Лекции Макарова 4 семестр (1111782)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

IV семестрКратные интегралы§1. Множества вnи отображения этих множеств.В дальнейшем мы будем рассматривать множества вn, n = 1, 2,3, т.е. напрямой, на плоскости и пространстве.Через ρ ( x, y ) будем обозначать расстояние между точками x и y вOδ ( x0 ) = { x ∈Точка y ∈nnn;: ρ ( x0 , x) < δ } - δ -окрестность точки x0 .называется предельной точкой множества M ⊂n, если ∀δ > 0∃x ∈ M , x ≠ y : x ∈ Oδ ( y )Заметим, что сама точка y может не принадлежать множеству M .Например, точка y = 0 есть предельная точка множества M = (0,1) , но y ∉ M .Если множество M ⊂nсодержит все свои предельные точки, то такоемножество называется замкнутым.Например, замкнутыми будут следующие множества:1).

[ a, b ] ⊂- отрезок на прямой.⎧2). M = ⎨( x, y ) :⎩a≤ x≤b, M⊂c≤ y≤d2- прямоугольник на плоскости.3). M = {( x, y, z ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1} , M ⊂Пусть M ⊂n3- шар в пространстве.. Определим диаметр d ( M ) множества M равенством:d ( M ) = sup ρ ( x, y ).x , y∈MЕсли d ( M ) < ∞ , то множество M называют ограниченным.Ограниченное и замкнутое множество M ⊂nназывается компактом.Отметим два основных свойства компактов: если M 1 и M 2 - компакты, то:1). M 1 ∪ M 2 - компакт.2). M 1 ∩ M 2 - компакт,1т.е.

объединение и пересечение двух (или конечного числа) компактов естькомпакт.Точка x0 называется граничной точкой множества M , если ∀δ > 0 ∃x, y :x ∈ M , y ∉ M и x, y ∈ Oδ ( x0 ) .Иными словами, в любой окрестности граничной точки содержатся какточки, принадлежащие множеству M , так и точки, не принадлежащие M .Множество всех граничных точек множества M будем обозначать ∂M иназывать границей M . Заметим, что множество ∂M замкнуто и для любогомножества M множество M = M ∪ ∂M - замкнуто (замыкание M ).В частности, если M - ограничено, то M - компакт.Множество U ⊂будем называть открытым, если ∀x ∈ U ∃δ : Oδ ( x) ⊂ U .nИными словами, всякая точка из U входит в U вместе с некоторой своейокрестностью.Примеры:1)открытые множества в2)открытые множества вВсе множества вnесть открытые интервалы и их объединения.2есть Oδ ( x) окрестности и их объединения.разобьем на два класса связные и несвязные следующимобразом: будем называть множество V ⊂U2 ⊂nnнесвязным, если ∃U1 ⊂nи– открытые множества такие, что V ∩ U 1 ≠ ø, V ∩ U 2 ≠ 0 , V ⊂ U 1 ∪ U 2 иU 1 ∩ U 2 = ø.

Остальные множества будем называть связными.Отображение множествϕОтображением ϕ : A ⎯⎯→B , где A ⊂n, B⊂mбудем называть некотороеправило ставящее в соответствие каждой точке x ∈ A некоторую точку (илимножество точек) y ∈ B , т.е. y = ϕ ( x) .Пример.

Отображение ϕ : A → B , A, B ⊂22задается равенствами:⎧ x = r cosα 0 < r < 1,⎨π⎩ y = r sin α 0 < ϕ <2ВэтомслучаемножествоAестьмножествовнутреннихточекпрямоугольникаαπ/2A1rа множество B – множество внутренних точек четверти окружностиy1B1xОтображение ϕ : A → B будем называть непрерывным в точке x0 ∈ A , если∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ Oδ ( x0 ) ⇒ f ( x) ∈ Oε ( f ( x0 ))Если отображение ϕ непрерывно во всех точках множества A, то будемговорить, что ϕ непрерывно на множестве A и записывать: ϕ ∈ C ( A) .Отметим два важных свойства непрерывных отображений:1)если А – компакт и ϕ ∈ C ( A) , то ϕ ( A) – компакт;2)если А – связное множество и ϕ ∈ C ( A) , то ϕ ( A) – связное множество.Заметим, что связный компакт на прямой R есть отрезок или одна точка.Следовательно, образ связного компакта А при непрерывном отображенииϕA ⎯⎯→ R есть отрезок или одна точка.3Площадь компакта вБудем называть S ( M ) площадью компакта M ⊂22.величину:S ( M ) = inf S ( Pn ) ,M ⊂ Pnт.е.

точную нижнюю грань площадей многоугольников Pn , содержащих M .Отметим следующие свойства площади компакта:1) S ( M ) ≥ 02) если М1 и М2 – компакты такие, что S ( M 1 ∩ M 2 ) = 0 , тоS ( M1 ∪ M 2 ) = S ( M1 ) + S ( M 2 ) .Рассмотрим график непрерывной кривой y = f ( x ) , x ∈ [ a; b ] и докажем, чтомножествоM={( x, f ( x ) ) , x ∈ [ a; b]}имеет нулевую площадь, т.е. S ( M ) = 0 .Действительно, по теореме Кантора f ( x ) равномерно непрерывна на [ a; b ] ,т.е.

∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x1 , x2 ∈ [ a; b ] : x1 − x2 < δ ⇒ f ( x1 ) − f ( x2 ) < ε .Рассмотрим произвольное разбиение Т отрезка [ a; b ] диаметра d (T ) < δ .Обозначим M i = max f ( x ) , mi = minf ( x ) , i = 1,..., n -- максимум и минимумx∈Δx∈Δiiзначений функции f ( x ) на Δi - элементе разбиения отрезка. Так как Δ i < δ , тоM i − mi < ε и, следовательно,n∑(Mi =1i− mi )Δ i < ε ( b − a ) → 0 ,( ε → 0 ),геометрически это означает, что график функции y = f ( x ) лежит внутримногоугольника Pn и S ( Pn ) < ε ( b − a )4yxт.е.

S ( M ) = 0 .Двойной интеграл.Пусть M ⊂2компакт. Назовем разбиением Т компакта M совокупностьnкомпактов M1,…,Mn таких, что M = ∪ M k и S ( M k ∩ M s ) = 0, k ≠ s .k =1Обозначим d (T ) = max d ( M k ) - диаметр разбиения и назовем интегральнойknсуммой: S ( f , T ) = ∑ f ( xk , yk ) S ( M k ) , где точки ( x k , y k ) ∈ M k .k =15Предположим также, что функция f(x,y) ограничена на М.Тогда двойным интегралом функции f(x,y) на компакте M называетсявеличина:∫∫ f ( x, y)dxdy :=lim S ( f , T )d (T ) → 0MОтметим следующие свойства двойных интегралов:1) если S(M) = 0 , то∫∫ f ( x, y)dxdy = 0 ;M2) если f ( x, y ) ≡ 1 , то∫∫ f ( x, y)dxdy = S (M ) ;M3) если M = M 1 ∪ M 2 , где M1, M2 компакты, такие, что S ( M 1 ∩ M 2 ) = 0 , то∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( x, y)dxdy + ∫∫ f ( x, y)dxdyMM1M24) если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы на компакте M, λ , μ ∈ R произвольные числа, то∫∫ (λf ( x, y) + μg ( x, y))dxdy = λ ∫∫ f ( x, y)dxdy + η ∫∫ g ( x, y)dxdyMMM5) если f ∈ C ( M ) и M – связный компакт, то ∃( x0 , y 0 ) ∈ M :∫∫ f ( x, y)dxdy =f ( x0 , y 0 ) ⋅ S ( M ) .MДоказательства свойств двойного интеграла1.ЕслиS (M ) = 0и T – некоторое разбиение M, тоnM = ∪Mkиk =1S (M k ∩ M i ) = 0 ,nk ≠ i.S (M ) = ∑ S (M k ) = 0и,Тогдапосвойствуследовательно,k =1n2S (M k ) = 0 ,площадикомпактаk = 1,..., n .Запишеминтегральную сумму S ( f , T ) : S ( f , T ) = ∑ f ( x k , y k ) S ( M k ) = 0 , что и доказываетk =1свойство 1.6nnk =1k =1Если f ( x, y ) ≡ 1 , ( x, y ) ∈ M , то S ( f , T ) = ∑ f ( xk , y k ) S ( M k ) = ∑ S ( M k ) = S ( M ) ,2.∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ dxdy = S (M ) .т.е.MMПусть функции f ( x, y ) и g ( x, y ) интегрируемы на компакте M.

Запишем4.интегральную сумму для линейной комбинации λ f ( x, y) + μ g ( x, y ) , λ , μ ∈ ℜ :nS (λ f + μ g , T ) = ∑ (λ f ( x k , y k ) + μ g ( x k , y k )) S ( M k ) =k =1nnk =1k =1= λ ∑ f ( x k , y k ) S ( M k ) + μ ∑ g ( x k , y k ) S ( M k ) = λ S ( f , T ) + μ S ( g , T ).Переходякпределувэтомравенствеприd (T ) → 0 ,получим:∫∫ (λ f ( x, y) + μ g ( x, y))dxdy = λ ∫∫ f ( x, y)dxdy + μ ∫∫ g ( x, y)dxdy .M5.MMЕсли f ∈ C ( M ) непрерывна на M и M – связный компакт, то образ f ( M )есть отрезок [c1 , c 2 ] , где c1 = min f ( x, y ) и c 2 = max f ( x, y ) .MЕслиMS ( M ) = 0 , то по первому свойству∫∫ f ( x, y)dxdy = 0и равенствоM∫∫ f ( x, y)dxdy =f ( x0 , y 0 ) S ( M ) будет выполняться для любой точки ( x0 , y 0 ) ∈ M .MЕсли S ( M ) ≠ 0 , то из неравенств c1 S ( M ) ≤ S ( f , T ) ≤ c 2 S ( M ) в пределе при dT → 0будет следовать, что c1 S ( M ) ≤ ∫∫ f ( x, y )dxdy ≤ c 2 S ( M ) или c1 ≤M∫∫ f ( x, y)dxdyMS (M )≤ c2 .Так как функция f ( x, y ) принимает все промежуточные значения на отрезке[c1 , c2 ] , то ∃ ( x0 , y0 ) ∈ M , чтоf ( x0 , y0 ) =или∫∫ f ( x, y ) dxdyMS (M )∫∫ f ( x, y ) dxdy = f ( x , y ) ⋅ S ( M ) .00MЗамечание 1.

Последнее 5-ое свойство обычно называют теоремой осреднем.7Геометрический смысл двойного интеграла.Пусть f ∈ C ( M ) , т.е. функция f ( x, y ) непрерывна на М и f ( x, y ) > 0Yz=f(x,y)MXТогда объем цилиндроида, заключенного между поверхностью z = f ( x, y ) иплоскостью ОХУ численно равенV = ∫∫ f ( x, y ) dxdy .MЭто следует из определения двойного интеграла как предела интегральныхсумм S ( f , T ) .Отметим без доказательства следующие теоремы:Теорема 1. Если функция f ( x, y ) ∈ C ( M ) , непрерывна на компакте М, то этафункция f ∈ ( M ) , интегрируема на М.Теорема 2. Пусть функция f ограничена на компакте M ; M = M 1 ∪ M 2 , гдеM 1 и M 2 компакты такие, что f ∈ R ( M 1 ) , функция f интегрируема на M 1 иS ( M 2 ) = 0 , т.е.

площадь компакта M 2 равна нулю. Тогда f ∈ R ( M ) , функция fинтегрируема на M .8Сведение двойного интеграла к повторному.Пусть M - есть криволинейная трапеция:a≤ x≤b⎧⎫M = ⎨( x, y ) :⎬y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x ) ⎭⎩где функции y1 ( x ) и y2 ( x ) непрерывны на [ a, b ] .yy=y1(x)My=y2(x)xи функция f ∈ C (M ) непрерывна на M.Тогда имеет место равенствоby1 ( x )ay1 ( x )∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y )dyMгде интеграл, стоящий в правой части равенства, следует понимать так:сначала вычисляется интегралF ( x) =y2 ( x )∫ f ( x, y)dyy ( x)в котором y – переменная, а х – фиксированная величина, затем вычисляетсяинтегралb∫ F ( x)dxaкоторый и равен исходному интегралу т.е.∫∫Mbf ( x, y )dxdy = ∫ F ( x)dxa9Для доказательства рассмотрим два случая:1)M – есть прямоугольникa ≤ x≤b⎧M = ⎨ ( x , y );c≤ x≤ d⎩Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей Δ i =на m – равных частей δ i =b−a; а отрезок [c; d ]nd −c. Тогда компакт М разобьется на m⋅ nmкомпактов Mij , i = 1,…,n; j=1,…,m.Выберем в каждом Mij точку ( xij ; yij ) ∈ M ij и напишем соответствующуюинтегральную сумму:mnnmi =1j =1S ( f , t ) = ∑∑ f ( xij , yij )Δ iδ j = ∑ Δ i ∑ f ( xij , yij )δ ii =1 j =1Внутренняя суммаm∑ f (x , yj =1ijij)δ j соответствует интегральной сумме,стремящейся к интегралу:dF ( xi ) = ∫ ( xi , yi )dycт.

е.n∑ f (x , yj =1ijij)δ j = F ( xi ) + α (m) где lim α (m) = 0 .m →∞10Следовательно, мы можем записатьnmni =1i =1i =1S ( f , t ) = ∑ F ( xi )Δ i + ∑ δ j ⋅ α (m) = ∑ F ( xi )Δ i + α (m) ⋅ (b − a)(d − c)Из последнего равенства следует при n, m → ∞ :∫∫Mbf ( x, y )dxdy = ∫ F ( x)dx ,aчто и требовалось доказать.Рассмотрим теперь случай, когда M - криволинейная трапеция:dy=y2(x)My=y1(x)cabТак как функции y1 ( x) и y2 ( x) ∈ C[a, b] , то они ограничены.Пусть y1 ( x) ≥ c и y2 ( x) ≤ d , x ∈ [ a, b ]Дополним компакт M до прямоугольника:a≤ x≤b⎧M 1 = ⎨ ( x, y ) :c≤x≤d⎩а функцию f ( x, y ) доопределим на M 1 следующим образом:⎧ f ( x, y ), åñëè ( x, y ) ∈ Mf1 ( x, y ) = ⎨⎩ 0, åñëè ( x, y ) ∈ M 1 \ MТогда по доказанному вышеbdacby2 ( x )ay1 ( x )∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx ∫1M11f ( x, y )dyчто и требовалось доказать.11По аналогии с доказанным выше, рассмотрим криволинейную трапециюM = { ( x, y ) :c≤ y ≤ dx1 ( y )≤ x≤ x2 ( y )ydx = x1(y)x=x2(y)Mcxдоказывается равенство:dx1 ( y )cx2 ( y )∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dy ∫Mf ( x, y )dxЗамечание.

Если М – прямоугольникM = { ( x, y ) : a≤ x≤b ,c≤ y ≤dа функция f ( x, y ) = f1 ( x) f 2 ( y) , где f1 ( x) ∈ C [a, b] , f 2 ( y ) ∈ C [c, d ] , то справедливоравенство:∫∫Mbdacf ( x, y )dxdy = ∫ f1 ( x)dx ∫ f 2 ( y )dy ,т.е. двойной интеграл равенпроизведению однократных.Замена переменных в двойном интегралеПусть задано отображение ϕ : M 1 → M , M 1 , M ⊂ ℜ2 компакты в ℜ2 функциями:⎧ x = x (u , v), (u , v) ∈ M 1.⎨⎩ y = y (u , v), ( x, y ) ∈ M12Мыбудемx(u, v), y (u , v),предполагатьтакже,чтовсефункции∂x ∂y ∂x ∂y, , , ∈ C ( M 1 ) непрерывны на M 1 и якобиан J (u, v) ≠ 0∂u ∂u ∂v ∂v⎛ ∂x⎜отличен от нуля J (u, v) = det ⎜ ∂u⎜ ∂x⎜⎝ ∂v∂y ⎞δu ⎟⎟∂y ⎟⎟∂v ⎠Условие отличия от нуля якобиана J (u, v) замены отображения ϕ гарантируетвзаимную однозначность этого отображения.Вэтомслучаесправедливо∫∫ f ( x, y) dxdy = ∫∫ f ( x(u, v), y(u, v)) J (u, v) dudv ,Mгдеf ( x, y ) ∈ C ( M )равенство:–функция,M1непрерывная на M .Заметим, что, если f ( x, y ) = 1 , то последнее равенство примет вид:∫∫ dxdy = ∫∫ J (u, v) dudvMM1Из свойств двойного интеграла получается соотношение:S ( M ) = J (u 0 ; v 0 ) ⋅ S ( M 1 ), (u 0 ; v 0 ) ∈ M 1 .J (u0 ; v0 ) =илиS (M )S (M1 )которое показывает, что модуль J (u , v) якобиана замены есть коэффициентпреобразования площади.Пример.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций