Лекционный курс (1111786), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Приведём пример вычисления поверхностного интеграла 2-готипа I = ∫∫ xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy , где S – внешняя сторона сферыS45x2 + y2 + z 2 = a2 .I 1 = ∫∫ zdx ∧ dy . Из соображений симметрииОбозначимS∫∫ xdy ∧ dz = ∫∫ ydz ∧ dx = Iочевидны равенстваS1, так что I=3I1. Поверхность SSсостоит из частей S1 и S2, задаваемых уравнениями z = a 2 − x 2 − y 2 (это S1 –верхняя полусфера) и z = − a 2 − x 2 − y 2 (это уравнение для нижней полусферыS2). На S1 внешняя нормаль составляет с осью z острый угол, на S2 – тупой.∫∫ zdxdy = ∫∫ПоэтомуS1a2(a − x − y dxdy = ∫ dϕ ∫D= −π ∫ a − r d a − r22π2202)220(2a2 − r 2= −π3)a( )1a − r rdr = 2π ⋅ ∫ a 2 − r 2 d r 2 =20222πa 3.=302 aАналогично, так как на S2 z = − a 2 − x 2 − y 2 , а нормаль составляет с осьюzтупойугол,∫∫ zdx ∧ dy = − ∫∫ −S2a 2 − x 2 − y 2 dxdy = ∫∫ a 2 − x 2 − y 2 dxdy =DD2πa 32πa 3 2πa 3 4πa 3=.
Значит, I 1 = ∫∫ zdx ∧ dy =+=. Поэтому I = 3I1 = 4πa 3 .3333S5. Формула Остроградского-Гаусса.Теорема.ПустьS–замкнутаякусочно-гладкаяповерхность,ограничивающая тело V в пространстве. Пусть выбрана внешняя сторона S.Пусть P,Q,R – функции, имеющие непрерывные производные на V. Тогда⎛ ∂P∫∫ (Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy ) = ∫∫∫ ⎜⎜ ∂xSV⎝46+∂Q ∂R ⎞⎟dxdydz .+∂y ∂z ⎟⎠Равносильная⎛ ∂P∂Q∂R ⎞∫∫ (P cosα + Q cos β + R cos γ )dS = ∫∫∫⎜⎜⎝ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎟⎠dxdydz ,формулировка:SгдеV(cosα , cos β , cos γ ) − внешняя нормаль к S.Доказательство. Предположим, что V ограничено сверху S2 – графикомфункции z = z 2 (x, y ) , снизу S1 z = z1 (x, y ) , x, y ∈ D0 , а сбоку – цилиндрическойповерхностью S3.z ( x, y )2∂R∂Rdz = ∫∫ (R( x, y, z 2 ( x, y )) − R(x, y, z2 ( x, y )))dxdy =Вычислим ∫∫∫ dxdydz = ∫∫ dxdy ∫∂z∂zVD0z1 ( x , y )D0= ∫∫ R( x, y, z 2 (x, y ))dxdy − ∫∫ R(x, y, z1 (x, y ))dxdy = ∫∫ Rdx ∧ dy − ∫∫ Rdx ∧ dy , так как наD0D0S2S1S1 внешняя нормаль составляет с осью z тупой угол.cos γ = 0Далее, на S3иможнодобавитьк суммеслагаемое0 = ∫∫ R cos γ dS = ∫∫ Rdx ∧ dy .S3S3Итак,∂R∫∫∫ ∂z dxdydz = ∫∫ Rdx ∧ dy .VSДалее, если поверхность S можно представить в виде объединенияповерхностей x = x2 ( y, z ) , x = x1 ( y, z ) , x, y ∈ D1 и цилиндрической поверхности,∂Q∫∫∫ ∂y dxdydz = ∫∫ Qdz ∧ dx ,тоVи,прианалогичныхусловиях,S∂Pdxdydz = ∫∫ Pdy ∧ dz .∫∫∫V ∂xSПоэтому, если поверхность S удовлетворяет условиям всех трёх случаев,то⎛ ∂P∫∫ (Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy ) = ∫∫∫ ⎜⎜ ∂xSV47⎝+∂Q ∂R ⎞⎟dxdydz .+∂y ∂z ⎟⎠Теперь предположим, что V состоит из конечного числа тел V1,…,Vk,разделённых гладкими поверхностями S1,…,Sk, причём эти тела Viудовлетворяют сформулированным выше условиям.
Для простоты, пустьV = V1 ∪ V2 , S = S1 ∪ S 2 :Тогда:⎛ ∂P∂Q∂R ⎞⎛ ∂P∂Q∂R ⎞⎛ ∂P∂Q∂R ⎞∫∫∫⎜⎜⎝ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎟⎠dxdydz = ∫∫∫⎜⎜⎝ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎟⎠dxdydz + ∫∫∫⎜⎜⎝ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎟⎠dxdydz .VV1из интервалов⎛ ∂PКаждыйV2∂Q∂R ⎞∫∫∫⎜⎜⎝ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎟⎠dxdydz ,i = 1,2 , преобразуемпо формулеV1Остроградского-Гаусса как∫∫ (Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy ) ,i = 1,2 , гдеSiвзяты внешние стороны поверхностей Si, i = 1,2 .~Поверхности S1 и S2 имеют общую часть S , причём их внешние нормали~~на S противоположны и интегралы по S от Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dyвзаимно сократятся, поэтому∫∫ Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy +S1+ ∫∫ Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy = ∫∫ Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy .S2SТем самым, теорема доказана.6. Формула Стокса.Теорема.
Пусть S – гладкая ориентированная двусторонняя поверхность(т.е. направление нормали выбрано) и L – кусочно гладкая кривая,ограничивающая S, причём мы считаем направление обхода L положитель48ным. Пусть функции P, Q, R – непрерывно дифференцируемые. Тогда⎛⎞⎛ ∂R ∂Q ⎞⎛ ∂Q ∂P ⎞⎛ ∂P ∂R ⎞∫ (Pdx + Qdy + Rdz ) = ∫∫ ⎜⎜ ⎜⎜ − ⎟⎟dy ∧ dz + ⎜ − ⎟dz ∧ dx + ⎜⎜ − ⎟⎟dx ∧ dy ⎟⎟ .LS⎝ ⎝ ∂yЗамечание∂z ⎠⎝ ∂z⎝ ∂x∂y ⎠Равносильная1.⎛ ⎛ ∂R∂x ⎠∂Q ⎞⎛ ∂Pформулировка⎛ ∂Q∂R ⎞⎠∂P ⎞⎞∫ (Pdx + Qdy + Rdz ) = ∫∫ ⎜⎜⎝ ⎜⎜⎝ ∂y − ∂z ⎟⎟⎠ cosα + ⎜⎝ ∂z − ∂x ⎟⎠ cos β + ⎜⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎟⎠ cos γ ⎟⎟⎠dS .LSЗамечание 2.
В случае плоской кривой L, лежащей на плоскости Oxy ифункций P(x, y ) , Q(x, y ) эта формула совпадает с формулой Грина.Замечание 3. Формулы в правой части запомнить непросто. Поэтомуудобно записатьcos α∂∂xPcos β∂∂yQподынтегральноевыражениеввиде определителя:cos γ∂.∂zRРазумеется, это не совсем обычный определитель. Ведь во второй строкеего стоят операторы дифференцирования. Поэтому условимся считать, чтомы понимаем под этим определителем его формальное разложение по первойстроке, причём произведение, например, оператора∂на функцию R есть∂x∂Rи т.п.∂xДоказательство. Вычислим, например,∫ Pdx .Пусть, для простоты,Lz = z ( x, y ) - уравнение S.Тогдарассмотримпараметризациюпроекции l кривой L на плоскости z = 0 :x = x(t ) , y = y (t ) , t ∈ [T0 ;T1 ] (разумеется, x(t ) , y (t )- непрерывно дифференцируемые функции).T1Тогда ∫ Pdx = ∫ P(x(t ), y (t ), z (x(t ), y (t )))x′dt = ∫ P(x, y, z (x, y ))dx .
К плоской кривой lLT0применим формулу Грина:l∂∫ P(x, y, z (x, y ))dx = − ∫∫ ∂y P(x, y, z (x, y ))dxdy ,lD49где D –ограничиваемая кривой l область плоскости Oxy. Вычислим=⎛ ∂P∂P ∂P ∂z+⋅ . Итак,∂y ∂z ∂y∂P( x, y, z ( x, y )) =∂y∂P ∂z ⎞∫ Pdx = −∫∫ ⎜⎜⎝ ∂y + ∂z ⋅ ∂y ⎟⎟⎠dxdy .lDПерейдём от двойного интеграла к поверхностному: dxdy = cos γdS ,∂zcos γ = − cos β ,∂yизначит,∂z∂zdxdy = cos γdS = − cos β dS .∂y∂yПоэтому⎛ ∂P⎞∂P⎜⎟⎟dS .=Pdx−cosβcosγ∫l∫∫S ⎜ ∂z∂y⎝⎠Аналогично,⎛ ∂Q∂Q⎞⎛ ∂R∂R⎛ ∂Q∂Q⎞∫ Qdy = ∫∫ ⎜⎜⎝ ∂z cos γ − ∂y cosα ⎟⎟⎠dS , ∫ Rdz = ∫∫ ⎜⎜⎝ ∂y cosα − ∂x cos β ⎟⎟⎠dSLSl⎛ ∂P∂PS⎞⎞∫ (Pdx + Qdy + Rdz ) = ∫∫ ⎜⎜⎝ ∂z cos β − ∂y cos γ ⎟⎟⎠dS + ∫∫ ⎜⎝ ∂x cos γ − ∂z cosα ⎟⎠ +иLSS⎛ ⎛ ∂R ∂Q ⎞⎞⎛ ∂R⎞⎛ ∂Q ∂P ⎞∂R⎛ ∂p ∂R ⎞⎟⎟ cos α + ⎜ −⎟⎟ cos γ ⎟⎟dS .+ ∫∫ ⎜⎜ cos α −−cos β ⎟⎟dS = ∫∫ ⎜⎜ ⎜⎜−⎟ cos β + ⎜⎜∂y∂x∂y ∂z ⎠⎝ ∂z ∂x ⎠⎠⎝ ∂x ∂y ⎠S ⎝S ⎝⎝⎠Формула Стокса доказана.Введение в теорию дифференциальных форм.В трёхмерном пространстве определены следующие внешние дифференциальныеформы:ω 1 = Pdx + Qdy + Rdz (форма первой степени)ω 2 = Rdx ∧ dy + Qdz ∧ dx + Pdy ∧ dz (форма второй степени)Здесь и выше P, Q и R – функции от x, y и z.ω 3 = dx ∧ dy ∧ dz (ориентированный элемент объёма)Операция ∧ , называемая внешним произведением, обладает такими свойствами:1) ( dx ∧ dy ) ∧ dz = dx ∧ ( dy ∧ dz )502) dx ∧ dy = − dy ∧ dxДля дифференциальнойформы определено дифференцирование, обладающеесвойствами:1) d (ω1 + ω 2 ) = dω1 + dω 22)d( (ω1 ∧ ω 2 ) = dω1 ∧ dω 2 + ( −1)kω1 ∧ dω 2 , где k – степень формы ω 23) d ( dω ) = 0Следуя этим правилам, вычислим: d ( Pdx) = dP ∧ dx + Pd ( fx ) = dP ∧ dx , т.к.
P –формулой нулевой степени.Например,dω 1 = d ( Pdx + Qdy + Rdz ) = d ( Pdx) + d (Qdy ) + d ( Rdz ) =⎛ ∂P∂P∂P ⎞= dP ∧ dx + dQ ∧ dy + dR ∧ dz = ⎜⎜ dx +dy +dz ⎟ ∧ dx +∂y∂z ⎟⎠⎝ ∂x⎛ ∂R⎛ ∂Q∂R∂R ⎞∂Q∂Q ⎞+ ⎜⎜dx +dy +dz ⎟⎟ ∧ dy + ⎜⎜ dx +dy +dz ⎟dz =∂y∂z ⎟⎠∂y∂z ⎠⎝ ∂x⎝ ∂x=∂P∂Q∂P∂P∂Qdx ∧ dx +dy ∧ dx +dz ∧ dx +dx ∧ dy +dy ∧ dy +∂x∂y∂z∂x∂y+∂Q∂R∂R∂Rdz ∧ dy +dx ∧ dz +dy ∧ dz +dz ∧ dz =∂z∂x∂y∂z⎛ ∂P ⎞∂Q∂R∂P⎛ ∂Q ⎞⎛ ∂R ⎞⎟⎟dx ∧ dy += ⎜⎜ −dy ∧ dz + ⎜ −dz ∧ dx +dx ∧ dy +⎟dy ∧ dz + ⎜ −⎟dz ∧ dx =∂z∂x∂y⎝ ∂z ⎠⎝ ∂x ⎠⎝ ∂y ⎠⎛ ∂Q ∂P ⎞⎛ ∂P ∂R ⎞⎛ ∂R ∂Q ⎞⎟⎟dx ∧ dy + ⎜⎜⎟⎟dy ∧ dz= ⎜⎜−−−x ⎟⎟dz ∧ dx + ⎜⎜⎝ ∂x ∂y ⎠⎝ ∂z ∂y ⎠⎝ ∂y ∂z ⎠Полученный результат даёт повод вспомнить теорему Стокса.Далее,d (ω 2 ) = d ( Rdx ∧ dy + Qdz ∧ dx + Pdy ∧ dz ) = dR ∧ dx ∧ dy +⎛ ∂R∂R∂R ⎞+ dQ ∧ dz ∧ dx + dP ∧ dy ∧ dz = ⎜⎜ dx +dy +dz ⎟ ∧ dx ∧ dy +∂y∂z ⎟⎠⎝ ∂x⎛ ∂Q⎛ ∂P∂Q∂Q ⎞∂P∂P ⎞+ ⎜⎜dx +dy +dz ⎟⎟ ∧ dz ∧ dx + ⎜⎜ dx +dy +dz ⎟ ∧ dy ∧ dz =∂y∂z ⎠∂y∂z ⎟⎠⎝ ∂x⎝ ∂x=∂R∂R∂R∂Qdx ∧ dx ∧ dy +dy ∧ dx ∧ dy +dz ∧ dx ∧ dy +dx ∧ dz ∧ dx +∂x∂y∂z∂x51+∂P∂Q∂Qdy ∧ dz ∧ dx +dz ∧ dz ∧ dx +dx ∧ dy ∧ dz +∂y∂z∂x+⎛ ∂P ∂R ∂Q ⎞∂P∂P⎟⎟dx ∧ dy ∧ dz++dy ∧ dy ∧ dz +dz ∧ dy ∧ dz = ⎜⎜∂y∂z⎝ ∂x ∂z ∂y ⎠так как dz ∧ dx ∧ dy = − dx ∧ dz ∧ dy = dx ∧ dy ∧ dz .Полученный результат даёт повод вспомнить теорему Остроградского.52Приложения кратных, криволинейных и поверхностныхинтегралов.
Элементы теории поля.1. Скалярное и векторное полеОпределение. Скалярное поле на области D ⊂ R 3 ( D ⊂ R 2 ) представляетсобой произвольную функцию U (M ) , определенную на D, M ∈ D .Поверхности уровня скалярного поля – это множества решений уравненияU (M ) = C , C ∈ R при заданных значениях C .Пример. На географической карте линии уровня (двумерный аналогповерхности уровня) показывают точки, лежащие на одной высоте.Аналогичные примеры – изотермы, изобары и т.д.Векторное поле F на области D ⊂ R 3 (или D ⊂ R 2 ) – это вектор,координаты которого (P, Q, R ) являются функциями, определенными на D .Примеры представляют собой силовое поле, поле скоростей и т.п.2. Производная скалярного поля по направлению.
Градиентскалярного поляВо 2-м семестре мы уже рассматривали производную плоского поля (т.е.D ⊂ R2)по направлениюl,∂U.∂lПонятие величины отрезкаM 0Mопределяется аналогично и для D ⊂ R 3 . Напоминаем: величина M 0 M отрезкаM 0 M представляет собой его длину со знаком “+”, если векторы M 0 M и lодинаково направлены и длину со знаком “-”, если их направленияпротивоположны. Тогда, по определению,53U (M ) − U (M 0 )∂U= lim.M 0M∂l M → M 0Есливведенасистемапрямоугольныхдекартовых координат и векторlзаданнаправляющими косинусами (cos α , cos β , cos γ ) ,то при условии дифференцируемости U в т.M 0 легко вывести формулу:∂U(M 0 ) = ∂U (M 0 ) cos α + ∂U (M 0 ) cos β + ∂U (M 0 ) cos γ = gradU , l ,∂l∂x∂y∂z()где⎛ ∂U⎞(M 0 ), ∂U (M 0 ), ∂U (M 0 )⎟⎟ - градиент скалярного поля U в точкеgradU (M 0 ) = ⎜⎜∂y∂z⎝ ∂x⎠M0 .Разумеется, понятие градиента можно ввести и без использованиясистемы координат:∂U= gradU ⋅ l ⋅ cos φ = gradU ⋅ cos φ , т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
