Лекции Макарова 4 семестр (1111782), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Криволинейным интегралом второго рода от вектора функцииF ( r ) вдоль кривой L+ с началом в точке A и окончанием в точке B23называется интеграл:__∫ Fd r =L+β⎛ ⎛_ ⎞⎞⎛_ ⎞⎛_ ⎞++=⋅+⋅+PdxQdyRdz:Prtx'tQrty'tR()()()()⎜⎟⎜⎟⎜ r ( t ) ⎟ ⋅ z ' ( t ) ⎟ dt⎜∫L∫α ⎝ ⎝ ⎠⎝⎠⎝⎠⎠+(*)Докажем, что определение корректно, т.е. не зависит от выборапараметризации.⎧ x = x1 ( u ) = x ( t ( u ) )⎪Пусть кривая L задана в другой параметризации ⎪⎨ y = y1 ( u ) = y ( t ( u ) ) u ∈ [ a, b ] ,⎪⎪⎩ z = z1 ( u ) = z ( t ( u ) )т.е. r = r1 ( u ) = r ( t ( u ) ) , где t = t ( u ) - функция, определяющая связь между двумяпараметризациями такая, что t ' ( u ) > 0 и t ' ( u ) ∈⊂ [ a.b ] .Тогда, делая замену t = t ( u ) в определенном интеграле (*), получим равенствоβ()∫ Fdr = ∫ P ( r ( t ) ) ⋅ x 't + Q ( r ( t ) ) ⋅ y 't + R ( r ( t ) ) ⋅ z 't dt =αL+b( ()()() )( ()()()= ∫ P r1 ( u ) ⋅ x 't + Q r1 ( u ) ⋅ y 't + R r1 ( u ) ⋅ z 't ⋅ t 'u du =ab)= ∫ P r1 ( u ) ⋅ x 'u + Q r1 ( u ) ⋅ y 'u + R r1 ( u ) ⋅ z 'u du .aТак как по теореме о производной сложной функции x 't ⋅ t 'u = x 'u , y 't ⋅ t 'u = y 'u ,z 't ⋅ t 'u = z 'u .
Это равенство доказывает независимость интеграла отпараметризации.Обозначим∫ Fdrкриволинейный интеграл вдоль кривой L с началом в точкеL+B и окончанием в точке A .Тогда получим равенствоβ∫ Fdr = ∫ ( P(r (t )) xt′ + Q(r (t )) y′(t ) + R(r (t )) z′(t ))dt = − ∫ Fdr ,L−αL+т.е., при изменении направления пути интегрирования вдоль кривой L напротивоположное, криволинейный интеграл второго рода изменит знак.24Механический смысл криволинейного интеграла второго рода состоит в том,что этот интеграл равен работе в поле F (r ) вдоль пути L+ .Пример. Найти работу J по перемещению точечной массы m из точкиA(a1 , a2 , a3 ) в точкуB (b1 , b2 , b3 )в поле притяжения точечной массы M ,находящейся в начале координат.Решение. Пусть L+ – гладкая кривая с началом в точке A и окончанием вточке B , не проходящая через начало координат и r = r (t ) – некотораяпараметризация этой кривой, t ∈ [a, b] , A = r (α ) , B = r ( β ) .Тогда согласно закону Ньютона сила действующая на массу m выражаетсяформулойF = −γ mMrr3,где γ – гравитационная константа.Работа J по перемещению массы m из A в B вдоль кривой L выражаетсяформулойβJ=∫ Fdr = −γ mM ∫L+Обозначим U ( r ) =γ mMrαr (t )dr (t )r (t )3β= −γ mM ∫αr (t ) r ′ (t )r (t )3dt .– потенциал поля F .
Тогда U ′ ( r ( t ) ) = −γ mMr (t ) r ′ (t )r (t )3и, следовательно, работа J равнаJ = U ( B) − U ( A)разности потенциалов в точкахBиA.Заметим, что работа вгравитационном поле не зависит от выбора пути L , а зависит только отначальной и конечной точек этого пути.25Площадь поверхностиПусть функция f ( x, y ) и её частичные производные∂f∂fинепрерывны на∂x∂y.компакте M ⊂Множество S ⊂( x, y ) ∈ M⎧S = ⎨ ( x, y , z ) :z = f ( x, y )⎩определяет некоторую поверхность S в3.Назовём площадью S этой поверхности двойной интеграл:S = ∫∫M22⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dxdy⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠( ∗)Примеры:1).
Площадь сферы.Уравнение поверхности верхней полусферы: z = R 2 − x 2 − y 2 , где R - радиуссферы.Вычисляя поверхность сферы с помощью формулы ( ∗) , получимS =2∫∫2π1+x2 + y 2 ≤ R2RRx2y2Rrdr⎛⎞222dxdydRRr2ϕ4π+==−−⎜⎟ = 4π R222222∫∫220R −x −yR −x −y⎝⎠R −r002). Площадь поверхности конуса.Рассмотрим прямой круговой конус высоты h и радиуса R окружности восновании конуса. Поверхность этого конуса задаётся уравнением:2h⎛R⎞x 2 + y 2 = ⎜ ⎟ z 2 , 0 ≤ z ≤ h или z =x2 + y2R⎝h⎠Применяя формулу ( ∗) для вычисления площади, поверхности получимравенство:S =∫∫x2 + y 2 ≤ R21+h2 x2h2 y 2R 2 + h2+dxdy=dxdy = π R R 2 + h 2222222∫∫R x +yR x +yRx2 + y 2 ≤ R2Если поверхность задана в параметрической форме,26⎧ x = x(u , v)⎪S : ⎨ y = y (u, v) , (u , v) ∈ M ,⎪ z = z (u , v)⎩то для вычисления площади поверхности S применяется формула:S = ∫∫M⎛ ∂x ∂y ∂z ⎞e1 = ⎜ , , ⎟⎝ ∂u ∂u ∂u ⎠e1 × e2 dudv, где⎛ ∂x ∂y ∂z ⎞e2 = ⎜ , , ⎟⎝ ∂v ∂v ∂v ⎠( ∗∗)Можно показать, что эта формула для вычисления площади поверхности независит от выбора параметризации.
Кроме того, эта формула совпадает сформулой для площади поверхности, заданной явным уравнением z = f ( x, y ) .Действительно, зададим параметризацию поверхности следующим образом:⎧ x=u⎪⎨ y=v .⎪ z = f (u, v)⎩Тогда∂f ⎞⎛e1 = ⎜1, 0, ⎟∂u ⎠⎝∂f ⎞⎛e2 = ⎜ 0,1, ⎟∂v ⎠⎝22∂f∂fи e1 × e2 = 1 + ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟ .⎝ ∂u ⎠ ⎝ ∂v ⎠Тогда S = ∫∫M22⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dudv .⎝ ∂u ⎠ ⎝ ∂v ⎠Пример. Найти площадь поверхности тора; уравнение тора впараметрической форме имеет вид:⎧ x = (b + a cos u ) cos v⎪⎨ y = (b + a cos u ) sin v , b > a > 0, 0 ≤ u ≤ 2π , 0 ≤ v ≤ 2π .⎪z = a sin u⎩Решение.
Вычисляя вектора e1 и e2 по формулам ( ∗∗) , получим равенства:e1 = (− a sin u cos v, − a sin u sin v, a cos u )e2 = −(b + a cos u ) sin v, (b + a cos u ) cos v, 0),27из которых находим:e1 × e2 = a(b + cos u )иS =2π2π002∫ dv ∫ a(b + a cos u )du = 4π ab .Поверхностные интегралы.Если поверхность S задана в общем виде системой⎧ x = x ( u, v )⎪⎨ y = y ( u, v ) ,⎪ z = z ( u, v )⎩( u, v ) ∈ M ⊂2производные, M - компакт2; все функции x ( u, v ) , y ( u, v ) , z ( u, v ) и их частные∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z, , , , , ∈⊂ ( M ) непрерывны на M , то∂u ∂v ∂u ∂v ∂u dvдифференциалом ds поверхности S будем называть выражение вида:ds = e1 × e2 dudv ,∂x ∂y ∂z ⎞⎛ ∂x ∂y ∂z ⎞, , ⎟ , e2 = ⎜ , , ⎟ .⎝ ∂u ∂u ∂u ⎠⎝ ∂v ∂v ∂v ⎠где e1 = ⎛⎜В частности, если поверхность задана явным уравнением z = f ( x, y ) , то22⎛ df ⎞ ⎛ ∂f ⎞ds = 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dxdy .⎝ dx ⎠ ⎝ ∂y ⎠Для того чтобы поверхность была невырожденной, необходимо потребовать,чтобы e1 × e2 = 0, ∀ ( u, v ) ∈ M .
Пусть, кроме того, функция ϕ ( x, y, z ) быланепрерывной в некоторой области D ⊂3, содержащей поверхность S .Определение. Криволинейным интегралом 1ого рода от функции ϕ ( x, y, z ) поповерхности S назовем следующий интеграл:∫∫ ϕ ( x, y, z ) ds := ∫∫ ϕ ( x ( u, v ) , y ( u, v ) , z ( u, v ) ) dsSMВ частности, если ϕ ( x, y, z ) ≡ 1 , то∫∫ ds = s- площадь поверхности S .SПример. Вычислить поверхностный интеграл 1ого рода:28I=∫∫∫x 2 dsx2 + y 2 + z 2 = R 2Решение: Запишем уравнение сферы в сферических координатах:x = R ⋅ cos ϕ ⋅ cos θy = R ⋅ cos ϕ ⋅ sin θz = R ⋅ sin ϕ0 ≤ θ ≤ 2π ; −π2≤ϕ ≤π2Тогда дифференциал поверхности ds равен:ds = R 2 ⋅ cos ϕ ⋅ dϕ ⋅ dθи интеграл I можно представить в виде:2πI=π2∫ dθ ∫π R0−π2π2⋅ cos ϕ ⋅ cos θ ⋅ R ⋅ cos ϕ ⋅ dϕ = R ⋅ ∫ cos θ dθ ⋅2224202∫π cos−2343ϕ ⋅ dϕ = ⋅ π R 42Пусть задана связная гладкая поверхность S. Тогда в каждой точкеповерхность однозначно с точностью до знака определяет нормальn =±[e1 × e2 ]e1 × e2Рассмотрим произвольную замкнутую кривую L ⊂ S на поверхности S.Пусть некоторой точке на L выбрана нормальn .
Будем непрерывно изменять положениеточки на L. Когда нормаль вернется висходную точку, то она либо совпадет понаправлению с исходным положением, либоизменится на противоположную.Определение. Поверхность называетсядвухсторонней, если при движении нормали по любой замкнутой кривой,лежащей на поверхности, при возвращении в исходную точку нормальсохранит свое направление.Следовательно, для двухсторонних связных поверхностей, задав положениенормали в одной точке, мы однозначно определяем положение нормали влюбой другой точке.29Поэтому можно говорить, что на поверхности определены две стороны S + иS − в зависимости от выбора нормали n+ или n− .Замечание. Существуют односторонние поверхности (лист Мёбиуса).Пусть теперь в некоторой области D ⊂3, содержащей двухсторонююповерхность S , задана вектор-функция F = ( P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )) ,где P, Q, R - непрерывные функции в D .Определение. Поверхностным интегралом 2-го рода от вектор функции Fпо выбранной стороне поверхности S + называется интеграл вида:∫∫ F ⋅ dS := ∫∫ ( F ⋅ n )dS ,+S+Sгде ( F ⋅ n+ ) - скалярное произведение векторов F и n+ .Этот интеграл называют потоком вектор-функции F через заданную сторонуповерхности S + .Так как n+ = −n− , то из определения поверхностного интеграла 2ого родаследует важное свойство:∫∫ F d SS+Если n + == − ∫∫ F d SS−[e1 × e2 ] , тоe1 × e2∫∫ F dS = ∫∫S+F ⋅ e1 ⋅ e 2 dudv ,M⎛⎜P⎜∂xгде F ⋅ e1 ⋅ e2 = det⎜⎜ ∂u⎜ ∂x⎜⎝ ∂vQ∂y∂u∂y∂v⎞R⎟⎟∂z ⎟– смешанное произведение векторов F , e1 и e2 .∂u ⎟∂z ⎟⎟∂v ⎠Пример.
Найти поток вектораF = ( x, y, z )через внешнюю сторону поверхностисферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2Решение. Так как внешняя нормаль к поверхности сферы имеет видn+ =(x, y, z ) , тоR30(F ⋅ n + ) = x2+ y2 + z2= R и следовательно,R∫∫ FdS = ∫∫ RdS = 4πR .3S+SФормула Грина.Пусть D ⊂2– область на плоскости содержащая замкнутую кусочно-гладкую кривую L без самопересечений;M – компакт, M ⊂ D и граница ∂M = L ; F = (P, Q ) - вектор - функция такая,что P = P( x, y ) , Q = Q( x, y ) ,∂P ∂Q∈ C (D ) непрерывны в D.,∂y ∂xОбозначим L+ направление обхода компакта М, при котором внутренняяобласть М остаётся слева.Тогда имеет место формула Грина:⎛ ∂Q∂P ⎞∫ Pdx + Qdy = ∫∫ ⎜⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎟⎠dxdyL+(символM∫L+означает интегрирование по замкнутой кривой L+ в указанномвыше направлении).31yDML+0xДоказательство.
Рассмотрим несколько случаев. Пусть M – естькриволинейная трапеция:a≤ x≤b⎧M = ⎨( x, y ) :y1 ( x) ≤ y ≤ y2 ( x)⎩yy=y2(x)My=y1(x)0abxи функции y1 ( x) , y2 ( x) ∈ C [a, b] непрерывны на [a, b] и Q( x, y ) ≡ 0 .Разобьем границу L компакта M на четыре гладкие кривые:32a≤ x≤b⎧L1 = ⎨( x, y ) :y = y1 ( x)⎩x=b⎧L2 = ⎨( x, y ) :y1 (b) ≤ y ≤ y2 (b)⎩a≤ x≤b⎧L3 = ⎨( x, y ) :y = y2 ( x )⎩x=a⎧L4 = ⎨( x, y ) :y1 (a ) ≤ y ≤ y2 (a )⎩Тогда представим интеграл по замкнутой кривой L в виде суммы четырехинтегралов:∫ Fd r = ∫ Fd r + ∫ Fd r + ∫ Fd r + ∫ Fd rL 1+L+L +2L 3+L +4yxL3+MxL4+xL2+xL1+0xxxВычисляя каждый из четырех интегралов, получим равенства:∫L 1+bPdx = ∫ P( x, y1 ( x))dxa∫ Pdx = ∫ Pdx = 0L +2L +4ab∫ Pdx = ∫ P( x, y ( x))dx = − ∫ P( x, y ( x))dx2L 3+b2a33b∫ Pdx = ∫ ( P( x, y ( x)) − P( x, y ( x))dx1L2aС другой стороны, вычисляя двойной интеграл с помощью повторного,получим равенство:y2 ( x )bbδPδP∫∫M δ y dxdy = ∫a dx y ∫( x ) δ y dy = ∫a ( P( x, y2 ( x)) − P( x, y1 ( x)))dx1Следовательно, доказано равенство:∂P∫ Pdx = − ∫∫ ∂y dxdyL+MАналогично, рассматривая криволинейную трапецию видаdx=x1(y)x=x2(y)Mcc≤ y≤d⎧,M = ⎨ ( x, y ) :x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y )⎩где x1 ( y ), x2 ( y ) ∈ C [ c, d ] - непрерывные функции на [ c, d ] .Кроме того, предполагая, что P ( x, y ) ≡ 0 , получаем равенство:∂Q∫ Qdy = ∫∫ ∂x dxdyL+MЕсли компакт M есть прямоугольник,a≤ x≤b⎧,M = ⎨ ( x, y ) :c≤ y≤d⎩то из доказанного выше следует, что⎛ ∂Q∂P ⎞∫ Pdx + Qdy = ∫∫ ⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎠ dxdy ,L+M34что и доказывает формулу Грина для прямоугольника.В общем случае, разбивая компакт M на компакты, для каждого из которыхформула Грина справедлива, получаем, что формула Грина верна и для M .M1M3M2Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования водносвязной области на плоскости.Выше был рассмотрен пример работы в гравитационном поле F = −crr3При этом было замечено, что эта работа при перемещении точечной массы източки А в точку В вдоль любого пути не проходящего через началокоординат равна разности потенциалов U(B) – U(A), где U =c, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
