Лекционный курс (1111786), страница 7
Текст из файла (страница 7)
l∂lвектор. Таким образом,- единичный∂U≤ gradU , причем равенство наступает при∂lусловии cos φ = 1 . Наибольшее значение∂U∂lпо всем выборам l , такимобразом, есть grad(U (M 0 )) , а направление градиента – это как раз тот векторl , на котором это наибольшее значение достигается. Итак, направление имодуль вектора gradU (M 0 ) определено без использования координат. Этоговорит об инвариантности этого понятия и о наличии реальных естественнонаучных интерпретаций.Однакодлявычисленияградиентаудобноегокоординатноепредставление.
Из него, в частности, легко следуют свойства градиента.1. grad(u + v ) = gradu + gradv2. grad(c ⋅ u ) = cgradu, c = const3. grad(u ⋅ v ) = ugradv + vgradu4. grad(u v ) =vgradu − ugradv, v≠0v25. gradf (u ) = f ′(u )gradu ( f - дифференцируемая функция)54Пример. Найдем gradr , где r = r = x 2 + y 2 + z 2 - модуль радиус-вектораr ( x, y , z ) .∂r=dxxx +y +z222,∂r=∂yyx +y +z22,2∂r=∂zzx +y +z22и2⎛x y z⎞ rgradr = ⎜ , , ⎟ = .⎝r r r⎠ rПо формуле 5 из этого равенства следует: gradf (r ) = f ′(r ) ⋅rrМы получили формулу для вычисления градиента радиальной функцииf (r ) .Рассмотрим теперь поверхность уровня скалярного поля U , т.е.поверхность, задаваемую уравнением U (x, y, z ) = C .
Предположим, что U непрерывно дифференцируемая функция отx, y , z .Тогда уравнениекасательной плоскости в точке M 0 , лежащей на этой поверхности, имеет вид∂U(M 0 )(x − x 0 ) + ∂U (M 0 )( y − y 0 ) + ∂U (M 0 )(z − z 0 ) = 0 .∂x∂y∂zКоординаты вектора градиента представляют собой коэффициенты этогоуравнения. Поэтому gradU (M 0 ) - нормаль к касательной плоскости в т. M 0 и,по определению, нормаль к самой поверхности уровня в этой точке.3. Поток вектора через поверхность.
Дивергенция векторногополя. Векторная формулировка теоремы ОстроградскогоГауссаПусть F - векторное поле, S - двусторонняя поверхность. Пусть выбранасторона, т.е. нормаль n . Назовем∫∫ (F ⋅ n)dSSповерхность S в указанную сторону.55- потоком вектора F черезЭтот термин совпадает со следующейгидродинамической задачей. Пусть F вектор скорости течения жидкости вмомент t . Посчитаем, сколько жидкостипройдет через малую часть поверхностиdS за момент времени dt . Этот объемжидкости представляет собой цилиндр соснованием dS и высотой F ⋅ n ⋅ dt , т.е.этот объем равен F ⋅ n ⋅ dS ⋅ dt .Тогда для всей поверхности получим dt ∫∫ F ⋅ n ⋅ dS .
Таким образом, потокSпредставляет собой скорость изменения количества протекающей через Sжидкости в рассматриваемый момент времени.Пусть векторное поле F задано в выбранной системе координат какF (P, Q, R ) . Назовем дивергенцией F скалярное поле div F =∂P ∂Q ∂R++(при∂x ∂y ∂zусловии, что эти частные производные существуют).Легко доказать, что:1.
div(a + b ) = diva + divb2. div(U ⋅ a ) = Udiva + agradU . Здесь U - скалярное поле и символ agradUобозначает скалярное произведение этих векторов.Вспомнимформулировку⎛ ∂Pтеоремы∂Q∂R ⎞∫∫ (P cosα + Q cos β + R cos γ )dS = ∫∫∫⎜⎜⎝ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎟⎠dxdydz ,SОстроградского-Гаусса:гдеF = ( P, Q, R )-Vнепрерывно дифференцируемое векторное поле, S - замкнутая поверхность,ограничивающая объем V и (cos α , cos β , cos γ ) - вектор внешней нормали.Левая часть формулы имеет вид∫∫ (F ⋅ n)dS , т.е.
представляет собой потокSF через внешнюю сторону S , а правую часть можно выразить следующим56∫∫∫ div Fdxdydz .образом:Итак,векторнаяформулировкатеоремыVОстроградского-Гаусса:При сформулированных выше условиях∫∫ (F ⋅ n)dS = ∫∫∫ div Fdxdydz .SVПонятие div F можно определить независимым от координат способом.Для этого рассмотрим точку M 0 , окружим ее шаром радиуса ε и применимтеоремуОстроградского-Гаусса:∫∫ (F ⋅ n )dS = ∫∫∫ div Fdxdydz ,SεгдеVε-Vεвышеупомянутый шар, а Sε - внешняя сторона ограничивающей его сферы. Кправой части применим теорему о среднем (учитывая непрерывность div F ):4∫∫∫ div Fdxdydz = div F (M ) 3 πε13, где M 1 - близкая к M 0 точка.
При ε → 0Vεdiv F (M 1 ) → div F (M 0 )div F (M 0 ) = limε →0и мы можем определить дивергенцию равенством:∫∫ (F ⋅ n)dSSε4 3 πε 3, в правой части которого система координат нефигурирует.Если считать F вектором скорости жидкости, то div F - это плотностьисточника, если divF > 0 , или стока, если divF < 0 .4. Соленоидальное полеОпределение. F - соленоидальное поле, если div F = 0 .Векторная линия обладает тем свойством, что в любой ее точке векторкасательной к линии совпадает с F .Векторная трубка – это совокупность векторных линий.57Пусть S1, S 2 - сечения векторной трубки и S3 - ее боковая поверхность.S = S1 U S2 U S3 .
Рассмотрим внешнюю нормаль к S и применим теоремуОстроградского:∫∫ F ⋅ n ⋅ dS = ∫∫∫ div Fdxdydz = 0 , в случае соленоидального поля.SИтак,V∫∫ F ⋅ ndS + ∫∫ F ⋅ ndS + ∫∫ F ⋅ ndS = 0 . НаS3 по определению векторной линии∫∫ F ⋅ ndS + ∫∫ F ⋅ ndS = 0или − ∫∫ F ⋅ ndS = ∫∫ F ⋅ ndS . ИзменяяS1S2S3F ⋅ n = 0 , поэтомуS2S1S1S2направление нормали на S1 на противоположное получаем, что потоксоленоидального поля через поперечные сечения векторных трубокпостоянен.5. Циркуляция, ротор. Векторная формулировка теоремыСтоксаПусть L - контур с заданным направлением обхода, F - векторное поле, l- единичный вектор касательной к кривой. Определим циркуляцию какинтеграл∫ (F ⋅ l )dl(смысл – работа силы F вдоль контура L ).L58Введем систему координат.
Пусть (cos α 0 , cos β 0 , cos γ 0 ) - направляющиекосинусы l , (P, Q, R ) - координаты F .Тогда(F ⋅ l )dl = (P cos α0+ Q cos β 0 + R cos γ 0 )dl = Pdx + Qdy + Rdz = F d rициркуляция представляет собой интеграл ∫ Pdx + Qdy + Rdz .LДля заданного непрерывно-дифференцируемого поля F (P, Q, R ) определим⎛ ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ⎞⎟⎟ .,,−−−⎝ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ⎠ротор (или вихрь) этого поля: rot F = ⎜⎜Легко проверить свойства ротора.1.
rot (a + b ) = rot a + rotb2. rot (U a ) = Urot a + gradU × a ,гдеподgradU × aпонимаемвекторноепроизведение.ВспомнимтеперьтеоремуСтокса:⎛ ∂Q ∂P ⎞∂Q ⎞⎛ ∂P ∂R ⎞⎟⎟dy ∧ dz + ⎜⎟⎟dx ∧ dy−−⎟dz ∧ dx + ⎜⎜∂z∂z∂x∂x∂y⎝⎠LS ⎝⎝⎠⎠, где P, Q, R - непрерывно дифференцируемые функции, S - кусочно-гладкая⎛ ∂R∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫ ⎜⎜ ∂y−поверхность, L - ее край, причем направление обхода L относительновыбранной стороны S является положительным.Вспомним, что dy ∧ dz = cos αdS , dz ∧ dx = cos β dS , dxdy = cos γdS , гдеcos α , cos β , cos γ - направляющие косинусы к выбранной стороне.При этом правая часть формулы Стокса принимает вид⎛ ⎛ ∂R∂Q ⎞∫∫ ⎜⎜⎝ ⎜⎜⎝ ∂y − ∂z ⎟⎟⎠ cos α +S⎞⎛ ∂Q ∂P ⎞⎛ ∂P ∂R ⎞⎟⎟ cos γ ⎟⎟dS или−+⎜−⎟ cos β + ⎜⎜⎝ ∂z ∂x ⎠⎝ ∂x ∂y ⎠⎠∫∫ (rot F ⋅ n)dS .
Итак, в сделанных вышеSпредположениях теорема Стокса выглядит так: ∫ F d r = ∫∫ (rot F ⋅ n )dS .LSПолучим определение rot F без использования системы координат. ПустьM 0 - точка, Sε - плоскость, в которой лежит окружность Lε радиуса ε сцентром в M 0 .59∫∫ (rot F ⋅ n)dS = rot F (M ) ⋅ n(M ) ⋅ πε( )Тогда121поSεтеореме о среднем ввиду непрерывностиподынтегральной функции. Здесь точка M 1близкакM0 .По∫ (F ⋅ l )dl = (rot F (M ) ⋅ n(M )) ⋅ πε11теореме2Стокса,илиLεrot F (M 0 ) ⋅ n(M 0 ) = limε →0∫ (F ⋅ l )dlLεπε 2.Ввиду произвольности выбора плоскости, получаем проекцию rot F (M 0 ) напроизвольную ось n(M 0 ) .
Это определяет и сам вектор.Легко вычислить, что rot gradU = 0 .Можно доказать и обратное. Если область односвязная и векторное полеF удовлетворяет условию rot F = 0 , то F - потенциальное, т.е. существуетфункция U такая, что F = gradU .Отметим, что выводы о независимости интеграла от формы путиинтегрирования, сделанные для двумерного случая, полностью переносятся ина трехмерный. Полученное там условиеаналогичны.60∂Q ∂P=∂x ∂yи rot F = 0вполне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
