makarov_sem4 (1111780), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

В результатепоследовательного фиксирования v и u получим координатную сетку на S.  ± (e1 × e2 )n=  (2)| e1 × e2 | Если e1 × e2 = 0 , то поверхность S – вырождена.Перепишем уравнение (1), учитывая (2):S=∫∫ e1 × e2 dudvD Дифференциалповерхности = dS Модуль векторного произведения e1 × e2 можно представить так:23   e1 × e2 = e1 ⋅ e2 ⋅ sin γ = e1 ⋅ e2 ⋅ 1 − cos 2 γ ==(  e12 e22 − e12 e22 cos γ)2 e12 e22 − ( e1e2 ) 2=Пусть z = f ( x, y ) и x = u . Тогда уравнения для e1 и e2 будут выглядеть так: e1 = e2 =∂f  1, 0, ∂x∂f  0, 1, ∂x и e1 × e2 =22 ∂f ∂f ∂f  ∂f  −  1+ ⋅  1 +∂x ∂y ∂x ∂y=22=2 КАК ?!! ∂f  ∂f 1+  +   . ∂x ∂yПРИМЕРЫ:1) Площадь боковой поверхности цилиндра. x = R cos u y = R sin u r = vzиe1 = ( − R sin u , R cos u , 0)e2 = ( 0, 0, 1)yHRxТогда: e12 = R 2 ⇒ (e1 , e2 ) = 0 S = e22 = 12π RH .2πH00∫ du ∫ Rdv =2) Площадь сферы. x = R sin ϕ cos θ y = R sin ϕ sin θ , где z = R cos ϕzy0≤ ϕ ≤ πR0 ≤ θ ≤ 2π ,e1 × e2 = R 2 sin ϕ , поэтомуxS=2π∫024πdθ ∫ R 2 sin ϕ dϕ = = 2π ⋅ 2 R 2 = 4π R 20.Поверхностные интегралыПоверхностные интегралы первого рода:∫∫∫∫f ( x, y, z )dS =S f | e1 × e2 | dudvD  .Если поверхность заданапараметрически x = x(u , v)S =  y = y (u , v) – невырожденная поверхность. z = z (u , v)f = 1 ⇒ ∫ ∫ dS = SЕсли.SПоверхностные интегралы второго рода:Пусть есть вектор функция F ( P, Q, R ) .

Выберем положительную нормаль: e ×en + = 1 2 , тогдаe1 × e2∫∫S+    FdS = ∫ ∫ F ⋅ [ e1 × e2 ] dudv =  S  смешанное  произведение P  ∂x< F , e1 , e2 > =∂u∂x∂vz=f(x,y)Если S такова, что, тогда:x= uP⇒ 1y= v z = f (u , v )0Q01  <F∫ ∫ , e1 , e2 > dudv , гдеDQ∂y∂u∂y∂vR∂z.∂u∂z∂vR∂f∂f∂f= −P−Q+ R .

Таким образом, получаем:∂x∂x∂y∂f∂y∫ ∫ FdS = ± ∫ ∫  R −S+PD∂f∂f − Q  dxdy∂x∂yПРИМЕР: F = r = ( x, y , z ) .Уравнение поверхности сферы: S = x 2 + y 2 + z 2 = R 2 . Зададим сферические координаты: x = R sin ϕ cos θ y = R sin ϕ sin θ . Тогда z = R sin ϕ ∫ ∫ r dS =S2π∫0πdθ ∫ I dϕ , где250R sin ϕ cos θI = R cos ϕ cos θ− R sin ϕ sin θ[= R [sin ϕ sinR sin ϕ sin θR cos ϕ sin θR sin ϕ cos θR cos θ− R sin ϕ =0]= R 3 sin ϕ sin θ (sin 2 ϕ sin θ + cos 2 ϕ sin θ ) + sin ϕ cos θ (sin 2 ϕ cos θ + cos 2 ϕ cos θ ) =32]θ + sin ϕ cos 2 θ = R 3 sin ϕ .Следовательно, поверхностный интеграл запишется, как:∫ ∫ r dS =S2π∫0πdθ ∫ R 3 sin ϕ dϕ = 4π R 3 = 3V R .0Формула Гаусса-ОстроградскогоФормула Гаусса-Остроградского является одной из наиболее важных формул в векторноманализе.

Она связывает поток векторного поля через замкнутую поверхность снапряженностью векторного поля внутри замкнутой поверхности. Для векотрного поля→F = ( P; Q; R ) :∫∫→→Fd s =Sвнеш ∂P∂Q∂R dxdydz ,++∂x∂y∂ z ∫∫∫ Vпричем поверхностный интеграл потока векторного поля берется по поверхности черезвнешнюю сторону (вектор нормали к поверхности направлен «наружу»). Правую часть формулыможно переписать в виде:→→→→ ∂P ∂Q ∂R∂P ∂Q ∂R dxdydz =++div F dxdydz =∇ F dxdydz , где div F = ∇ F = + +–∂x∂y∂z∂x∂y∂zVVV∫∫∫∫∫∫∫∫∫∂ → ∂ → ∂ →∇=ex +ey +e z – оператор Гамильтона (набла).дивергенция векторного поля F ,∂x∂y∂zФормула Гаусса-Остроградского справедлива, если выполняются два условия.

Во-первых,поверхность S должна быть кусочно-гладкой, т.е. такой, что в любой ее точке можно провестикасательную плоскость (поверхность задается дифференцируемыми функциями) и двусторонней(направление нормали при движении вдоль поверхности сохраняется. Во-вторых, векторное поле→F = ( P; Q; R ) должно быть таким, что функции P = P ( x, y, z ) , Q = Q( x, y, z ) , R = R( x, y, z ) и ихчастные производные по x, y и z непрерывны в области V.Другие варианты формулы Гаусса-Остроградского.→Запишем выражение для вектора нормали: n = ( cosα ; cos β ; cos γ ) , где α , β , γ – углы,→n+zγкоторые вектор нормали составляет с осями координат.→y d s = n ds .→βαОтсюдаx∫∫ ( P cos α+ Q cos β + R cos γ ) ds =S→∫∫∫ div F dxdydzVКроме того, имеет место следующая формула:∫∫ ( Pdydz + Qdzdx +SДоказательство формулы (1 вариант):26Rdxdy ) =→∫∫∫ div F dxdydzV→→∫∫ ( F ⋅ nвнеш ∂P∫∫∫  ∂ x +)d s =S внешV→→→∂Q ∂R  dxdydz+∂y∂ z Представим векторное поле в виде суммы→→→→векторных полей: F = F 1 + F 2 + F 3 , где F 1 = ( 0,0, R ) , F 2 = ( 0, Q,0 ) , F 3 = ( P,0,0 ) , найдем потоки этихвекторных полей по отдельности, а затем сложим их.→Рассмотрим сначала случай поля F 1 .

Замкнутая поверхность является цилиндроидом,ограниченным сверху и снизу поверхностями, заданными в явном виде: z = z1 ( x, y ) (снизу) иzz = z 2 ( x, y ) (сверху). Поверхность S состоит изнижней S1, боковой S2 и верхней S3 поверхностей.Рассмотрим поверхностный интеграл по S1. D –проекция S1 на плоскость xy.S3z=z2(x,y)S2yDxS1z=z1(x,y)Координаты ∂ z1 ∂ z1;;− 1 ∂x ∂y→n= ±вектора2 ∂ z1 ∂ z1 1+  +  ∂x  ∂y2нормали:.Так как вектор нормали направлен вниз (координата по z отрицательна), то в формуле для n→нужно выбрать знак «+».→→F 1 ⋅ n = ( 0,0, R ) ⋅ n = −R ( x, y , z1 ( x, y ) )2 ∂z  ∂z 1 +  1  +  1  ∂x  ∂y 2.2Дифференциал→→∫∫ ( F ⋅ n )d s = ∫∫ −1S1Dповерхностиравен:ds =R ( x, y, z1 ( x, y ) )2 ∂z 1 +  1  +  ∂x  ∂z ∂z 1 +  1  +  1 ∂x  ∂y22 ∂z  ∂z ⋅ 1 +  1  +  1  ⋅ dxdy =2 ∂x  ∂y ∂ z1 ∂y 2 ⋅ dxdyОтсюда∫ ∫ − R( x, y, z ( x, y ) )dxdy И1D→нтеграл по боковой поверхности S2.

Вектор нормали n = ( n1 ; n2 ;0 ) , так как→нормаль параллельна плоскости xy. F1 ⋅ n = ( 0;0; R ) ⋅ n = 0 . Какая бы ни былаDбоковая поверхность, интеграл по ней равен нулю:→→∫ ∫ ( F1 ⋅ n )d s = 0S2Интеграл по поверхности S3Рассматривается аналогично интегралу поповерхности S1 с той разницей, что вектор нормали направлен в→противоположную сторону – вверх: n =27 ∂ z2 ∂ z2  −;−;1∂ y  ∂x2 ∂z ∂z 1 +  2  +  2 ∂x  ∂y2.

Скалярное→→произведение F1 на вектор нормали:22 ∂ z   ∂ z  , дифференциал поверхности:1 +  2  +  2  ∂x   ∂y 22ds =R ( x, y , z 2 ( x , y ) )→F 1⋅ n = ∂z   ∂z 1 +  2  +  2  ⋅ dxdy ∂x   ∂y →→∫∫ ( F ⋅ n )d s = ∫∫ R( x, y, z ( x, y ) ) dxdy11S3DСложим интегралы по поверхностям S1, S2 и S3: → → → → → → → →F⋅nds=F⋅nds+F⋅nds+∫S ∫  1  ∫S∫  1  ∫S∫  1  ∫S∫  F1 ⋅ n  ds =внеш123=∫ ∫ − R( x, y, z ( x, y ) )dxdy + ∫ ∫ R( x, y, z ( x, y ) ) dxdy =12DD∫ ∫ ( R( x, y, z ( x, y ) ) − R( x, y, z ( x, y ) ) )dxdy21DРассмотрим тройной интеграл по объему V:z2 ( x , y )∂R∂Rdxdydz=dxdy⋅ dz = ∫ ∫ R ( x, y, z )∫ V∫ ∫ ∂ z∫D∫∫∂zz1 ( x , y )D(Таким→образом,длявекторногоz = z2 ( x , y )z = z1 ( x , y ))dxdy = ∫ ∫ ( R( x, y, z ( x, y ) ) − R( x, y, z ( x, y ) ) )dxdy21D→F 1 = ( 0,0, R )поляформулаГаусса-Остроградского∂R→∫∫ F ⋅ d s = ∫∫∫ ∂ z dxdydz доказана.1S внешV→Аналогично доказывается формула, если взять поле F 2 , и в качестве замкнутой поверхности→взять цилиндроид, ось которого направлена вдоль оси y.

F 2 = ( 0, Q,0 )∫∫→→F2 ⋅ d s =Sвнеш∫∫∫V∂Qdxdydz (доказывается аналогично)∂y→Аналогично и для поля F 3 = ( P,0,0 ) :∫∫→→F3 ⋅ d s =S внеш→→→∂P∫∫∫ ∂ y dxdydzV→Если взять поле F = F 1 + F 2 + F 3 , то∫∫→→Fd s =Sвнеш ∂P∫∫∫  ∂ xV+∂Q ∂R  dxdydz – формула Гаусса+∂y∂ z Остроградского в общем виде верна.При доказательстве мы использовали замкнутую поверхность, которая может быть представленакак цилиндроид с осью, направленной вдоль осей x, y или z. Такойповерхностью являетсяпрямоугольныйпараллелепипед.Еслирассмотретьпроизвольную поверхность, то справедливость формулы неочевидна.Разобьем произвольную поверхность на две – S1 и S2.Проинтегрируем векторное поле по каждойповерхности и сложим.

Получатся интегралыпо S1,S2 и два интеграла по сечению. Интегралыпосечению отличаются только знаком (так каквекторы нормалей направлены в разные стороны), они уничтожаются присложении. Поэтому поверхность можно разбивать на части, интегрировать по ним, результатыскладывать.Произведем сечение замкнутой поверхности большим числомперпендикулярных плоскостей. Формула Гаусса-Остроградского28будет верна всюду, кроме границ поверхности, на границах становится справедливой приустремлении диаметра разбиения к нулю.

Отсюда следует, что формула Гаусса-Остроградскогосправедлива для любой кусочно-гладкой поверхности.Пример.→→→В качестве поля F возьмем радиус-вектор: F = r = ( x, y , z ) , S – сфера радиуса R с центром вначале координат.Для нахождения потока вектора воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского:∫∫→→rd s =Sвнеш→∫ ∫ ∫ div r dxdydz =V∫ ∫ ∫ 3dxdydz = 3V= 3Vсферы = 4π R 3VФормула Ньютона-Лейбница представляет интеграл по отрезку по значениям первообразной награницах отрезка.

Формула Гаусса-Остроградского представляет собой, по существу, то же самое(вместо отрезка – объем, вместо границ отрезка – замкнутая поверхность). Эту формулу, как иформулу Грина, можно считать обобщением формулы Ньютона-Лейбница.Формула СтоксаЭта формула, как и формула Гаусса-Остроградского, является одной из важнейших в курсе. Длятого, чтобы ее вывести, введем понятие ротора векторного поля:ijk ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P∂∂∂= −;−;−Определение. Назовем ротором величину: rotF =∂ x ∂ y ∂ z  ∂ y ∂ z ∂ z ∂ x ∂ x ∂ y P Q R[] [ ](Существует и другое обозначение ротора: rotF = ∇ × F = ∇ F = ∇ × F .

По существу, роторявляется «векторным произведением» оператора Гамильтона на вектор F в данной точкепространстве). Ротор является одной из характеристик поля.SПусть задана поверхность S, выбрано направление вектора нормали.Считаем, что поверхность гладкая, а контур Γ+ – кусочно-гладкий.Формула Стокса имеет вид:n+Γ+∫Γ+ F dr =∫∫ rotFdsS+Связь ориентации нормали n + с направлением обхода можно осуществить при помощи «правилабуравчика»: направление движения правого винта при вращении по направлению обхода Γ+указывает направление вектора нормали n + .

Характеристики

Список файлов лекций