Лекционный курс (1111786), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Во-первых, оба интеграла в формулировке теоремысуществуют, поскольку f (x, y ) – непрерывная функция.Рассмотрим разбиение области ∆ прямыми, параллельными осям u и v.Рассмотрим его часть, имеющую вид прямоугольника с вершинами(u, v + ∆v )(u + ∆u, v + ∆v )(u, v )(u + ∆u, v )Приотображенииx = x(u , v), y = y (u , v)соответственно, в точкиДалее, при ∆u → 0, ∆v → 010этиточкиперейдут,∂x(u, v )∆v + o(∆v )∂v∂yy (u , v + ∆v ) − y (u, v ) = (u , v )∆v + o(∆v )∂v∂x(u, v )∆u + o(∆u )x(u + ∆u , v ) − x(u , v ) =∂u∂y(u, v )∆u + o(∆u )y (u + ∆u , v ) − y (u , v ) =∂ux(u, v + ∆v ) − x(u , v ) =∂x(u, v + ∆v )∆u + o(∆u )∂u∂y(u, v + ∆v )∆u + o(∆u )y (u + ∆u , v + ∆v ) − y (u , v + ∆v ) =∂u∂xx(u + ∆u , v + ∆v ) − x(u + ∆u , v ) = (u , v + ∆v )∆v + o(∆v )∂v∂yy (u + ∆u , v + ∆v ) − y (u + ∆u , v ) = (u , v + ∆v )∆v + o(∆v )∂vx(u + ∆u , v + ∆v ) − x(u , v + ∆v ) =При малых ∆u , ∆v производные(u + ∆u, v ), (u, v + ∆v ) ,∂x ∂x ∂y ∂y, , , , вычисленные в точках∂u ∂v ∂u ∂vмало отличаются от соответствующих производных,−−вычисленных в точке (u, v ) , поэтому r u (u , v ), r v (u , v ) мало отличаются от−−r u (u + ∆u , v ), r v (u + ∆u , v )рассматриваемыйи−−r u (u , v + ∆v ), r v (u , v + ∆v ) ,четырёхугольникпредставляетпараллелограмм».Площадь параллелограмма со сторонами r u , r vrurv∂x∂uравна модулю определителя ∂y∂u∂x∂v = J, т.е.

равна J .∂y∂v11соответственно,собойи«почтиПоэтомуприпреобразованииn∑ f (x(u , v ), y(u , v )) J (u , v )∆u∆vii =1iiin∑ f (x , y )пл.(D ) ,i =1iiiiблизкаiинтегральнаяксуммаинтегральнойсуммеи т.к. соответствующие интегральные суммы дляинтегралов, стоящих в правой и левой частях доказываемого равенства малоотличаются друг от друга, то и интегралы совпадают.Замечание.

Утверждение теоремы сохранится, если условие взаимнойоднозначности отображения x = x(u , v), y = y (u , v) нарушится на множественулевой площади.Пример. Переход к полярным координатам.Пусть требуется вычислить∫∫ f (x, y )dxdyпо области D, котораяDзадаётсявполярныхкоординатахусловиями⎧α ≤ φ ≤ β⎨⎩ r ≤ r (φ )Сделаем замену переменных⎧ x = r cos φ⎨⎩ y = r sin φПри этой замене нарушается взаимная однозначность отображения.Точке (0,0) соответствует целый отрезок [α , β ] на оси φ .

Однако точка иотрезок имеют нулевую площадь, и теорема справедлива. ОсталосьвычислитьJ=cos φsin φ∂x∂y∂x∂y= cos φ , = sin φ ,= − r sin φ ,= r cos φ .∂r∂r∂φ∂φJ.− r sin φ= r cos 2 φ + r sin 2 φ = rr cos φСледовательно,β∫∫ f (x, y )dxdy = ∫α dφ ∫r (φ )0Df (r cos φ , r sin φ )rdr .Полярные координаты бывают очень полезны при вычислениях.∞Рассмотрим пример. Найти I = ∫ e − x dx .2012Решение.

I — это несобственный интеграл, и прежде всего следует∞установить его сходимость. По определению,1∞−x−x−x∫ e dx = ∫ e dx + ∫ e dx .202021Первый из интегралов — собственный, второй — сходится по 1-й теореме осравнении,таккакx ≥ x ⇒ − x ≤ − x, e22x ≥1присправедливынеравенства∞≤ e , а ∫ e − x dx , очевидно, сходится.− x2−x1RОбозначим I R = ∫ e − x dx (очевидно, I R → I, R → ∞ ). Тогда, поскольку20обозначение переменной интегрирования можно выбрать произвольным,RRI 2R = I R ⋅ I R = ∫ e − x dx ⋅ 0 ∫ e − y dy = ∫∫ e − x2202−y2dxdy , где SR — квадрат, а C R , CSRчетверти круга, соответственно, радиусов R исвойствам 2 и 3 двойного интеграла∫∫ e2R . Так как e − x− x 2 − y2dxdy ≤ I 2R ≤CRинтеграле−x∫∫ e2− y22∫∫ eC− y22R—≥ 0 , то по− x 2 − y2dxdy . В2Rdxdy перейдем к полярным координатам:CR−x∫∫ eCR2− y2π/2R00∫∫ e−x 2 − y2dxdy = ∫ dφ∫ e −r rdr =Аналогично,C2R2dxdy =π R −r 1 2 π ⎛ −r R ⎞ π⎟ = 1 − e −R .edr = ⎜⎜ e∫0 ⎟⎠ 42024⎝2((2π1 − e −2 R42) и π4 (1 − eстремлении R к ∞ получаем, что lim I 2R =R →∞−R 2)dx ≤ I 2R ≤2)()π1 − e − 2 R dx .

При42πππ., то есть I 2 = , I =4424. Тройные интегралыРассмотрим кубируемую область в трехмерном пространстве V ⊂ R 3 .Разбиение T на части Vi осуществляется непрерывными поверхностями.Диаметр разбиения определяется аналогично двумерному случаю. Также, поаналогии, можно определить для функции f (x, y, z ) , разбиения T области V и13выбранныхM i (x i , y i , z i ) ∈ Viточекинтегральнуюсуммуnσ ( f , T , {M i }) = ∑ f (M i )µ (Vi ) , где µ (Vi ) обозначает объем области Vi .i =1Определение. Пусть I ∈ R такое число, что ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀T, d(T ) < δ∀{µ i }σ ( f , t{µ i }) − I < ε . Тогда мы говорим, что f интегрируема на V, число Iесть интеграл f по области V и обозначаем это так: I = ∫∫∫ f (x , y, z )dxdydz .VКак и в случае двойного интеграла, выполняются аналогичныесвойства 1-6. Можно доказать, что если f (x, y, z ) непрерывна на V, то онаинтегрируема на V.

Точно также можно убедиться в том, что если точкиразрыва f лежат на конечном числе непрерывных поверхностей, иразбивающих V на кубируемые области, то f интегрируема на V.Вычислениетройногоинтегралапроизводитсяпоследующемуправилу.ПустьТеорема.заданаVследующиминеравенствами:ψ1 (x, y ) ≤ z ≤ ψ 2 (x, y ), (x, y ) ∈ D . D — квадрируемая замкнутая область наплоскости, ψ 1 ,ψ 2 — непрерывные функции на D. Тогдаψ 2 (x, y )∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫∫ dxdyψ (∫ f) (x, y, z )dzVDЗамечание.1Еслиx, yобластьDзадананеравенствамиa ≤ x ≤ b, φ1 (x ) ≤ y ≤ φ 2 (x ) , где φ1 ,φ 2 — непрерывные функции на [a, b], тоbφ2 ( x )ψ 2 ( x, y )∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫ dx φ ∫( dy∫ f (x, y, z )dz.) ψ ( )Va1x1x, yСформулируем общую теорему о замене переменных.Теорема.

Пусть отображение x = x(u , v, w) , y = y (u , v, w) , z = z (u , v, w)устанавливаетвзаимнооднозначноесоответствиемеждуобластями∆, (u , v, w) ∈ ∆ и V , ( x, y, z ) ∈V , причем функции x, y, z — непрерывно14∂x∂u∂yдифференцируемые и J =∂u∂z∂u∂x∂v∂y∂v∂z∂v∂x∂w∂y≠ 0 ни в одной точке ∆ . Пусть∂w∂z∂wf ( x, y, z ) — непрерывная функция. Тогда∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f (x(u, , v, w), y(u, v, w), z (u, v, w)) ⋅ J dudvdw∆VКак и для двойного интеграла, теорема остается верной в случаенарушения ее условий на множестве нулевого объема.Пример1.Переходкцилиндрическимкоординатам.Оносуществляется с помощью функций: x = r cos φ, y = r sin φ, z = z .Приэтомякобианравенcos φ − r sin φ 0cos φ − r sin φJ = sin φ r cos φ 0 == r cos2 φ + r sin 2 φ = r .sin φ r cos φ001Пример 2.

Переход к сферическим координатам осуществляетсяфункциями x = r cos φ cos ψ, y = r sin φ cos ψ, z = r sin ψ .Якобианcos φ cosψJ = sin φ cosψsinψпреобразования− r sin φ cosψr cos φ cosψ0(разложение= r cosψcos φ cosψsin φ cosψравен− r cos φ sinψ− r sin φ sinψ =r cosψпо3-й− r sin φ cosψ− r sin φ cosψ+ sinψr cos φ cosψr cos φ cosψстроке)− r cos φ sinψ=− r sin φ sinψ(выделим общие множители у столбцов)− sin φ − cos φcos φ − sin φ+ r 2 sin 2 ψ cos ψ= r 2 cos 3 ψ + r 2 sin 2 ψ cos ψ =sin φ cos φcos φ − sin φ2222= r cos ψ(cos ψ + sin ψ ) = r cos ψ .r 2 cos 3 ψ15Криволинейные интегралы1.

Криволинейные интегралы первого типаРассмотрим спрямляемую (т.е. имеющую длину) кривую AB на плоскости(A, B – точки плоскости). Для простоты, считаем, что эта кривая заданапараметрически x = x(t ), y = y (t ), t ∈ [T0 ;T1 ], причем x(t ), y (t ) – непрерывнодифференцируемые на отрезке функции такие, что каждому значениюпараметра соответствует единственная точка кривой.Тогда длина кривой выражается формулой l =T1∫ (x′(t ))2+ ( y ′(t )) dt .2T0Под разбиением T кривой AB будем понимать множество точекA = A0 , A1 ,..., An = B , лежащих на этой кривой и занумерованных внаправлении от A к B.

Пусть ∆li - длина кривой Ai −1 , Ai .Диаметр d(T) определим как d (T ) = max ∆li .i =1,..., nПусть функция f (M ) = f ( x, y ) определена на кривой AB. Выберем накаждомучасткеAi −1 AiкривойточкуиMiобразуемсуммуnσ ( f , T , {M i }) = ∑ f (M i )∆li , называемую интегральной.i −1Определение.ПустьI ∈R.Если∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀T : d (T ) < δ ∀{M i }σ ( f , T , {M i }) − I < ε , то величина I называется криволинейным интеграломпервого типа по кривой AB и обозначается так: I =∫ f (x, y )dl .ABВажное замечание.

Если бы мы совершали движение по кривой не от A кB,16а от B к A, то в разбиении T свыбранными{M i }точкамиизменилась бы только нумерацияотрезковиточекMi,асамаинтегральная сумма не измениласьбы, поскольку в ее определениифигурирует лишь длина ∆li участка,которая не зависит от того, в какомнаправлении проходится участок.Этоозначает,что∫ f (x, y )dl = ∫ f (x, y )dl .ABBAВ этом важнейшее отличие от обычного определенного интеграла,который менял бы знак при изменении направления обхода кривой.Сформулируем теорему, сводящую новый пока объект - криволинейныйинтеграл к обычному определенному интегралу.f (M ) - непрерывная на кривой AB функция (т.е.Теорема.

Пусть∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀M 1 , M 2 - точек кривой таких, что расстояние между M 1 , M 2меньше δ , f (M 1 ) − f (M 2 ) < ε ). Пусть кривая AB параметризована так:x = x(t ), y = y (t ), t ∈ [T0 ; T1 ], где x(t ), y (t ), x ′(t ), y ′(t ) - непрерывные на [T0 ;T1 ]функции, причем каждому значению параметра соответствует единственная∫точка кривой. Тогдаf (M )ds =ABT1∫ f (x(t ), y(t )) (x ′(t ))∑i =1ntii =1t i −1типаii(x′(t ))2i2сумма+ ( y ′(t )) dt для криволинейного интеграла2отличается∑ f (x(t ), y(t )) (x′(t ))2Интегральнаяf (M i )∆l i = ∑ f (M i ) ∫первого+ ( y ′(t )) dt .T0Доказательство.n2от+ ( y ′(t i )) ∆t i2интегральнойдля17суммыинтегралаT1∫f ( x(t ), y (t )) ( x ′(t )) + ( y ′(t )) dt лишь тем, что22T0ti∫ (x′(t )) + ( y ′(t ))22dt несколькоt i −1(x ′(t ))отличается отi2+ ( y ′(t i )) ∆t i , именно , этот2интеграл равен(x ′(ξ i ))2 + ( y ′(ξ i ))2 ∆t i .Нетрудно доказать, что при d (T ) → 0 пределы этих сумм равны (строгоедоказательство опущено).

Характеристики

Список файлов лекций