Лекционный курс (1111786)
Текст из файла
Кратные интегралы.1. Двойной интеграл.Мыбудемрассматриватьфункцииf ( x, y ) ,определённыенаквадрируемом (то есть имеющем площадь) множестве D. Если вспомнитьтеорию определённого интеграла, то мы начали её изложение с понятияразбиенияTотрезка[a, b] . По аналогии, определим разбиение Tквадрируемого множества D, как представление множества D в видеnобъединения конечного числа квадрируемых частей, D = U Di .i =1Практически всегда D представляет собой криволинейную трапецию иликонечное объединение криволинейных трапеций.
Можно считать, что иразбиение D на части Di определяется с помощью непрерывных кривых, тоесть все Di также криволинейные трапеции или их объединения.В одномерном случае мы рассматривали длины частей разбиения∆xi = xi +1 − xi . В двумерном случае обобщением понятия длины ∆xi будетплощадь Di. Однако нам потребуется также понятие диаметра множества D ,обозначаемого diam(D ) . Эта величина определяется как точная верхняя граньрасстояний между точками множества D. В частности, если D – круг, тоdiam(D ) – это как раз длина диаметра круга в привычном смысле. В общемслучае это понятие поясняет рисунок:1Ясно, что если diam(Di) невелик, то иплощадь Di также невелика, посколькунеравенство diam( Di ) < δозначает, что Diсодержится в некотором круге радиуса δ, и,значит имеет площадь не больше, чем πδ 2 .Действительно, возьмём произвольнуюточку множества D в качестве центра этогокруга.
Так как diam( Di ) < δ , остальныеточки Di лежат внутри круга.Однако площадь круга может быть невелика, а diam(Di) достаточновелик. Пример – очень тонкий прямоугольник.Определим диаметр d(T) разбиения T как наибольший из диаметровdiam(Di) частей этого разбиения.Далее, как и в одномерном случае, выберем точки N i ∈ Di (было:ξ i ∈ [xi −1 ; xi ] ).
Пусть N i имеет координаты (ξ i ,η i ) . Важную роль в дальнейшембудет играть понятие интегральной суммыn∑ f (ξ ,η ) ⋅ пл(D ) = σ ( f ,T ,{N }) .i =1iiiiТак же, как и в одномерном случае, эта величина имеет простой2n∑ f (ξ )∆xгеометрический смысл.
Вспомним, что суммаii =1iпредставляла собойплощадь ступенчатой фигуры вида:(для простоты считаем, что f ( x) ≥ 0 ).Вспомним также, что объём цилиндра с основанием, имеющим площадьS и с высотой h равен S ⋅ h .n∑ f (ξ ,η )пл(D )Поэтому интегральная суммаi =1iiiравна объёму тела,состоящего из цилиндров с высотой f (ξ i ,ηi ) (для простоты считаем, чтоf ( x, y ) ≥ 0 ) и основаниями Di .Определение.
Пусть f ( x, y ) - ограниченная на квадрируемом множествеDфункция.ПустьI ∈R .∀ε > 0Если∃δ > 0∀T : d (T ) < δ∀{N i }σ ( f , T ,{N i }) − I < ε , то будем говорить, что f – интегрируема на D функция иI = ∫∫ f ( x, y )dxdy .DЗамечание. Это определение несколько отличается от одномерного, вкотором отсутствовало требование ограниченности функции f ( x) . Мы тогдадоказывали необходимое условие интегрируемости: если f ( x) интегрируемана [a, b] , тоf ( x)ограничена на [a, b] . Здесь условие ограниченностивключено в определение.3Критерий существованияb∫f ( x)dx формулировался в терминах суммanni =1i =1Дарбу вида s (T ) = ∑ mi ∆xi , S (T ) = ∑ M i ∆xi , где mi = x∈[inff ( x ) , M i = sup f ( x ) , тоx ;x ]i −1x∈[ xi −1 ; xi ]iесть mi - нижняя грань, а M i - верхняя грань множества значений f (x) приx ∈ [xi −1 ; xi ] .Аналогично обозначим для ограниченной на D функцииf (N )mi = inf f ( N ) , M i = sup f ( N ) (эти числа существуют ввиду предполагаемойN ∈DiN ∈DiограниченностиНижняя сумма ДарбуВерхняя сумма Дарбуf(N) на D и, значит, на всех Di и определим суммы Дарбу равенствамиnni =1i =1s (T ) = ∑ mi ⋅ пл(Di ) , S (T ) = ∑ M i ⋅ пл(Di ) .
Эти величины представляют собойобъемы тел, состоящих из цилиндров с основаниями Di и высотами,соответственнотiиМi.Ясно,чтоприлюбомвыборе{Ni}s (T ) ≤ σ ( f , T ,{N i }) ≤ S (T ) .Вполне аналогично одномерному случаю можно доказать критерийинтегрируемости.Теорема.Ограниченнаяf(x,y)интегрируеманамножестве D ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀T : d (T ) < δ S (T ) − s (t ) < ε4квадрируемом(На экзамене ограничиваемся формулировкой).Из этого критерия следует теорема.Теорема. Если f(x,y) непрерывна на квадрируемом множестве D, тоf(x,y) интегрируема на этом множестве.(На экзамене достаточно формулировки).2.
Свойства двойных интеграловСвойство 1. Если f1, f 2 - интегрируемые на D функции, а α1, α2 - числа,то∫∫ (αD1f 1 + α 2 f 2 )dxdy = α 1 ∫∫ f 1 dxdy + α 2 ∫∫ f 2 dxdy . Иными словами, интеграл DDлинейный функционал.Свойство 2. Если f - интегрируема на D1 ∪ D2 , причем если площадьD1 ∪ D2пересеченияравна0,то∫∫D1 ∪ D2fdxdy = ∫∫ fdxdy + ∫∫ fdxdy .D1D2(Аддитивность интеграла по множеству).Свойство 3. Если f - интегрируемая на D функция и f ≥ 0 , то∫∫ fdxdy ≥ 0 .DСвойство 4.
Если f1, f∫∫ f dxdya ≥ ∫∫ f1D22- интегрируемые на D функции и f1 ≥ f 2 , тоdxdy .DСвойство 5. Если f - интегрируемая на D функция, то | f | - такжеинтегрируемая, причем∫∫ fdxdy ≤ ∫∫Df dxdy .DСвойство 6. Если f - интегрируемая на D функция, причем т < f < М,гдет,Мограничивающиемножествозначенийfчисла,тоm ⋅ пл(D ) ≤ ∫∫ fdxdy ≤ M ⋅ пл(D ) (пл.(D) – площадь D), т.е.
∃γ , m ≤ γ ≤ M :∫∫ fdxdy = γ ⋅ m( D) .Если, кроме того, f - непрерывна на D, то ∃(ξ ,η ) ∈ D :D∫∫ fdxdy = f (ξ ,η ) ⋅ m( D) .D5Доказывать эти свойства мы не будем - они вполне аналогичнысвойствам обычного интеграла.Можно доказать, что если f - непрерывная на множестве D функция, тоf -интегрируема на DСвойство 2 позволяет утверждать, что если f имеет разрывы на D лишьвдольконечногочисланепрерывныхлиний,разбивающихDнаквадрируемые области, то f - интегрируема на D, т.к., по свойству 2, интегралпо D, есть просто сумма конечного числа интегралов по полученным частямD (где f - непрерывна и, значит, интегрируема).3. Вычисление двойных интеграловДвойной интеграл – новый пока для нас объект, и сначала мы укажемспособ его вычисления сведением к более привычным объектам.
Сначаларассмотрим двойной интеграл по прямоугольной области D, стороныкоторой параллельны осям координат.Теорема.Пустьдляf ( x, y )существует∫∫ f ( x, y)dxdy ,гдеDD : {( x, y ) | a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d } . Кроме того, пусть для любого x ∈ [a, b] существуетdJ ( x) = ∫ f ( x. y )dy .cТогда существует и интеграл, называемый повторным, и имеет месторавенство:6bbdaac∫ J ( x)dx = ∫ dx ∫ f ( x, y)dybdac∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y)dyDДоказательство.Разобьём прямоугольник D на прямоугольники, обозначенные Dij,прямыми, параллельными оси y через точки a = x o < x1 < ...
< x m = b и прямыми,параллельными оси x и проходящими через точки c = y o < y1 < ... < y l = d . Такимобразом, Di , j = {( x, y ), x ∈ [ xi −1 , xi ], y ∈ [ y j −1, y j ]}, i = 1,..., m, j = 1,...k .Пусть ∆xi = xi − xi −1 , ∆y i = y i − y i −1 , mi , j и M i , j , соответственно, нижняя иверхняя грани функции f ( x, y ) на Dij, откуда mi , j ≤ f ( x, y ) ≤ M i , j интегрируем этоyjнеравенство по y: mi , j ∆y i ≤∫ f (ξ , y)dy ≤ Mi, j∆y i .
Суммируя эти неравенство по jy j −1от j=1 до j=k:неравенствmнаkkkj =1j =1∑ mi , j ∆yi ≤ J (ξ i ) ≤ ∑ M i , j ∆yi . Умножим все части этих∆xi > 0исуммируемmmi =1i =1 j =1всёпоiотi=1доm:k∑∑ mi , j ∆xi ∆y j ≤∑ J (ξ i )∆xi ≤ ∑∑ M i , j ∆xi ∆y j .i =1 j =1илиmkmmi =1i =1 j =1k∑∑ mi , j ⋅ пл.Di , j ≤∑ J (ξ i )∆xi ≤ ∑∑ M i , j ⋅ пл.Di , ji =1 j =1илиms (T ) ≤ ∑ J (ξ i )∆xi ≤ S (T )i =1⎯→ 0 стремится кгде T – разбиение D на прямоугольники Dij. При d (T ) ⎯нулю иmax ∆xi .Кроме того,s (T ), S (T ) ⎯⎯→ ∫∫ fdxdy .Значит, интегралDbdac∫ dx ∫ f ( x, y)dyсуществует и равен∫∫ f ( x, y)dxdy , что и утверждалось.DВ случае криволинейной трапеции.7Справедлива такая теорема:Теорема (Фубини). Пусть область D задана неравенствами a ≤ x ≤ b ,Ф1 ( x) ≤ y ≤ Ф2 ( x) , где Ф1 ( x), Ф2 ( x) ∈ C[a, b] .
Пусть существует∫∫ f ( x, y)dxdyи дляDлюбого x ∈ [a, b] существует J ( x) =Ф2 ( x )∫ f ( x, y )dy .Тогда существует интегралФ1 ( x )bbФ2 ( x )aaФ1 ( x )∫ J ( x)dx = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy∫∫ f ( x, y)dxdy .и он равенDДоказательство. Так как Ф1(х) непрерывна на [a,b], существует еёминимальное значение c на этом отрезке. Аналогично, существуетмаксимальное значение d функции Ф2(х) на [a, b]. Заключим область D впрямоугольник D*, состоящий из точек (x,y), a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d . На этом⎧ f ( x, y ), если ( x, y ) ∈ Dпрямоугольнике рассмотрим функцию f * ( x, y ) = ⎨*⎩0, если ( x, y ) ∈ D \ DУсловия предыдущей теоремы для f* выполнены. Она интегрируема в D,равна 0 (и, значит, интегрируема) в D*\D.
Следовательно, она интегрируемана всей D*. При этом∫∫ f*D*dxdy = ∫∫ f * dxdy +D∫∫D* \ Df * dxdy = ∫∫ fdxdy .DНаконец, для любого x ∈ [a, b]d∫f*( x, y )dy =Ф1 ( x )c∫f ( x, y )dy +*cФ2 ( x )∫df ( x, y )dy +*Ф1 ( x )Ф2 ( x )По доказанному в предыдущейтеореме,∫∫ fD**bdacdxdy = ∫ dx ∫ f * ( x, y )dy .Откуда сразу получаем:∫∫DbФ1 ( x )aФ1 ( x )fdxdy = ∫ dx∫f∫ f ( x, y)dy ,Что и требовалось доказать.8*( x, y )dy =Ф2 ( x )∫fФ1 ( x )*( x, y )dy .Следствие: Пусть f(x,y) непрерывна в области D, ограниченной сверхуграфиком непрерывной функции y = φ 2 ( x ) , снизу - y = φ1 ( x ) , x ∈ [a; b] , а побокам - отрезками вертикальных прямых х = а и х = b. Тогдаbφ2 ( x )∫∫ f (x, y )dxdy = ∫ dx φ ∫( )f (x, y )dy .DaДоказательство.1xИзнепрерывностиf(x,y)сразуследуетеёинтегрируемость на D.
Кроме того, для любого x ∈ [a, b] функция f(x,y)непрерывна (а, значит интегрируема по у). Все условия теоремы выполнены.Замечание.ЕслиобластьDможноограничитьтак:c ≤ y ≤ d , ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 1 ( y ) , ψ 1 ,ψ 2 ∈ C[c, d ] , то∫∫Dψ2 (y)f ( x, y )dxdy = ∫c dy ∫ψ ( y ) f ( x, y )dx .d1Смысл этой теоремы ясен – указан способ сведения нового для насобъекта – двойного интеграла – к уже изученным обычным интегралам.При вычислении интегралов часто бывает удобно сделать заменуx = x (u , v ), y = y (u , v ) ,переменныхгде x(u , v), y (u , v),∂x(u, v ), ∂x (u, v ), ∂y (u, v ), ∂y (u, v )∂v∂u∂v∂u–непрерывнынекоторой области ∆ ⊂ R 2 .
Впоследствии мы будем часто писать простовместо∂x(u, v )∂uв∂x∂uи т.п. и, кроме того, говорить при выполнениивышеупомянутых условий, что x и y – непрерывно дифференцируемые в ∆функции.Пусть при этом формулы x = x(u, v), y = y (u , v) задают взаимнооднозначное отображение квадрируемых областей: D ↔ ∆, ( x, y ) ∈ D, (u , v ) ∈ ∆ .Кроме того, не стремясь к минимальности условий, потребуем, чтобы всюду9на области ∆∂xJ = ∂u∂y∂u∂x∂v∂y не равнялся 0.∂vТеорема. При сформулированных выше условиях для непрерывной наD функции f ( x, y ) выполняется равенство:∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (x(u, v ), y(u, v )) J dudv .∆DСтрогое доказательство этой теоремы потребовало бы значительныхусилий из-за обилия технических деталей. Мы изложим здесь схемудоказательства.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
