Лекционный курс (1111786), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Напомним, что модуль векторного произведения равенru rv sin φ(φ-угол(междуru и rv ).Значит,)( )A2 + B 2 + C 2 = ru2 ⋅ rv2 sin 2 φ = ru2 rv2 1 − cos 2 φ = ru2 rv2 − ru2 rv2 cos 2 φ = ru2 rv2 − (ru rv cos φ ) = ru2 rv2 − ru , rv. Здесь r = ru2u222222(r , r ) = ⎛⎜⎜ ⎛⎜ ∂∂ux , ∂∂uy , ∂∂uz ⎞⎟, ⎛⎜ ∂∂xv , ∂∂yv , ∂∂vz ⎞⎟ ⎞⎟⎟ = ∂∂ux ⋅ ∂∂xv + ∂∂uy ⋅ ∂∂yv + ∂∂uz ⋅ ∂∂vz = F .uv⎝⎝22⎛ ∂x ∂y ∂z ⎞⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞= ⎜ , , ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = E ; rv2 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + и⎝ ∂u ⎠ ⎝ ∂u ⎠ ⎝ ∂u ⎠⎝ ∂v ⎠ ⎝ ∂v ⎠⎝ ∂u ∂u ∂u ⎠⎠⎠⎠⎝A 2 + B 2 + C 2 = EG − F 2 ,Итак,и формула для площади поверхности, заданнойпараметрически, такова: S = ∫∫ EG − F 2 dudv .D3. Поверхностные интегралы 1-го типа.Пусть S – поверхность, имеющая площадь пл.(S) .

Рассмотримразбиение T этой поверхности на части Si с помощью непрерывных кривых.Пусть функция f (x, y, z ) определена во всех точках поверхности S. Выберем362произвольнымобразомM i ( xi , yi , zi ) ∈ Siточкиирассмотримсуммуn∑ f (x , y , z )пл.(S ) = σ ( f ,T , {M }) .i =1iiiiiПустьОпределение.I ∈R.Если∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀T : d (T ) < δ ∀{M i } σ ( f , T , {M i }) − I < ε , то мы говорим, что I естьповерхностный интеграл 1-го типа от функции f (x, y, z ) по поверхности S иобозначаем это следующим образом: I = ∫∫ f (x, y, z )dS .SПример задачи, моделью которой служит поверхностный интегралпервого типа – нахождение массы поверхности S, поверхностная плотностькоторой в точке (x, y, z ) равна f (x, y, z ) .Длявычисленияповерхностногоинтеграла1-готипаудобноиспользовать следующие теоремы.Теорема 1. Пусть поверхность S задана уравнением z = z (x, y ), (x, y ) ∈ D0 ,где z – непрерывно дифференцируемая на квадрируемой области D0функция, D0 ⊂ R 2 .

Тогда для любой непрерывной на поверхности S функции f∫∫ f (x, y, z )dS = ∫∫ f (x, y, z (x, y ))SD022⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + 1 dxdy .⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠Замечание 1. если поверхность задана уравнением y = y (x, z ), (x, z ) ∈ D1 ,где y – непрерывно дифференцируемая на квадрируемой области D1 , D1 ⊂ R 2функция, то∫∫ f (x, y, z )dS = ∫∫ f (x, y(x, z ), z )SслучаеD1заданияповерхности∫∫ f (x, y, z )dS = ∫∫ f (x( y, z ), y, z )S2D222⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂y ⎞⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + 1 dxdz . Аналогично, в⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎠уравнениемx = x( y, z )2⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂x ⎞⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + 1 dydz при аналогичных условиях на⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂y ⎠область D2 и функцию x( y, z ) .Теорема2.Еслиповерхность(S)заданаx = x(u, v ),уравнениями y = y (u, v ),z = z (u, v ),(u, v ) ∈ ∆ ⊂ R 2 ,37параметрическимигде x, y, z – непрерывно дифференцируемые функции на ∆ и пустьf ( x, y , z )функциянепрерывна∫∫ f (x, y, z )dS = ∫∫ f (x(u, v ), y(u, v ), z (u, v ))на(S),тоEG − F 2 dudv .∆SТеоремы 1 и 2 оставим без доказательства.Вместо этого приведём пример вычисления поверхностного интеграла1-го типа.Задача.

Найти∫∫ (x2)+ y 2 dS , где S – граница телаx 2 + y 2 ≤ z ≤ 1.SРешение. Это тело представляет собой конус:S состоит из боковой поверхности S1 и основания S2. На боковойповерхности, уравнение которой z = x 2 + y 2 ,всюду, кроме точки (x, y ) = (0,0)∂z=∂x∂z=,22∂yx +y2x +y22(22yx)⎛ ∂z ⎞2 x2 + y2∂zx2y2и ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + 1 = 2 2 + 2 2 + 1 = 2 2 = 2x +yx +yx +y⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠2⎛ ∂z ⎞∂zи dS = ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + 1 dxdy = 2dxdy .⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠Нарушение этой формулы в единственной точке (x, y ) = (0,0) не повлияетна результат, поэтому∫∫ (xS12)(+ y 2 dS = ∫∫ x 2 + y 2Dплоскость z = 0 , т.е.

D – круг x 2 + y 2 ≤ 1 .38)2dxdy , где D – проекция S1 наВ интеграле, стоящем в правой части, перейдём к полярным∫∫ (xкоординатам:2+ y2D)2π1001( )2dxdy = ∫ dφ ∫ r 22rdr = 2π 2 ∫ r 3 dr =(r-якобиан0r 4 1 2π 2 π 2==.преобразования) = 2π 24 042ОснованиезаданоS222⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + 1 = 0 + 0 + 1 = 1 и⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠∫∫ (xS22уравнением)(z=1,)+ y 2 dS = ∫∫ x 2 + y 2 dxdy =Dπ2поэтому(этот интегралотличается от вычисленного выше лишь множителем, поэтому подробноевычисление опущено).Итак,∫∫ (xS2весь)()()+ y 2 dS = ∫∫ x 2 + y 2 dS + ∫∫ x 2 + y 2 dS =S1S2π 22интеграл+π2=(π 1+ 2)23. Сторона поверхности.Понятие стороны поверхности интуитивно хорошо известно.

Мыговорим о верхней и нижней стороне, внутренней и внешней стороне (длязамкнутых поверхностей) и т. п. Даже сейчас, если вдруг перевернуть листбумаги, на котором расположен читаемый Вами текст (или повернуть экранмонитора), Вы скажете: «Не та сторона!». Надеюсь, это не вызовет у Васчувства облегчения, Вы вновь перевернёте лист и узнаете тогда, как принятоопределять сторону поверхности в математике и у всякой ли поверхностиесть 2 стороны.Как обычно, проще всего обстоит дело с поверхностью, заданнойявным уравнением.z = z ( x, y ), ( x, y ) ∈ D39(1)В этом случае, очевидно, есть 2 стороны, верхняя и нижняя.

Чтобыопределитьсторону,достаточноустановить,какойуголсоставляетrn1zrn2yxвыбранная Вами нормаль к поверхности с осью z. Если cos γ > 0 , то это –верхняя сторона. Если cos γ < 0 - то – нижняя.На верхней стороне cos γ > 0 , поэтому верхней стороне соответсвуетвектор nr1 . Пусть α – замкнутый контур, лежащий на поверхности и непересекающей её край. Выберем в произвольной точке этого контура одно издвух направлений нормали. Пусть при обходе этого контура нормальменяется непрерывно. Тогда в исходную точку мы вернёмся с исходнымнаправлением нормали.Описанноевышесвойствоповерхности(1)будемсчитатьопределением двусторонней поверхности (в общем случае, а не только дляповерхностейвида(1)).Точнееговоря,поверхностьназываетсядвусторонней, если при обходе любого замкнутого контура, лежащего на нейи не пересекающего её край, направление нормали при возвращении висходную точку сохраняется.

Если же существует замкнутый контур, при40обходе которого направление нормали при возвращении в исходную точкусменяется на противоположное, то поверхность называется односторонней.Бываю поверхности, не являющиеся двусторонними. ПростейшийABEFDCпример – лист Мебиуса. Он получается так: рассмотрим прямоугольникABCD и линию EF, соединяющую середины его сторон.Склеим точку A с точкой с С, В с D.ЕслиобходитьконтурEF,топривозвращении в исходную точку направлениенормали изменится на противоположное.

Этодоказывает односторонность листа Мебиуса.Вдальнейшеммыбудемрассматриватьтолькодвусторонниеповерхности.Двусторонняя поверхность, у которой выбрана сторона, называетсяориентированной.Наориентированнойповерхностиопределеноположительное направление произвольного замкнутого контура, лежащегона ней, а также контура, ограничивающего саму эту поверхность. Пусть L –рассматриваемый контур и пусть ”обходчик”, голова которого направленатак же, как и выбранная нормаль к поверхности при обходе этого контуравидит ограничиваемую этим контуром часть G рассматриваемой поверхностислева от себя (в случае, если обходчик пошёл по краю поверхности S, ондолжен видеть S слева от себя).41Вэтомслучаеконтуробходитсявположительномнаправлении.Противоположное направление считаем отрицательным.Очевидно, что если взять другую сторону поверхности, т.е.

изменить вданной точке направление нормали на противоположное, то положительноенаправление обхода контуров станет отрицательным и наоборот.Стрелка указывает новое положительное направление обхода – оносовпадает с бывшим отрицательным.424. Поверхностные интегралы II типа (II рода).Пусть S — двусторонняя поверхность. Вначале считаем, что S заданауравнением z = z ( x, y ), ( x, y ) ∈ D1 ,где D1 — квадрируемое множество наплоскости XOY. Как обычно, считаем, что z ( x, y ),∂z(x, y ), ∂z (x, y ) —∂z∂yнепрерывные на D1 функции, и выберем верхнюю нормаль к S.Разобьем область D1 на квадрируемые участки D1,i и выберем точки(ξ , η ) ∈ Dii1произвольным образом.

Пусть функция R (x, y, z ) определена наповерхности S.Рассмотрим интегральную сумму∑ R (ξ , η , z(ξ , η )) ⋅ пл.(D ) = σ(R , T, {ξ , η })n −1i =0Если ∃ I ∈ Riiii1,iii∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀T : d(T ) < δ ∀{ξ i , ηi }σ(R , T, {ξ i , ηi }) − I < ε ,то число I называется поверхностным интегралом II типа (II рода)от функции f по внешней стороне S и обозначается так:I = ∫∫ R( x, y, z )dxdy .S(ЧастоиспользуетсяболеесовременноеобозначениеI = ∫∫ R( x, y, z )dx ∧ dy .)SЕсли выбрана нижняя сторона поверхности S, то все величины пл.(D1,i )в интегральной сумме заменяем на (− пл.(D i ,1 )) .Это означает, что поверхностный интеграл II типа (II рода) по нижнейстороне поверхности отличается от интеграла по верхней сторонеповерхности только знаком.Как отмечалось выше, пл.(S i ) =пл.(D1,i )cos γ iпл.(Di ,1 ) = пл.(S i ) cos γ i , т.е.43пл.(Di ,1 ) = пл.(S i )cos γ i , если γ i составляет с осью Z острый угол.пл.(Di ,1 ) = −пл.(S i )cos γ i , если γ i составляет с осью Z тупой угол.Поэтому, cos γ i пл.(S i ) = пл.(Di ) или − пл.(Di ) , в зависимости от выборастороны поверхности и∫∫ R(x, y, z )dx ∧ dy = ∫∫ R(x, y, z )cos γdS .SSТочно также, если R (x, y, z ) — непрерывная функция, то∫∫ R(x, y, z )dx ∧ dy = ∫∫ R(x, y, z (x, y ))dxdy , если взята верхняя сторона S иSD1∫∫ R(x, y, z )dx ∧ dy = − ∫∫ R(x, y, z(x, y ))dxdy , если взята нижняя сторона S.SD1Если S задаётся уравнением y = y ( x, z ) ,области плоскости xOz , то определён интеграл( x, z ) ∈ D ,2квадрируемой∫∫ Q(x, y, z )dz ∧ dx ,которыйSравен∫∫ Q(x, y, z )cos βdS .ИнтегралSформуле∫∫ Q(x, y(x, z ), z )dxdz ,∫∫ Q(x, y, z )cos βdSвычисляется поSеслиугол,составляемыйнормальюкSвыбранной стороне поверхности с осью y острый (то есть, угол β), и поформуле − ∫∫ Q( x, y ( x, z ), z )dxdz , если этот угол тупой.SЕсли же S задана уравнением x = x( y, z ) ,области плоскости yOz , то определён интеграл( y, z ) ∈ D ,3квадрируемой∫∫ P( x, y, z )dy ∧ dz ,равныйS∫∫ P( x, y, z ) cos α dSи вычисляемый по формуле∫∫ P(x( y, z ), y, z )dydz , если угол,D3Sсоставляемый нормалью к выбранной стороне поверхности с осью x острый,и по формуле − ∫∫ P( x( y, z ), y, z )dydz , если этот угол тупой.D3Если поверхность S можно одновременно представить уравнениямирассмотренныхвышетипов,тоопределён∫∫ P( x, y, z )dy ∧ dz + Q( x, y, z )dz ∧ dx + R( x, y, z )dx ∧ dy = ∫∫ P cos α + Q cos β + R cos γ )dSSS44Если поверхность S есть конечное объединение таких поверхностей иориентации таких поверхностей согласованы, то интеграл по всейповерхности равен сумме интегралов по составляющим эту поверхностьчастям.Согласованностьориентацииозначаетследующее: нормали на отдельных частяхвыбраны так, что положительные направленияобхода общих границ противоположны другдругу.В общем случае, если поверхность S задана параметрически:x = x(u, v)y = y (u, v)z = z (u, v)гдеu, v ∈ ∆∫∫ P(x, y, z,)cosα-квадрируемойобластииx, y, z ∈C 1 (∆) ,тоdS + Q( x, y, z )cos β dS + R( x, y, z )cos γ dS =S= ± ∫∫ P(x(u , v ), y (u , v ), z (u , v )) ⋅ A(u , v )dudv ± ∫∫ Q( x(u , v ), y (u , v ), z (u , v )) ⋅ B(u , v )dudv ±∆± ∫∫ R(x(u , v ), y (u , v ), z (u , v )) ⋅ C (u , v )dudv∆∆где, как и выше,∂yA(u , v ) = ∂u∂y∂v∂z∂u ,∂z∂v∂zB(u , v ) = ∂u∂z∂v∂x∂u ,∂x∂v∂xC (u , v ) = ∂u∂x∂vri∂x(то есть, коэффициенты нормали, равной∂u∂x∂vrj∂y∂u∂y∂v∂y∂u ,∂y∂vrk∂z),∂u∂z∂vа знак “+” или “−” выбирается в соответствии с выбором стороныповерхности.Пример.

Характеристики

Список файлов лекций