Лекционный курс (1111786), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Это означает, что теорема доказана.Отметим,чтоизменениенаправленияобходакривойозначаетодновременную смену пределов интегрирования и знака величины dt, что неизменяет величину интеграла в правой части этого равенства.Из свойств криволинейного интеграла отметим следующие 2 основных:1.∫ (λ f (M ) + λ f (M ))dl = λ ∫ f (M )dl + λ ∫ f (M )dl1 1221AB12ABсуществуют∫ f (M )dl1ABи2приусловии,чтоAB∫ f (M )dl .2AB2. Если AB, BC - кривые, удовлетворяющие условиям теоремы, то∫ f (M )dl = ∫ f (M )dl + ∫ f (M )dl .ACABBCСвойство 2 позволяет определить криволинейные интегралы 1-го типа длякусочно-гладких кривых (т.е.
кривых, состоящих из конечного числа частей,каждая из которых удовлетворяет условиям теоремы). В частности, можноопределить криволинейный интеграл и для замкнутых кривых.2. Криволинейные интегралы второго типаРассмотрим, как и в параграфе 1, кривую AB, которую пока считаемнезамкнутой.18Пусть проекция этой кривой на ось x представляет собой отрезок [a; b].Пусть точки A0 ,..., An дают разбиение кривой AB.
Рассмотрим их проекцииx 0 ,..., x n , лежащие на отрезке [a; b] и обозначим ∆x i = x i − x i −1 , i = 1,..., n .Пусть P(x, y ) - определена на AB. Пусть M i - точка, лежащая на кривойnмежду Ai −1 и Ai . Положим σ = ∑ P(M i )∆x i .i =1Определение. Пусть I ∈ R . Если ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀T : d (T ) < δ и ∀{M i }выполняется σ − I < ε , то говорят, что I - это криволинейный интегралвторого типа∫ P(x, y )dx .ABТочно также, рассматривая проекции на ось y, определим∫ Q(x, y )dy .ABИнтеграл общего вида∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dyопределяется, как сумма этихABдвух интегралов.Вычислениекриволинейногоинтеграла2-готипапроводитсявсоответствии со следующей теоремой.Теорема.
Пусть L – кривая, заданная уравнениями:P( x, y ) и Q( x, y ) – непрерывные на L функции. Тогда:T1∫ Pdx + Qdy = ∫ (P(x(t ), y(t ))x′(t ) + Q(x(t ), y(t )) y′(t ))dt .LT0Теорема без доказательства.Примечание 1.19x = x(t ), t ∈ [T0 , T1 ] ,y = y (t )a) Если кривая L задана явным уравнением y = φ (x ), a ≤ x ≤ b , где φ (x ) непрерывно дифференцируемая функция, то предыдущая формулаbbaaпринимает вид: ∫ Pdx + Qdy = ∫ P( x, φ ( x ))dx + ∫ Q( x, φ ( x ))φ ′( x )dx .Lb) Если L задана уравнениемx = ψ ( y ), c ≤ y ≤ d , то∫ Pdx + Qdy =Lddcc= ∫ P(ψ ( y ), y )ψ ′( y )dy + ∫ Q(ψ ( y ), y )dy .c) Если L - отрезок прямой x = x0 , то∫ Pdx ≡ 0для любой функции P,Lесли L - отрезок прямой y = y 0 , то ∫ Qdy ≡ 0 для любой функции Q.LПримечание 2.Пусть α - угол, составляемый вектором касательной к кривой иположительным направлением оси x.
Тогда dx = ds cos α , dy = ds sin α . Поэтому∫ Pdx + Qdy = ∫ (P cos α + Q sin α )ds .LLЗаметим, что при изменении направления обхода угол α изменяется наπ + α . При этом cos(π + α ) = − cos α , sin (π + α ) = − sin α , и интеграл в правой частинаписанного выше равенства меняет свой знак.20Примечание3.ВслучаепространственнойкривойL:x = x(t ), y = y (t ), z = z (t ) , где x, y, z, x ′, y ′, z ′ - непрерывные на [T0 ; T1 ] функции, аf - непрерывна на L, имеет место равенство:T1∫ f (M )ds = ∫ f (x(t ), y(t ), z(t )) (x ′(t )) + ( y ′(t )) + (z ′(t ))L222dt .T0Аналогично, для непрерывных на L функций P,Q,R имеем ∫ Pdx + Qdy + Rdz =L=T1∫ (P(x(t ), y(t ), z(t ))x ′(t ) + Q(x(t ), y(t ), z (t ))y ′(t ) + R(x(t ), y(t ), z(t ))z ′(t ))dt .T0Примечание 4.
Говорят, что на области D ⊂ R 2 задано векторное полеF = (P, Q ) , если каждой точке(x, y ) ∈ D сопоставлен вектор (P(x, y ), Q(x, y )) .Обозначим r = (x, y ) - радиус-вектор точки (x, y ) и d r = (dx, dy ) . ТогдаPdx + Qdy = (P, Q ) ⋅ (dx, dy )∫ Pdx + Qdy = ∫ F ⋅ d r .L(скалярноепроизведение)= F ⋅dr .ПоэтомуИз физики известно, что эта величина представляетLсобой работу силы F вдоль кривой L.3.
Формула ГринаЭта формула обобщает формулу Ньютона-Лейбница.Теорема 1. Пусть G - криволинейная трапеция: a ≤ x ≤ b, φ1 ( x ) ≤ y ≤ φ 2 ( x ) ,где φ1 (x ), φ 2 (x ) - непрерывные на [a; b] функции, L - граница области G инаправление обхода L выбрано так, что область G остается слева.21Пусть P( x, y ),Знак∫∂P(x, y ) ∈ C (G ).
Тогда ∫ Pdx = − ∫∫ ∂P dxdy .∂yLG ∂yозначает, что контур интегрирования L - замкнутый.Lφ (x)b∂P∂PДоказательство. Вычислим ∫∫dxdy = ∫ dx ∫dy .φ ( x ) ∂yG ∂ya21При каждом фиксированном x ∈ [a; b] величина∂P∂yопределяется, какпроизводная по y функции P( x, y ) от одной переменной y. Поэтому прикаждом x применима формула Ньютона-Лейбница, согласно которойφ2 ( x )∂Pdy = P( x, φ ( x )) − P( x, φ ( x )) .∫φ ( ) ∂y21Поэтому1xbbb∂P((())(()))(())dxdy=dxPx,φx−Px,φx=Px,φxdx−212∫∫G ∂y∫a∫a∫a P(x,φ1 (x ))dx .Разобъем кривую L на 4 участка.Согласно c) из примечания 1 предыдущего параграфа,∫ Pdx = 0, ∫ Pdx = 0 .L2L4bПо правилу из a) примечания 1,∫ P(x, y )dx = ∫ P(x, φ (x ))dx, ∫ P(x, y )dx =1L122aL3b= − ∫ P (x, φ 2 ( x ))dx .Поэтомуb∫ Pdx = ∫ Pdx + ∫ Pdx + ∫ Pdx + ∫ Pdx = −∫ P(x, φ 2 (x ))dx +Lab+ ∫ P( x, φ1 ( x ))dx = − ∫∫aGL1L2L3L4a∂Pdxdy .∂yТеорема 2.
Пусть G - криволинейная трапеция c ≤ y ≤ d , ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ) ,где ψ 1 ( y ), ψ 2 ( y ) - непрерывные на [c; d ] функции, L - граница, а направлениеобхода L выбрано так, что G остается слева.Пусть Q(x, y ),∂Q(x, y ) ∈ C (G ) .∂xТогда ∫ Qdy = ∫∫LG∂Qdxdy .∂xψДоказательство.ddcc(y)dd2∂Q∂Qdxdy=dydx=∫∫G ∂x∫c ψ ∫( y ) ∂x∫c (Q(ψ 2 ( y ), y ) − Q(ψ 1 ( y ), y ))dy =1= ∫ Q(ψ 2 ( y ), y )dy − ∫ Q(ψ 1 ( y ), y )dy = ∫ Q( x, y )dy + ∫ Q(x, y )dy + ∫ Q( x, y )dy +L1L2L3+ ∫ Q( x, y )dy = ∫ Qdy . Теорема доказана.L4LСледствие 1.
Если область G можно представить как в виде трапецииa ≤ x ≤ b, φ1 ( x ) ≤ y ≤ φ 2 ( x ) , где φ1 ( x ), φ 2 ( x ) - непрерывно дифференцируемые на[a; b] функции, так и в видеc ≤ y ≤ d , ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ) , где ψ 1 ( y ), ψ 2 ( y ) -непрерывно дифференцируемые на [c; d ] функции, L - граница, причем при ее⎛ ∂Q ∂P ⎞⎟⎟dxdy .−⎝ ∂x ∂y ⎠обходе область G остается слева, то ∫ Pdx + Qdy = ∫∫ ⎜⎜LGПримечание. Области, удовлетворяющие условиям следствия 1 - явлениеобычное. Например, круг x 2 + y 2 ≤ 1 , ограниченный окружностью x 2 + y 2 = 1 ,23можнозадатьтак:− 1 ≤ x ≤ 1, − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 ,аможноитак:− 1 ≤ y ≤ 1, − 1 − y 2 ≤ x ≤ 1 − y 2 .Следствие 2. Если область G можно разбить кривыми на конечное числообластей, удовлетворяющих условиям следствия 1 и L - граница G, причемнаправление обхода выбрано так, что область G остается слева, и P и Qудовлетворяют⎛ ∂Qперечисленнымвышеусловиям,то∂P ⎞∫ Pdx + Qdy = ∫∫ ⎜⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎟⎠dxdy .LGДоказательство.Ограничимсяслучаем,когдаобласть G разбивается на 2 частиG1 и G 2 ,удовлетворяющиеусловиям следствия 1, кривой Γ .Пусть L1 ограничивает G1 , а L2ограничиваетG2 .Тогда∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy +LL1+ ∫ Pdx + Qdy , поскольку L1 - этоL2часть L и кривая Γ , а L2 - остатокL и кривая Γ , но проходимая впротивоположном(поэтомунаправленииинтегралыдобавленнымпоэтимучасткамсократятся).Замечание.
Можно доказать формулу Грина для областей, ограниченныхзамкнутыми кусочно-гладкими кривыми.244. Независимость криволинейного интеграла от формы путиинтегрированияПусть D область. Эта область называется односвязной, если вместе слюбым замкнутым контуром L , лежащим в D ограничиваемая контуром Lобласть G также целиком содержится в D .Пример односвязной области: круг Пример неодносвязной области:круг с выколотой точкой.Gсодержит выколотую точку, а D нет, следовательно G не входит вD целиком.Теорема 1. Пусть D - односвязная область, P, Q,что ∀L ⊂ D∫ Pdx + Qdy = 0∂P ∂Q,∈ C (D ) . Условие,∂y ∂xравносильно тому, что всюду в этой областиL∂Q ∂P.=∂x ∂yДоказательство.1. ⇐ . Если всюду в D выполнено равенство∂Q ∂P=, то ∀L по формуле∂x ∂y⎛ ∂Q ∂P ⎞⎟⎟dxdy = ∫∫ 0 ⋅ dxdy = 0 .−⎝ ∂x ∂y ⎠DГрина ∫ Pdx + Qdy = ∫∫ ⎜⎜LD2. ⇒ . Предположим, что в области D есть точка (x 0 ; y 0 ) , в которой∂Q∂x−∂P⎛ ∂Q ∂P ⎞⎟⎟( x 0 ; y 0 ) = c > 0 .≠ 0 .
Пусть, для определенности, ⎜⎜−∂∂xy∂y⎝⎠25Тогда существует окрестность точки (x 0 ; y 0 ) , вкоторой значения∂Q ∂P−∂x ∂yбольше, чемc.2Выберем в этой окрестности окружность Γεрадиуса ε и рассмотрим∫ Pdx + Qdy .Γε⎛ ∂Q∂P ⎞cc∫ Pdx + Qdy = ∫∫ ⎜⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎟⎠dxdy > 2 S (Dε ) = 2 πεПо формуле Грина2> 0 . ЭтоΓεпротиворечит предположению о том, что∫ Pdx + Qdyдолжен быть равен 0.ΓεОпределение. Пусть D - область, Γ ⊂ D , Γ - контур. Будем говорить, что∫ Pdx + Qdyне зависит от формы пути в D , если ∀A, B ∈ D, ∀Γ1 , Γ2 - контуров сΓначалом в точке A и концом в точке B , Γ1 ⊂ D, Γ2 ⊂ D выполняетсяравенство: ∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy .Γ1Γ2Теорема 2. Пусть D - область. Условие независимости∫ Pdx + QdyотΓформы пути в D равносильно тому, что для любого замкнутого контураL ⊂ D имеет место равенство∫ Pdx + Qdy = 0 .LДоказательство.1. ( ⇒ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
