Лекции Макарова 4 семестр(alternative ver.) (1111781)
Текст из файла
Кратные интегралыn§1. Множества ви отображения этих множеств.nВ дальнейшем мы будем рассматривать множества вЧерезρ ( x, y ), n = 1, 2,3, т.е. на прямой, на плоскости и пространстве.будем обозначать расстояние между точками x и y вn{; Oδ ( x0 ) = x ∈n: ρ ( x0 , x) < δ } - δ -окрестность точки x0 .Точка y ∈называется предельной точкой множества M ⊂n, если ∀δ > 0 ∃x ∈ M , x ≠ y : x ∈ Oδ ( y )y может не принадлежать множеству M .Заметим, что сама точкаНапример, точкаny = 0 есть предельная точка множества M = (0,1) , но y ∉ M .содержит все свои предельные точки, то такое множество называется замкнутым.Если множество M ⊂Например, замкнутыми будут следующие множества:n[]1).
a, b ⊂- отрезок на прямой.2). M = ⎧( x, y ) : a ≤ x ≤ b , M ⊂⎨⎩2c≤ y≤d{- прямоугольник на плоскости.}3). M = ( x, y, z ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , M ⊂Пусть M ⊂n. Определим диаметр3- шар в пространстве.d ( M ) множества M равенством:d ( M ) = sup ρ ( x, y ).x , y∈MЕсли d ( M ) < ∞ , то множество M называют ограниченным.Ограниченное и замкнутое множество M ⊂nназывается компактом.Отметим два основных свойства компактов: если M 1 и M 2 - компакты, то:1).
M 1 ∪ M 2 - компакт.2). M 1 ∩ M 2 - компакт,т.е. объединение и пересечение двух (или конечного числа) компактов есть компакт.Точка x0 называется граничной точкой множестваM , если ∀δ > 0 ∃x, y : x ∈ M , y ∉ M и x, y ∈ Oδ ( x0 ) .Иными словами, в любой окрестности граничной точки содержатся как точки, принадлежащие множеству M , так и точки, непринадлежащие M .Множество всех граничных точек множества M будем обозначать ∂M и называть границей M .
Заметим, что множество∂M замкнуто и для любого множества M множество M = M ∪ ∂M - замкнуто (замыкание M ).В частности, если M - ограничено, то M - компакт.Множество U ⊂nбудем называть открытым, если ∀x ∈ U ∃δ : Oδ ( x ) ⊂ U . Иными словами, всякая точка из U входит вU вместе с некоторой своей окрестностью.Примеры:1)2)открытые множества воткрытые множества вВсе множества внесвязным, еслиnесть открытые интервалы и их объединения.2есть Oδ (x) окрестности и их объединения.разобьем на два класса связные и несвязные следующим образом: будем называть множество∃U1 ⊂nиU2 ⊂V⊂n– открытые множества такие, что V ∩ U 1 ≠ ø, V ∩ U 2 ≠ 0 , V ⊂ U 1 ∪ U 2 иnU 1 ∩ U 2 = ø.
Остальные множества будем называть связными.Отображение множествОтображениемϕϕ : A ⎯⎯→ B ,гдеA⊂n,B⊂точке x ∈ A некоторую точку (или множество точек)Пример. Отображениеϕ : A → B , A, B ⊂2mбудем называть некоторое правило ставящее в соответствие каждойy ∈ B , т.е. y = ϕ ( x) .задается равенствами:1⎧ x = r cosα,⎨⎩ y = r sin α0 < r <10 <ϕ <π2В этом случае множество A есть множество внутренних точек прямоугольникаа множество B – множество внутренних точек четверти окружностиϕ: A→ BОтображениеπ/2называтьнепрерывнымвx0 ∈ A ,точкеесли∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ Oδ ( x0 ) ⇒ f ( x) ∈ Oε ( f ( x0 ))AЕсли отображениеyбудем1rϕнепрерывно во всех точках множества A, то будем говорить, чтонепрерывно на множестве A и записывать:ϕϕ ∈ C ( A) .Отметим два важных свойства непрерывных отображений:1ϕ ∈ C ( A) , то ϕ ( A) – компакт;если А – связное множество и ϕ ∈ C ( A) , то ϕ ( A) – связное множество.если А – компакт и1)B2)Заметим, что связный компакт на прямой R есть отрезок или одна точка.1xϕСледовательно, образ связного компакта А при непрерывном отображении A ⎯⎯→ R естьотрезок или одна точка.Площадь компакта в2.Будем называть S ( M ) площадью компакта M ⊂y2величину:S ( M ) = inf S ( Pn ) ,M ⊂ Pnт.е.
точную нижнюю грань площадей многоугольников Pn , содержащих M .Отметим следующие свойства площади компакта:1) S ( M ) ≥ 02) если М1 и М2 – компакты такие, что S ( M 1 ∩ M 2 ) = 0 , тоxS ( M1 ∪ M 2 ) = S ( M1 ) + S ( M 2 ) .[Рассмотрим график непрерывной кривой y = f ( x ) , x ∈ a; bM=]и докажем, что множество{( x, f ( x ) ) , x ∈ [ a; b]}[]имеет нулевую площадь, т.е. S ( M ) = 0 . Действительно, по теореме Кантора f ( x ) равномерно непрерывна на a; b , т.е.∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x1 , x2 ∈ [ a; b ] : x1 − x2 < δ ⇒ f ( x1 ) − f ( x2 ) < ε .[Рассмотрим произвольное разбиение Т отрезка a; b]диаметра d (T ) < δ .Обозначим M i = max f ( x ) , mi = min f ( x ) , i = 1,..., n -- максимум и минимум значений функции f ( x ) на Δ i - элементеx∈Δix∈Δiразбиения отрезка. Так как Δ i < δ , то M i − mi < ε и, следовательно,n∑(Mi =1i− mi )Δ i < ε ( b − a ) → 0 ,( ε → 0 ),геометрически это означает, что график функции y = f ( x ) лежит внутри многоугольника Pn и S ( Pn ) < ε ( b − a )т.е.
S ( M ) = 0 .2Двойной интеграл.Пусть M ⊂2компакт. Назовем разбиением Т компакта M совокупность компактов M1,…,Mn таких, что M =n∪Mkиk =1S ( M k ∩ M s ) = 0, k ≠ s .Обозначим d (T ) = max d ( M k ) - диаметр разбиения и назовем интегральной суммой:knS ( f , T ) = ∑ f ( xk , yk ) S ( M k ) , где точки ( x k , y k ) ∈ M k .k =1Предположим также, что функция f(x,y) ограничена на М.Тогда двойным интегралом функции f(x,y) на компакте M называется величина:∫∫ f ( x, y)dxdy :=Mlim S ( f , T )d (T ) → 0Отметим следующие свойства двойных интегралов:1) если S(M) = 0 , то∫∫ f ( x, y)dxdy = 0 ;M2) если f ( x, y ) ≡ 1 , то∫∫ f ( x, y)dxdy = S (M ) ;M3) если M = M 1 ∪ M 2 , где M1, M2 компакты, такие, что S ( M 1 ∩ M 2 ) = 0 , то∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( x, y)dxdy + ∫∫ f ( x, y)dxdyMM14) если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы на компакте M,M2λ , μ ∈ R - произвольные числа, то∫∫ (λf ( x, y) + μg ( x, y))dxdy = λ ∫∫ f ( x, y)dxdy + η ∫∫ g ( x, y)dxdyMMM5) если f ∈ C (M ) и M – связный компакт, то ∃( x 0 , y 0 ) ∈ M :∫∫ f ( x, y)dxdy =f ( x0 , y 0 ) ⋅ S ( M ) .MДоказательства свойств двойного интеграла1.Если S ( M ) = 0 и T – некоторое разбиение M, то M =n∪Mи S ( M k ∩ M i ) = 0 , k ≠ i .
Тогда по свойству 2kk =1площади компакта S ( M ) =n∑ S (Mk =1k) = 0 и, следовательно, S ( M k ) = 0 , k = 1,..., n . Запишем интегральную суммуnS ( f , T ) : S ( f , T ) = ∑ f ( x k , y k ) S ( M k ) = 0 , что и доказывает свойство 1.k =12.Еслиf ( x, y ) ≡ 1 ,( x, y ) ∈ M ,тоnnk =1k =1S ( f , T ) = ∑ f ( xk , y k )S (M k ) = ∑ S (M k ) = S (M ) ,т.е.∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ dxdy = S (M ) .MMПусть функции f ( x, y ) и g ( x, y ) интегрируемы на компакте M. Запишем интегральную сумму для линейной4.λ f ( x , y ) + μ g ( x, y ) ,комбинацииnS (λ f + μ g , T ) = ∑ (λ f ( x k , y k ) + μ g ( x k , y k )) S ( M k ) =k =1nnk =1k =1= λ ∑ f ( x k , y k ) S ( M k ) + μ ∑ g ( x k , y k ) S ( M k ) = λ S ( f , T ) + μ S ( g , T ).3λ, μ ∈ ℜ :Переходякпределувэтомравенствеприd (T ) → 0 ,получим:∫∫ (λ f ( x, y) + μ g ( x, y))dxdy = λ ∫∫ f ( x, y)dxdy + μ ∫∫ g ( x, y)dxdy .M5.MMf ∈ C (M ) непрерывна на M и M – связный компакт, то образ f (M ) есть отрезок [c1 , c 2 ] , гдеЕслиc1 = min f ( x, y ) и c 2 = max f ( x, y ) .MMЕсли S ( M ) = 0 , то по первому свойству∫∫ f ( x, y)dxdy = 0и равенствоM∫∫ f ( x, y)dxdy =f ( x0 , y 0 ) S ( M ) будетMвыполняться для любой точки ( x 0 , y 0 ) ∈ M .Если S ( M ) ≠ 0 , то из неравенств c1 S ( M ) ≤ S ( f , T ) ≤ c 2 S ( M ) в пределе при dT → 0 будет следовать, чтоc1 S ( M ) ≤ ∫∫ f ( x, y )dxdy ≤ c 2 S ( M ) или c1 ≤M∫∫ f ( x, y)dxdyMS (M )≤ c2 .[]Так как функция f ( x, y ) принимает все промежуточные значения на отрезке c1 , c2 , то ∃ ( x0 , y0 ) ∈ M , чтоf ( x0 , y0 ) =или∫∫ f ( x, y ) dxdyMS (M )∫∫ f ( x, y ) dxdy = f ( x , y ) ⋅ S ( M ) .00MЗамечание 1.
Последнее 5-ое свойство обычно называют теоремой о среднем.Геометрический смысл двойного интеграла.Пусть f ∈ C ( M ) , т.е. функция f ( x, y ) непрерывна на М и f ( x, y ) > 0Yz=f(x,y)Тогда объем цилиндроида, заключенного между поверхностью z = f ( x, y ) иплоскостью ОХУ численно равенV = ∫∫ f ( x, y ) dxdy .MЭто следует из определения двойного интеграла как предела интегральных суммMXS ( f ,T ) .Отметим без доказательства следующие теоремы:Теорема 1. Если функция f ( x, y ) ∈ C ( M ) , непрерывна на компакте М, то эта функция f ∈( M ) , интегрируема на М.Теорема 2.
Пусть функция f ограничена на компакте M ; M = M 1 ∪ M 2 , где M 1 и M 2 компакты такие, чтоf ∈ R ( M 1 ) , функция f интегрируема на M 1 и S ( M 2 ) = 0 , т.е. площадь компакта M 2 равна нулю. Тогда f ∈ R ( M ) ,функция f интегрируема на M .4Сведение двойного интеграла к повторному.Пусть M - есть криволинейная трапеция:a≤ x≤b⎧⎫M = ⎨( x, y ) :⎬y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x ) ⎭⎩y[]где функции y1 ( x ) и y2 ( x ) непрерывны на a, b .y=y1(x)My=y2(x)xи функция f ∈ C (M ) непрерывна на M.Тогда имеет место равенство∫∫Mby1 ( x )ay1 ( x )f ( x, y )dxdy = ∫ dx∫ f ( x, y )dyгде интеграл, стоящий в правой части равенства, следует понимать так:сначала вычисляется интегралF ( x) =y2 ( x )∫ f ( x, y)dyy ( x)в котором y – переменная, а х – фиксированная величина, затем вычисляется интегралb∫ F ( x)dxaкоторый и равен исходному интегралу т.е.b∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ F ( x)dxMaДля доказательства рассмотрим два случая:M – есть прямоугольник1)a ≤ x≤b⎧M = ⎨ ( x , y );c≤ x≤ d⎩[ ]Разобьем отрезок a, b на n равных частей Δ i =на m – равных частейδi =b−a; а отрезок [c; d ]nd −c.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
