится на множестве Х.

Док-во: Зададим произвольное , по критерию Коши для числовых рядов и – натурального, выполняется условие . Т. к. по условию , то – натурального и выполняется . Таким образом, для функционального ряда выполняется критерий Коши равномерной сходимости, ч.т.д.

Признак Дирихле-Абеля

Определение: Функциональная последовательность называется равномерно ограниченной

на множестве Х, если существует константа M такая, что .

Теорема 3 (признак Дирихле-Абеля равномерной сходимости функциональных последовательностей):

Пусть:

1. Функциональная последовательность не возрастает при каждом а сходится к нулю равномерно на множестве Х (т.е. на X).

2. Последовательность равномерно ограничена на множестве X. Тогда ряд сходится равномерно на множестве X.

Док-во: Признака Дирихле-Абеля полностью повторяет схематично доказательство данного признака для числовых рядов.

Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Теорема 4: Пусть функциональная последовательность непрерывна на промежутке Х. Пусть функциональная последовательность равномерно сходится к на Х. Тогда непрерывна на промежутке Х.

Док-во: Докажем непрерывность функции в какой либо точке множества Х. функциональная последовательность равномерно сходится к функции на множестве Х, то

В том числе, в частности

Возьмем какую-нибудь функцию с номером , т.к. указанная функция непрерывна в точке , то для заданного

при

Из соотношений (1)-(3), следует, что при , значит, функция является непрерывной, ч.т.д.

Теорема 4’: Если все функции непрерывны на промежутке Х и ряд сходится на множестве Х, то ряд является непрерывной функцией на множестве Х.

Док-во: – непрерывна, то – непрерывная функция на множестве Х. По условию теоремы равномерно сходится к на Х, поэтому по теореме 4 функция непрерывна на множестве Х, ч.т.д.

Переход к пределу под знаком интеграла и почленное интегрирование ряда

Пусть на множестве Х. Пусть точки x и – две произвольные точки из множества Х. Рассмотрим два интеграла:

и

Иными словами верно ли равенство

Аналогичный вопрос ставится и для сходящегося числового ряда. Если последнее равенство верно, то говорят, что ряд можно интегрировать почленно от x до . Корректный переход к пределу под знаком интеграла возможен в том случае, если имеется равномерная сходимость соответствующей последовательности или ряда.

Теорема 5: Пусть функция – непрерывны на сегменте . Пусть равномерно сходится к на сегменте . Тогда для любых x, , причем на , для любого .

Док-во: По определению равномерной сходимости нам надо доказать, что

.

Зададим , т.к. равномерно сходится к на , то и

. Оценим разность интегралов . Отметим, что функция – непрерывная функция на сегменте . Тогда и

, перепишем в следующем виде:

. Последнее означает, что равномерно сходится к , ч.т.д.

Теорема 5’: Если все функции непрерывны на сегменте и , то

.Т.е. при указанных условиях функциональный ряд надо интегрировать почленно.

Переход к пределу под знаком производной и почленное дифференцирование ряда

Пусть на множестве Х. Пусть функции и дифференцируемы на сегменте . Поставим вопрос: сходится ли последовательности и .

Теорема 6: Пусть

1. Функции имеют непрерывные производные на сегменте .

2. на сегменте .

3. на .

Тогда:

1. Функция дифференцируема на сегменте .

2. , т.е. .

Док-во: Т.к. на , то по теореме 4 функция является непрерывной на сегменте , по теореме 3:

Таким образом, получаем, что функция является дифференцируемой функцией: , ч.т.д.

Теорема 6’: Пусть:

1. Все функции имеют непрерывные производные на сегменте .

2. сходится к на сегменте .

3. сходится равномерно к на сегменте .

Тогда функция – дифференцируемая функция на сегменте , причем , или

.

Док-во: Доказательство теоремы сводится к доказательству теоремы 6.

Сходимость в среднем

Рассмотрим координатное пространство E^m и рассмотрим две точки из этого пространства и рассмотрим .

Определение: Если на некотором множестве задана функция расстояния , удовлетворяющая следующим условиям:

1) , причем если ;

Характеристики

Список файлов лекций