makarov_sem4 (1111780)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ОглавлениеДвойные интегралы.....................................................................................................................................1Сведение двойного интеграла к повторному.......................................................................................5Вычисление двойных интегралов..........................................................................................................6Замена переменных............................................................................................................................6Площадь круга ...................................................................................................................................9Интеграл Пуассона (интеграл вероятности)....................................................................................9Тройные интегралы...................................................................................................................................10Определение объема компакта:...........................................................................................................10Вычисление тройных интегралов........................................................................................................11Замена переменных..........................................................................................................................11Криволинейные интегралы.......................................................................................................................13Криволинейные интегралы второго типа...........................................................................................15Связь между криволинейными интегралами 1 и 2 рода....................................................................16Формула Грина...........................................................................................................................................17Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования в односвязнойобласти на плоскости............................................................................................................................19Площадь поверхности...............................................................................................................................20Поверхностные интегралы........................................................................................................................25Поверхностные интегралы первого рода:...........................................................................................25Поверхностные интегралы второго рода:...........................................................................................25Формула Гаусса-Остроградского.............................................................................................................26Формула Стокса.........................................................................................................................................29Потенциальные, соленоидальные и гармонические поля......................................................................31Потенциальное поле..............................................................................................................................31Соленоидальное поле............................................................................................................................32Гармоническое поле..............................................................................................................................33Кратные интегралыДвойные интегралыОпр: множество К ⊂ Rn называется компактом, если К- ограничено и замкнуто, т.е.

лежит вограниченном объеме и содержит все свои предельные точки.Пример: отрезок, квадрат вместе с границей, окружность и эллипс вместе с границами.Опр: множество D ⊂ Rn называется связным, если не выполняется следующее свойство:∃ D1 , D2 – открытые непустые множества: D1 ∩ D ≠ Ø, : D2 ∩ D ≠ Ø , D ⊂ D1 ∪ D2, D1 ∩ D2 =Øрис.1 несвязное множество DПример связного множества: связный компакт на прямой– отрезок, связные компакты наплоскости– квадрат и круг с границами.Свойства компактов К1 и К2:1. К1 ∪ К2 также является компактом.2.

К1 ∩ К2 –компакт1Площадь компакта Крис.2Пусть К ⊂ Pn , где Pn–многоугольник; либо совокупность многоугольников, если К состоит изнескольких несвязных частей. Площадь многоугольника Pn можно найти сложением площадейсоставляющих его треугольников (рис. 2): Sn= ∑ S ∆ .Определение: площадью S(K) компакта K называется : S(K)=inf S(Pn).Эта нижняя граница всегда существует, т.к. площадь– величина неотрицательная и ограниченаснизу нулем.Свойства S(K):1. S(K) ≥ 02. S(К1 ∩ К2 )=0 ⇒ S(К1 ∪ К2 )= S(K1) + S(K2)Примеры:График непрерывной функции y = f(x) ∈ С[a,b]:∈1. K = {(x,y): x[a,b] ; y = f(x)}; докажем, что S(K) = 0.рис.3Делим отрезок [a,b] на n равных частей, пусть mi = minf(x);∆ib− anf(x) равномерно непрерывна на [a,b] (теорема Кантора) ⇒∀ ε > 0 ∃ n0 ∀ n ≥ n0: Mi - mi< ε .Рассмотрим K ⊂ Pn :Mi = maxf(x);∆inS (Pn)=∑i= 1( M i − mi ) i <∆i =n∑i= 1nε ⋅ ∆ i = ε ∑ ∆ i = ε (b − a ) → 0 при ε → 0i= 1Следовательно, S(K)=0.2.

f(x) ∈ C[a,b]; f(x)>0; K={(x,y): x ∈ [a,b] ;0 ≤ y ≤ f(x)}; Площадь под кривой y = f(x), x ∈[a,b] .bДокажем, что S(K) =∫f ( x)dxa2рис.4Mi = maxf(x)∆inS (Pn)=∑i= 1bMi i →∫f ( x)dx (интеграл существует, т.к. всякая непрерывная функцияaинтегрируема).на рис.5 изображен компакт К.Дадим определение ∫ ∫ f ( x, y )dxdy :KЗададим разбиение Т компакта К:nТ –разбиение компакта К: {K =  K i ; Ki: S(Кi ∩ Кj) = 0, i ≠ j}i= 1Выбираем некоторую точку Р( ε i ,η i ), принадлежащую компакту Кi , i = 1,..., n и зададиминтегральную суммуnS (T)=∑i= 1f (ε i ,η i ) S ( K i ) ,Обозначим: d(Ki)=max( ( x ′ , y ′ ), ( x ′′ , y ′′ ) , ( x ′ , y ′ ) ∈ K i ; ( x ′′ , y ′′ ) ∈ K i ),где ( x ′ , y ′ ), ( x ′′ , y ′′ ) =( x ′ − x ′′ ) 2 + ( y ′ − y ′′ ) 2 -расстояние и диаметр разбиения: d(T) = max i di .Определение: Двойным интегралом от ограниченной функции f(x,y) по компакту К называется:∫ ∫ f ( x, y)dxdy = lim S (T ) , если такой предел существует.d (T ) → 0KЕсли такого предела не существует то функция неинтегрируема (например, функция Дирихле,D(x,y), которая в рациональных точках принимает значение 1, а в иррациональных точкахзначение ноль).Свойства двойного интеграла (1-5)1.

∫ ∫ f ( x, y )dxdy = S(K), если f(x,y) ≡ 1K2. S(K) = 0 ⇒3.∫∫Kf ( x, y )dxdy =0, где f- любая ограниченная функция∫ ∫ (λ f ( x, y) + µ g ( x, y ))dxdy = λ ∫ ∫K4.S(К1 ∩ К2 )=0 ⇒K∫∫f ( x, y )dxdy + µf ( x, y )dxdy =K1 ∪ K 25.m ≤ f(x,y) ≤ M ⇒ mS(K) ≤∫∫K1∫∫KKf ( x, y )dxdy + ∫ ∫ f ( x, y )dxdyK2f ( x, y )dxdy ≤ MS(K)6.

Если К- связный компакт и f(x,y) ∈ C(K), то∫∫∫ ∫ g ( x, y)dxdyf ( x, y )dxdyKдоказательство свойств 1-5:3∃ (ξ 0 ,η 0 ) ∈ K : f (ξ 0 ,η 0 ) ⋅ S ( K ) =1.f ( x, y )dxdy = lim S (T )∫∫d (T ) → 0Kn∑S (Т)=i= 1S (Ki ) = S (K ) ⇒∫∫Kf ( x, y )dxdy =S(K)2. S(K)=0, следовательно, для любого разбиения Т: S(Ki)=0 , i = 1,2,...nnS (Т)=f (ξ i ,η i ) S ( K i ) = 0 ⇒∑i= 1n3. S (Т)=∑i= 1→ λ∫∫Kn∫∫K1f ( x, y )dxdy =lim S (T ) = 0d (T ) → 0K[λ f (ξ i ,η i ) S ( K i ) + µ g (ξ i ,η i ) S ( K i )] = λ S(T,f) + µ S(T,g)f ( x, y )dxdy + µ4. S (Т)=∫∫∑Ki∈ K2∫ ∫ g ( x, y)dxdy .Kf (ξ i ,η i ) S ( K i ) +n∑K j ∈ K2f (ξ i ,η i ) S ( K j ) +n∑f (ξ it ,η tt ) S ( K t ) →K t ⊂ K1 ∩ K 2f ( x, y )dxdy + ∫ ∫ f ( x, y )dxdyK25.

m ≤ f(x,y) ≤ MnS (Т)=∑i= 1f (ξ i ,η i ) S ( K i )mS(K)=m ∑ S ( K i ) ≤ S (T ) ≤ M ∑ S ( K i ) =MS(K)mS(K) ≤6. m ≤∫∫∫∫Kf ( x, y )dxdy ≤ MS(K)fdxdy≤ M , где функция f определена на связном компакте и принимает всеS (K )значения между M и m.∫K∫ fdxdy⇒ ∃ (ξ 0 ,η 0 ) ∈ K ⇒ f (ξ 0 ,η 0 ) =S (K )Геометрический смысл двойного интеграла функции f(x,y) на компакте К: (f(x,y)>0)V= ∫ ∫ f ( x, y )dxdy – объем цилиндроида, изображенного на рис.6KKрис.6Теорема без (док-ва): Если f(x,y)-непрерывна на К, то существует∫∫Kf ( x, y )dxdy .Теорема: Если К = К1 ∪ К2 и S(K2)=0, то можно отбросить К2, т.к. S(K2)=0⇒ ∫ ∫ f ( x, y )dxdy = ∫ ∫ f ( x, y )dxdyKK14Сведение двойного интеграла к повторномуK= { ( x, y ) : x ∈ [a, b], y ∈ [ϕ 1 ( x), ϕ 2 ( x)] }Если ϕ 1 ( x), ϕ 2 ( x) ∈ C[ a, b] ; f(x,y) ∈ C(K), то:∫∫Kbϕ 2 ( x)aϕ 1 ( x)f ( x, y )dxdy = dx∫∫f ( x, y )dyДоказательство:Рассмотрим частный случай области интегрирования– прямоугольник D (изображен нарис.7 и разбит на прямоугольники Кij).рис.7Интегрирование функции f по ординате осуществляется при постоянном x:dF(x) =∫f ( x, y )dycПокажем, что ∫ ∫bf ( x, y )dxdy =D∫ F ( x)dx .aРазобьем стороны большого прямоугольника D на мелкие отрезки:δ j = [ y j − 1 , y j ], j = 1,...n∆ i = [ xi − 1 , xi ], i = 1,2,...nТогда, тогда прямоугольник D разобьется на маленькие прямоугольники Kij={(x,y):x∈ ∆ i, y ∈ δ j }(b − a )(d − c)→ 0 , при измельчении разбиения сторон (m, n → + ∞ ).S(Kij) =nmb− ad− c∆i =δj =nmS (Т)=∑i, jnf (ξ i ,η j ) S ( K ij ) = ∑m∑i= 1 j= 1nmi= 1j= 1f (ξ i ,η j ) ∆ i δ j = ∑ ∆ i (∑ f (ξ i ,η i ) δ j ) ≈Фиксируем ξ i : S(T)= ∑ F (ξ i ) ∆ i →b∫ F ( x)dx .aИз непрерывности функций (по условию) следует:m ≤ f(x,y) ≤ Mc ≤ ϕ 1 ( x) < ϕ 2 ( x ) ≤ d5n∑i= 1d∆ i ( ∫ f (ξ i , y )dy )cрис.8Введем новую функцию f1(x,y) f ( x, y ), ( x, y ) ∈ Df 1 ( x, y ) =  0, ( x, y ) ∉ D∫∫Kf ( x, y )dxdy =∫∫f1 ( x, y )dxdy =D,bгде D–прямоугольник:d∫ dx ∫acbϕ 2 ( x)aϕ 1 ( x)f 1 ( x, y )dy = ∫ dx∫{ ( x, y ) : a ≤x ≤ b, c ≤ y ≤ d}f ( x, y )dyРассмотрим другой случай криволинейной трапеции:рис.9Значение интеграла не меняется при вычислении в другом порядке.∫∫Ddψ 2 ( y)f ( x, y )dxdy = dy∫c∫f ( x, y )dx .ψ 1( y)Следствие: пусть область интегрирования D – прямоугольник, а функция f(x,y)представима в виде f(x,y)=h(x) g(y) , тогдаb d  ∫ g ( y )dy h(x)g(y)dxdy=h(x)dx∫D∫∫a cДоказательство:dbdb d  ∫ g ( y )dy dxh(x)g(y)dyh(x)dxg(y)dyh(x)dx=∫= ∫∫a ∫c∫aca cГде h(x) выносим как константу в первом интеграле.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций