Лекционный курс (1111786), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Пусть интеграл не зависит от формы пути и пусть L - замкнутыйконтур в D . Выберем на L две произвольные точки A и B ирассмотримсоединяющие эти точки части контура L ,назовем их Γ1 и Γ2 . При этом L состоит из Γ1 ипроходимогонаправлениивконтура∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy .Γ1Γ226противоположномΓ2 .Поусловию,Значит,∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy − ∫ Pdx + Qdy = 0 .Γ1LΓ22. ( ⇐ ).
Пусть для любого контура L ⊂ D∫ Pdx + Qdy = 0 .LА) В случае, если Γ1 и Γ2 , соединяющие точки A, B не имеют других общихточек, то, как и в предыдущей части, LсостоитизиΓ1проходимойвпротивоположном направлении Γ2 . Поэтому0 = ∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy − ∫ Pdx + Qdy ,Γ1LоткудаΓ2∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy .Γ1Γ2Б) Если Γ1 и Γ2 имеют конечное число общих точек, кроме A и B , томожноприменить пункт 2А к каждомуполученному контуру, интеграл покоторомувсвязипредположениемпоэтомудляравенкаждойполученнойс0,итакойчасти∫ Pdx + Qdy = γ∫ Pdx + Qdy .γ12В) Случай, когда кроме A и B кривые Γ1 и Γ2 имеют бесконечноемножество общих точек, мы оставим без доказательства.Сопоставляя теорему 2 с теоремой 1, получаем следствие.Следствие. Пусть D - односвязная область. ∫ Pdx + Qdy не зависит в D отΓформы пути интегрирования тогда и только тогда, когда в этой областивыполняется тождество∂Q ∂P=.∂x ∂y275.
Связь с вопросом о полном дифференциалеЕслиdu =u ( x, y )- дифференцируемая функция двух переменных, то∂u∂udx +dy . Выясним, при каких условиях на P, Q существует такая∂x∂yфункцияu,чтоPdx + Qdy = du ,∂u∂u= P,=Q.∂x∂yт.е.непрерывности смешанных производных:В предположении∂ 2u∂ 2u∂Q ∂P==или. Докажем,∂y∂x ∂x∂y∂x ∂yчто если D - односвязная область, то верно и обратное.Теорема 3. Еслитакая, что P =∂Q ∂P=в односвязной области D , то существует u (x, y )∂x ∂y∂u∂u,Q =.∂x∂yДоказательство. Возьмем произвольную точку A(x0 , y 0 ) и рассмотримпеременную точку B(x, y ) и любую кривую Γ , соединяющую A с B .По следствию теоремы 2,∫ Pdx + Qdyзависит только от конечной точкиΓB ( x, y ) и, значит, есть некоторая функция u ( x, y ) .
Покажем, что u (x, y ) -искомая функция, т.е.∂u∂u= P,= Q . Для этого рассмотрим точку (x + ∆x, y ) и∂x∂yu ( x + ∆x, y ) − u ( x, y ) = ∫ Pdx + Qdy ,рассмотримгдеΓ′-отрезокпрямой,Γ′соединяющейx + ∆x∫ Pdx + Qdy = ∫ P(x, y )dx .Γ′( x + ∆x , y ) и ( x , y ) .точкиНаэтомотрезкеdy ≡ 0иПрименяя теорему о среднем, получаем (ввидуxнепрерывности P ), чтоx + ∆x∫ P(x, y )dx == P (x + θ∆x, y ) ⋅ ∆x , где 0 < θ < 1 . Тогдаxu (x + ∆x, y ) − u ( x, y )= P( x + ∆x, y ) .∆xu ( x + ∆x, y ) − u (x, y )= lim P( x + θ∆x, y ) = P( x, y ) .∆x → 0∆x → 0∆xlimДля Q доказательство аналогичное.28Замечание. Если векторное поле F = (P, Q ) обладает свойством∂Q ∂P=в∂x ∂yодносвязной области D , то говорят, что F - потенциальное поле и найденнаяфункция u такая, что∂u∂u= P,= Q , т.е.
F = ∇u , называется потенциалом∂x∂yполя F .Следствие. В потенциальном поле работа вдоль любого замкнутогоконтура равна 0. Вообще, если Γ соединяет A и B , то работа F вдоль Γ равнаT1T1T0T0∫ F dr = ∫ Pdx + Qdy = ∫ P(x(t ), y(t ))x′(t )dt + Q(x(t ), y( y ))y ′(t )dt =ΓΓ∂u∫ ∂x (x(t ), y(t ))x′(t )dt +1∂u(x(t ), y(t )) y ′(t )dt = ∫ du(x(t ), y (t )) dt = u (x(T1 ), y (T1 )) − u (x(T0 ), y(T0 )) = u (B ) − u( A) .∂ydtT0T+Т.е.работа равна разности потенциалов.Примечание. Условие односвязности существенно.Например, если область D не содержитначала координат, то∀L ⊂ D∫Lxdy − ydx= 0.x2 + y2Действительно,∂ ⎛ −y⎜∂y ⎜⎝ x 2 + y 2⎞ (− x 2 − y 2 ) − 2 y (− y )y2 − x2⎟⎟ =,=(x 2 + y 2 )2(x 2 + y 2 )2⎠x ⎞ x 2 + y 2 − 2x ⋅ xy2 − x2∂ ⎛⎟⎜⎜ 2.==∂x ⎝ x + y 2 ⎟⎠(x 2 + y 2 )2 (x 2 + y 2 )2Т.о. условие∂Q ∂P=выполнено во всей области D (которая не содержит∂x ∂yточки (0;0 ) ).С другой стороны, пусть D содержит (0;0) .29- окружность радиуса ε ,Рассмотрим Γεсодержащуюсявокружность:⎧ x = ε cos t , 0 ≤ t ≤ 2π.⎨⎩ y = ε sin t∫ΓεПараметризуемэтуТогдаxdy − ydx=x2 + y22π=D.∫0(ε cos t ⋅ ε cos t + ε sin t ⋅ ε sin t ) dt = 2π dt = 2πε 2 cos 2 t + ε 2 sin 2 t∫≠ 0.0Это связано с тем, что область, в которойнепрерывны P, Q,30∂P ∂Q,многосвязная.∂y ∂xПоверхностные интегралы.1.
Площадь поверхности, заданной явным уравнением.Сначала рассмотрим простейший случай поверхности S, заданнойявным уравнением z = z ( x, y ), ( x, y ) ∈ D(1)где D - плоская область. Примерами таких поверхностей служат изученныеВами в курсе аналитической геометрии плоскости и параболоиды, многиедругие поверхности. Предположим, что функция z ( x, y) и её частныепроизводные∂z ∂zнепрерывны в области D. Это будет кратко обозначаться,∂x ∂yтак: z ∈ C 1 ( D) .( x0 , y 0 , z 0 ) ∈ S ,Пустьплоскостиz − z0 =кт.е.поверхностиz 0 = z ( x0 , y 0 ) .вУравнениеэтойточкекасательнойимеетвид:∂z∂z( x0 , y 0 )( x − x0 ) + ( x0 , y 0 )( y − y 0 ) .∂y∂xДалее в этом параграфе мы будем для краткости обозначатьz ′x =∂z∂z( x0 , y 0 ), z ′y = ( x0 , y 0 ) .
Напомним, что в общем уравнении плоскости∂x∂yA( x − x0 ) + B( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 числа A, B, C представляют собой координатыперпендикулярногокэтойплоскостивектора.Значит,( z ′x , z ′y ,−1)-нормальный вектор к поверхности S в точке ( x0 , y0 , z0 ) . Этот вектор, вообщеговоря, не единичный. Чтобы сделать его единичным, его следует умножитьна±одиниз1( z ′x ) 2 + ( z ′y ) 2 + 1нормирующихмножителей,т.е.наодноизчисел. Итак, два единичных вектора нормали к поверхности в31рассматриваемойточкеимеютвид:⎛⎞− z ′y− z ′x1⎟,,n1 = ⎜⎜ ( z′ ) 2 + ( z′ ) 2 + 1 ( z′ ) 2 + ( z′ ) 2 + 1 ( z′ ) 2 + ( z′ ) 2 + 1 ⎟xyxyxy⎝⎠⎛⎞z ′yz ′x−1⎟,,n2 = ⎜222222⎜ ( z′ ) + ( z′ ) + 1 ( z′ ) + ( z′ ) + 1 ( z′ ) + ( z′ ) + 1 ⎟xyxyxy⎝⎠Известно, что координаты единичного вектора – это косинусы углов,составляемых этим вектором с осями x,y,z (т.е.
с положительныминаправлениямиэтихосей),соответственно.Пустьn1 = (cos α 1 , cos β 1 , cos γ 1 ), n2 = (cos α 2 , cos β 2 , cos γ 2 ) . Очевидно, что n1 = −n2 .Это означает, что справедливы равенства α 1 = π + α 2 , β1 = π + β 2 , γ 1 = π + γ 2 .Предположим, что мы рассматриваем разбиение T этой поверхности начасти S1 непрерывными кривыми. Под диаметром множества S1 понимаетсяточная верхняя грань расстояний между точками этого множества. Диаметрразбиения T – это наибольший из диаметров получившихся частей.Обозначают его d (T ) .В каждой полученной части поверхности выберем точку ( x0 , y0 , z0 ) ирассмотрим касательную плоскость к поверхности в этой точке.
Пересеченияэтих касательных плоскостей ограничат многоугольники, которые образуют«панцирь»наповерхности.Этот«панцирь»состоитизплоскихмногоугольников и, следовательно, имеет площадь, равную сумме площадейсоставляющих его многоугольников.Если при стремлении к 0 диаметра разбиения площади «панцирей»имеют конечный предел, то он и называется площадью поверхности. Это32определение позволяет легко найти формулу для вычисления площадиповерхности.
Рассмотрим плоский многоугольник, нормаль к которомуимеет направляющие косинусы (cos α , cos β , cos γ ) . Можем считать, чтоcos γ > 0 .Безограничениярассматриватьобщности,прямоугольник,достаточнопричём,дляпростоты, считаем, что его проекция на плоскостьz = 0 естьпрямоугольниксосторонами ∆x, ∆y , а сам он имеетстороны ∆x, ∆l .∆y = ∆l cos γТогдапл.( S ) = ∆x ⋅ ∆l =∆x ⋅ ∆y(cos γ > 0) .cos γВ общем случае пл.( S ) =Еслиинормали∆x ⋅ ∆y.cos γвыбиралисьвточках( xi , y i , z i ) ,топусть(cos α i , cos β i , cos γ i ) – их направляющие косинусы. Согласно сказанномувыше, площадь «панциря» естьnn∆xi ∆yi∑ пл.(S ) = ∑ cos γi =1ii =1интегральной суммой для двойного интеграла.
Эта сумма являетсяidxdy∫∫ cos γ. Как установленоDвыше, cos γ =122⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + 1⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠, поэтому S = ∫∫D22⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + 1dxdy .⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠2. Площадь поверхности, заданной параметрическиЧасто поверхности заданы параметрическими уравнениями33⎧ x = x (u , v )⎪⎨ y = y (u , v) , где (u, v) ∈ ∆ , а ∆ - некоторая плоская область. Пусть⎪ z = z (u , v)⎩x, y , z ∈ C 1 ( ∆ ) .⎛ x′Кроме того, пусть в любой точке ∆ ранг матрицы ⎜⎜ u⎝ xv′y u′y v′z u′ ⎞⎟ равен 2. Этоz v′ ⎟⎠означает, что в любой точке ∆ хотя бы один из миноров второго порядкаэтой матрицы не равен 0. Если, скажем, в некоторой точке C =xu′xv′y u′≠ 0 , тоy v′это означает (вспомним сформулированную в конце 2 семестра теорему о⎧ x = x (u , v )системе неявных функций), что уравнения ⎨можно решить,⎩ y = y (u , v)выразив в окрестности этой точки переменные u, v через переменные x,y, т.е.получить равенства вида u = u ( x, y ), v = v( x, y ) .
Подставив эти выражения вуравнение z = z ( x, y ) , получим уравнение z = z (u ( x, y ), v( x, y )) = Z ( x, y ) , т.е. вокрестности рассматриваемой точки поверхность может быть задана явнымуравнением вида (1).(Если∂yA = ∂u∂y∂v∂x− B = ∂u∂x∂vОбозначим∂z∂u ≠ 0 , то имеем, по аналогии,∂z∂vX = X ( y, z ) ,а если∂z∂u ≠ 0 , то Y = Y ( x, z ) ).∂z∂vr (u, v)вектор⎛ x(u , v) ⎞⎜⎟⎜ y (u , v) ⎟ .⎜ z (u , v) ⎟⎝⎠Рассмотримпроизвольнуюточку(u 0 , v 0 ) ∈ ∆ . Зафиксируем сначала v 0 и рассмотрим r (u, v0 ) – кривую на34⎛ ∂x⎞⎜ (u 0 , v0 )⎟⎜ ∂u⎟∂r∂y⎜(u , v )⎟ – вектор касательной к этойповерхности.
Тогда ru = (u 0 , v0 ) =⎜ ∂u 0 0 ⎟∂u⎜ ∂z⎟⎜ (u 0 , v0 )⎟⎝ ∂u⎠кривой в точке (u 0 ,v0 ) . Аналогично, rv =∂r(u 0 , v0 ) - вектор касательной к∂vкривой r (u 0 , v) .Нормаль к поверхности является нормалью к касательной плоскости и она⎛ ∂x⎜перпендикулярна ru и rv . Условие rg ⎜ ∂u⎜⎜ ∂x⎝ ∂v∂y∂u∂y∂v∂z ⎞⎟∂u ⎟ = 2 означает, что r и r неuv∂z ⎟⎟∂v ⎠параллельны. Поэтому в качестве нормального вектора можно взять ru × rv(векторноеi∂x∂u∂x∂vj∂y∂u∂y∂vk∂y∂z= ∂u∂y∂u∂z∂v∂vпроизведение)∂z∂z∂u i + ∂u∂z∂z∂v∂v∂x∂u j +∂x∂v∂x∂u∂x∂v∂y∂u k = Ai + Bj + Ck .∂y∂vилиТогда⎛единичные⎞ABC⎟ , привекторы нормали равны ⎜⎜,,222222222 ⎟±++±++±++ABCABCABC⎝⎠этом выбору верхней нормали соответствует выбор того же знака, что и знакчисла С, перед корнем (поскольку тогда cos γ > 0 ).Если поверхность задана параметрически, то, как указывалось выше, вокрестности любой её точки её возможно задать явным уравнением( z = z ( x, y ) или x = x( y, z ) илиy = y ( x, z ) ).Предположим, что поверхность, заданная параметрически, представляетсобой конечное объединение частей, каждая из которых задана явнымуравнением, и рассмотрим одну из её частей, для которой z = z ( x, y ), ( x, y) ∈ D .Тогда площадь этой части, по доказанному выше, равнаdxdy∫∫ cos γ.
Перейдём вDэтом интеграле к переменным u,v, учитывая, что якобиан перехода – это как35Cраз определитель С, а cos γ =A2 + B 2 + C 2, и пусть области D соответствуетобласть ∆ 0 на плоскости (u, v) . Тогда по теореме о замене переменных,∫∫DC dudvdxdy=cos γ ∫∫∆0 CA + B +C22= ∫∫ A 2 + B 2 + C 2 dudv .2∆0Легко проверить, что в случае уравнения x = x( y, z ) или y = y ( x, z ) получится∫∫интеграл такого же вида:A 2 + B 2 + C 2 dudv, i = 1, 2∆iОбъединяя∫∫всеполученныеA 2 + B 2 + C 2 dudv ,гдечасти,-∆всяполучаемобластьобщуюизмененияплощадьпараметров∆(u, v), ∆ = ∆ 0 ∪ ∆ 1 ∪ ∆ 2 .Отметим, что выражение A 2 + B 2 + C 2 можно преобразовать к более удобномудля вычислений виду.Числа ( A, B, C ) суть координаты ru × rv . Поэтому A 2 + B 2 + C 2 – квадрат модулявектора ru × rv .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
