Лекции Макарова 4 семестр (1111782), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Впотенциальном поле работа вдоль любого пути с началом в точке A(a1 , a2 , a3 ) иконцом в точке B(b1 , b2 , b3 ) равна разности потенциалов U ( B) − U ( A) , т.е.∫ Fd r = U ( B) − U ( A)ABи не зависит от выбора пути.Поле F называется соленоидальным, еслиdivF = 0 .43Можно доказать, что существует такое поле F1 , что F = rot F1 . Не труднопроверить, чтоdiv rot F1 = 0для любого поля F1 .В соленоидальном поле вектор-функции F через любую кусочно-гладкуюзамкнутую поверхность равен нулю, т.к. в силу формулы ГауссаОстроградского∫∫ Fd S = ∫∫∫ divF dxdydz = 0 .S+VНазовем поверхность S – соленоидом, если в каждой точке этойповерхности, вектор F лежит в касательной плоскости к S .
Пусть S –соленоидальная трубкаnSS 2+S1+и S1 и S2 – сечения этой трубки. Тогда потоки поля F через S1 и S2совпадают, т.е.∫∫ Fd S = ∫∫ Fd S .S1−S2+Поле F называется гармоническим, если существует такая гармоническаяфункция U = U ( x, y, z ) , т.е. функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа∂ 2U ∂ 2U ∂ 2UΔU = 2 + 2 + 2 = 0 , что F = gradU .∂x∂y∂zВ этом случае выполняются равенства⎧ rotF = 0,⎨⎩divF = 0т.е. гармоническое поле F является и потенциальным, и соленоидальным.Назовем поле F центральным, если44__F = f ( r )⋅r ,где r = ( x, y, z ) - радиус-вектор, а f ( t ) - произвольная дифференцируемаяфункция.Поле F называется Ньютоновым полем, если F = C ⋅rr3.Утверждение.
Всякое центральное гармоническое поле есть Ньютоновополе; верно и обратное.Доказательство. Пусть F = f ( r ) ⋅ r .Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что rotF = 0 иdivF = r ⋅ f ' ( r ) + 3 ⋅ f ( r ) = 0 .Обозначим t = r . Тогда последнее равенство примет вид :t ⋅ f '(t ) + 3 f (t ) = 0Решая это дифференциальное уравнение, получим значениеf (t ) =C, C∈t3- константа._Следовательно, имеем равенство: F = C ⋅rr3.Если F -Ньютоново поле, то rotF = 0 и divF = 0 .Если U - потенциал поля F , то div ( gradU ) = ΔU = 0 , т.е. F - гармоническоеполе. Утверждение доказано.Действительно, т.к. divF = 0 (поток через поверхность S соленоидальнойтрубки равен нулю), т.е.∫∫ Fds = 0 ,Sто.∫∫ Fds + ∫∫ Fds = 0S1+S2+или∫∫ Fds = ∫∫ Fds .S1−S2+Этот закон характерен для потоков жидкости или газа.45Поле F называется гармоническим, если существует такая гармоническаяфункция U = U ( x, y, z ) , т.е. функция, удовлетворяющая уравнению ЛапласаΔU =∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U++= 0 , что F = gradU .∂x 2 ∂y 2 ∂z 2В этом случае выполняются равенства⎧ rotF = 0,⎨⎩divF = 0т.е.
гармоническое поле F является и потенциальным, и соленоидальным.Назовем поле F центральным, еслиF = f ( r )⋅r ,где r = ( x, y, z ) - радиус-вектор, а f ( t ) - произвольная дифференцируемаяфункция.Поле F называется Ньютоновым полем, если F = C ⋅rr3.Утверждение. Всякое центральное гармоническое поле есть Ньютоновополе; верно и обратное.Доказательство. Пусть F = f ( r ) ⋅ r .Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что rotF = 0 и__div F = r ⋅ f ' ( r ) + 3 ⋅ f ( r ) = 0 .Обозначим t = r . Тогда последнее равенство примет вид:t ⋅ f '(t ) + 3 f (t ) = 0Решая это дифференциальное уравнение, получим значениеf (t ) =C, C∈t3- константа.___Следовательно, имеем равенство: F = C ⋅rr3.Если F - Ньютоново поле, то rotF = 0 и divF = 0 .Если U - потенциал поля F , то div ( gradU ) = ΔU = 0 , т.е.
F - гармоническоеполе. Утверждение доказано.4647Вопросы к экзамену.1) Двойной интеграл и его свойства.2) Переход от двойного интеграла к повторному.3) Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты.4) Тройной интеграл и его свойства.5) Переход от тройного интеграла к повторному. Замена переменных.Цилиндрические и сферические координаты.6) Криволинейные интегралы7) Поверхностные интегралы8) Формула Грина9) Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования водносвязной области на плоскости.10) Формула Стокса11) Формула Гаусса – Остроградского12) Потенциальное, соленоидальное, гармоническое, ньютоново поле.48Дополнение 1. Применение формулы Грина для доказательства задач:Пусть D - односвязная замкнутая область, L - замкнутая кусочно-гладкаяграница D, n - внешняя нормаль к границе L;ΔU =∂ 2U ∂ 2U+ 2 - оператор Лапласа; функция U называется гармонической,∂y∂x 2если в области D выполняется равенство: ΔU = 0 .Все рассматриваемые функции непрерывны в области D.Задача 1.⎛ ∂P∂Q ⎞⎜⎜⎟⎟ = ∫ Pdy − Qdx+∫∫∂∂xy⎝⎠ ( )( )DЗадача 2.∂UdsΔU ⋅ dxdy = ∫∫∫dn( )( )DЗадача 3.LL⎛ ∂U ∂V ∂U ∂V ⎞∂U⎟⎟dxdy + ∫ V+ds∂y ∂y ⎠∂n∂x∫∫ VΔU ⋅ dxdy = − ∫∫ ⎜⎜⎝ ∂x( )DЗадача 4.⎛(VΔU − UΔV )dxdy = ∫ ⎜V∫∫( )( )⎝DL∂V ⎞∂U−U⎟ds∂n ⎠∂nЗадача 5.
Доказать, что для всякой гармонической функции∂U∫( ) ∂n=0LЗадача 6. Доказать, что значения гармонической функции U в области Dоднозначно определяются значениями этой функции на границе L.Задача 7. Доказать теорему о среднем для гармонических функций:Пусть K R - окружность радиуса R, лежащая в области D с центром в точке(x0 , y 0 ) , U- гармоническая функция. Тогда справедлива формула:U ( x0 , y 0 ) =1U ⋅ ds2πR ( K∫R )Задача 8. Пусть U- гармоническая функция отличная от константы.Доказать, что для любой области D функция U достигает своихмаксимального и минимального значений на границе L этой области.49Решения и указания к решениям задач 1-8.2) Заметим, что n=(dy,−dx ) иds∂U∂U∂Udx . Применяя формулу Грина,dy −ds =∂n∂x∂yполучим равенство задачи 2.3) Решение аналогично задачи 2 следует из равенства:V∂U∂U∂Udxdy − Vds = V∂y∂x∂n4) Следует из задачи 3, если переменить в 3 функции U и V и вычестьполученное равенство из равенства 3.5) Следует из задачи 2.6) Пусть две гармонические функции U 1 и U 2 принимают одинаковыезначения на границе L .
Обозначим U = U1 − U 2 . Тогда из задачи 2 следует, что⎡⎛ ∂U ⎞ 2 ⎛ ∂U ⎞ 2 ⎤∂U ∂U∫∫ ⎢⎢⎜⎝ ∂x ⎟⎠ + ⎜⎜⎝ ∂y ⎟⎟⎠ ⎥⎥ dxdy = 0 ⇒ ∂x = ∂y = 0 , т.е. функция U=const в области D.⎣⎦Кроме того, U=0 на границе L ⇒ U ≡ 0 ⇒ U 1 ≡ U 2 .7) Пусть в равенстве задачи 4: V = ln r , где r = (x − x 0 )2 + ( y − y 0 )2 .
Vгармоническая функция на всей плоскости за исключением точки (x0 , y 0 ) .Тогда на границе круга K R функция V = ln R - константа и, следовательно,из равенства задачи 2 интеграл ∫ VKR∂Uds = 0 . Далее, рассмотрим∂nпроизвольный круг радиуса ρ < R . Так какзадачи 4 следует, что1ρ1∫ Uds = R ∫ Uds .ПриKρ∂V ∂ ln r 1== , то из равенства∂n∂rrρ → 0 предел интеграла в левойKRчасти равенства равен 2π ⋅ U (x 0 , y 0 ) , что и доказывает равенство 6.8) следует из задачи 7.50Дополнение 2.
Применение формул Гаусса – Остроградского и Стокса.Задача. Доказать закон Архимеда: на тело погруженное в жидкостьдействует выталкивающая сила равная весу жидкости вытесненной телом.Решение. Известно, что давление жидкости на элемент dS поверхности Sтела V погруженного в жидкость действует давление равное весу столбажидкости с основанием dS, высотой равной глубине погружения инаправлено по нормали n к элементу dS.Выберем координатную систему следующим образом: плоскость xyсовместим с поверхностью жидкости, а ось z направим вертикально вверх.Обозначим p- плотность жидкости, F = (Fx , Fy , Fz ) - вектор силы давленияжидкости на тело V, P = (z,0,0 ), Q = (0, z,0), R = (0,0, z ) . Заметим, что div P =div Q =0и div R =1.Используя формулу Гаусса-Остроградского, получим равенства:Fx = p ∫∫ ( P ⋅ n )ds = p ∫∫∫ divPdv = 0SV()Fy = p ∫∫ Q ⋅ n ds = p ∫∫∫ divQdv = 0SV()Fz = p ∫∫ R ⋅ n ds = p ∫∫∫ divRdv = pVSVчто и требовалось доказать.Применяя формулу Гаусса-Остроградского доказать следующие задачи:Пусть D-поверхностно-односвязная замкнутая область, S-замкнутая кусочногладкая поверхность, являющаяся границей области V ⊂ D , n-внешняянормаль к поверхности S;ΔU =∂ 2U ∂ 2U ∂U-оператор Лапласа; функция U называется+ 2 +∂z∂y∂x 2гармонической, если в области D выполняется равенство: ΔU = 0 .Все рассматриваемые функции непрерывны в области D.51Задача 1.∂U∫∫∫ ΔUdxdydz = ∫∫ ∂n dsVSЗадача 2.
Доказать, что для всякой гармонической функции∂U∫∫ ∂n ds = 0SЗадача 3. Доказать, что значения гармонической функции U в области Vоднозначно определяются значениями этой функции на границе S.Задача 4. Доказать теорему о среднем для гармонических функций:Пусть S R - сфера радиуса R лежащая в области D с центром в точке (x 0 , y 0 ) , Uгармоническая функция. Тогда справедлива формула:U (x0 , y 0 , z 0 ) =14πR 2∫∫U ( x, y, z )dsSRЗадача 5.
Пусть U- гармоническая функция отличная от константы.Доказать, что для любой области V функция U достигает своихмаксимального и минимального значений на границе S этой области.Указание. Доказательство этих задач аналогично доказательствусоответствующих задач на плоскости с использованием формулы Грина.52.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
