makarov_sem4 (1111780), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Если область интегрирования Dдругая, то разбиваем ее на криволинейные трапеции и складываем в силу аддитивностиинтеграла.bВычисление двойных интеграловЗамена переменныхПри замене переменных в двойном интеграле фактически происходит некотороеотображение Ф одной двумерной области интегрирования D1 в другую D, такжедвумерную.6x = ϕ (t )При однократном интеграле на функцию ϕ накладывают условие монотонности инепрерывной дифференцируемости, чтобы замена x = ϕ (t ) была однозначной, и чтобыбыло легко переходить от одной области к другой (обратимый переход). Аналогично длядвойного интеграла при отображении Ф двумерной области D1 в двумерную D: x = x(u , v )Ф: y = y (u , v )D1 Ф → Dтакже потребуем взаимооднозначности отображения Ф.Если якобиан отображения:∂y ∂x∂u∂uI (u, v ) = det≠ 0 , тогда отображение Ф будет взаимооднозначным. ∂x∂y ∂v  ∂vЕсли x(u,v) и y(u,v) непрерывно дифференцируемы, то∫∫Df ( x, y )dxdy =∫∫f ( x(u , v), y (u , v)) I (u , v) dudvD1Дополнительный множитель I (u , v ) появляется при переходе от двух переменных x, y кдругим двум переменным u, v; и он служит коэффициентом преобразования площади.Доказательство: рассмотрим отображение Ф:A1–(x(u,v),y(u,v))B1 –(x(u,v+ ∆ v),y(u,v+ ∆ v))D1–(x(u+ ∆ u,v),y(u+ ∆ u,v))7C1–(x(u+ ∆ u,v+ ∆ v),y(u+ ∆ u,v+ ∆ v))По формуле Тейлора с точностью до первого порядка малости:∂x∂x∆u∆vx(u+ ∆ u,v) ≈ x(u , v) +x(u,v+ ∆ v) ≈ x(u , v) +∂u∂v∂y∂y∆u∆vy(u+ ∆ u,v) ≈ y (u , v) +y(u,v+ ∆ v) ≈ y (u , v) +∂u∂v∂x∂x∆u+∆vx(u+ ∆ u,v+ ∆ v) ≈ x(u , v) +∂u∂v∂y∂y∆u+∆vy(u+ ∆ u,v+ ∆ v) ≈ y (u , v) +∂u∂vA2= A1∂x∂y∆ v , y (u , v) +∆ v)B2= ( x(u, v ) +∂v∂v∂x∂x∂y∂y∆u+∆ v , y (u , v) +∆u+∆ v)C2=( x(u , v) +∂u∂v∂u∂v∂x∂y∆ u , y (u , v) +∆ u ), где A2 B2 C2 D2–параллелограмм.D2=( x(u , v ) +∂u∂uНайдем площади элементов разбиения областей D` и D:SABCD= ∆ u ∆ v (в координатах u, v)∂y ∂x∆u∆ u∂u∂u S(A1,B1,C1,D1) ≈ S(A2,B2,C2,D2)= det =I(u,v) ∆ u ∆ v (в координатах x, y) ∂x∂y∆v ∆v∂v ∂v∂x∂yA2 B2 =( ∆ v, ∆ v )∂v∂v∂x∂yA2 D2 =( ∆ u , ∆ u )∂u∂uЕсли рассмотреть небольшой участок площади (прямоугольник ABCD), тогда SABCD= ∆ u ∆vS(A1B1C1D1) ≈ I (u , v) ∆ u ∆ v, где I (u , v ) коэффициент преобразования площади (якобиан),т.к.

при преобразовании координат изменяется площадь.Отсюда следует формула замены переменных:S (d i ) ≈ ∑ f ( x (u i , vi ), y (u i , vi )) S (d i ' ) , где d , d ' –элементы соответствующих разбиений.ii∑f ( x(u i , vi ), y (u i , vi )) = I (u i , vi ) ∆ u i ∆ vi∫∫f ( x, y )dxdy =iiD∫∫f ( x(u , v), y (u , v)) I (u , v) dudvD1Если I(u,v)=0 на некоторых точках или на множествах с нулевой площадью, то интеграл отэтого не меняется.Пример: (в полярных координатах)∂x ∂ycos ϕsin ϕ x = r cos ϕ∂r ∂rI (r , ϕ ) == r=∂ x ∂ y − r sin ϕ r cos ϕ y = r sin ϕ∂ϕ ∂ϕr всегда больше нуля, кроме начала координат, где якобиан замены равен нулю.

Нельзяинтегрировать по областям, содержащим начало координат, но если таких точек конечное8множество, либо они образуют нулевую площадь, то интегрировать можно, так какинтеграл не меняется.Площадь круга 2π RS = ∫ ∫ dxdy =  ∫ dϕ   ∫ rdr  = π R 2 0 0x2 + y2 ≤ R2При линейной замене якобиан замены легко считается и равен константе:x = a1u + b1va a⇒ I = 1 2 = consty = a 2 u + b2 vb1 b2Но в параболических заменах якобиан также константа: uv = x 2 vx = y 2Площадь в три раза меньше в параболических координатах, чем в декартовых.Интеграл Пуассона (интеграл вероятности)I=+∞∫e− x2dx0Вычислим с помощью двойного интеграла.I=+∞∫e− y20RI=∫e− x2+∞dy = lim ∫ e − x dx (по определению)R→ + ∞dx , I =0lim I ( R) , IR∫0=R0lim I 2 ( R)R→ + ∞e − x dx ∫ e − y dy = ∫ ∫ e22R→ + ∞0( I ( R )) 2 =22D1− x22e − y dxdy = A( R ) , где D –квадрат, D ⊂ D1129{D2 : ( x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 2 R 2 , x ≥ 0, y ≥ 0}e− x2 − y∫∫ edxdy > 0 ⇒− x2 − y2dxdy <D1∫∫ e− x2 − y 2dxdy =В(R)D2D1 ⊂ D2 ⊂ D3− x2 − y 2dxdyC(R)= ∫ ∫ eD3A(R)<B(R)<C(R)x = r cos ϕ π2y = r sin ϕ22e − x − y dxdy =B(R)=π =  ∫ dϕ∫∫0≤ ϕ ≤0x2 + y2 ≤ 2 R22x≥ 0y≥ 00≤ r ≤ R( R2 π  e− r R  π2− r2 =1 − e− R  ∫ re dr  =  −2 0  4 0 2())2ππ1 − e− R →( R → + ∞ ) ≤ C ( R)44A(R) и C(R) имеют один предел при R → ∞ , т.к.

C ( R ) = A( 2 R ) . Следовательно,A(R) ≤∃ lim ( A( R )) = lim (C ( R)) = π ⇒ I 2 = π ⇒ I =R→ ∞R→ ∞44π⇒2+∞∫2e − x dx =0π2Тройные интегралыИнтегрирование на компакте К∫ ∫ ∫ f ( x, y, z )dxdydzKОпределение объема компакта:Разобьем многогранник Pn , содержащий К, на пирамиды. Суммируя объемы пирамид,найдем объем этого многогранника. Тогда объем заключенного компактаV ( K ) = inf V ( Pn ), K ⊂ PnV(K) ≥ 0свойство: если V(K1 ∩ K2)=0, тогда V(K1 ∪ K2)= V ( K 1 ) + V ( K 2 )Следовательно, возможно только такое разбиение компакта, при котором объем границнулевой (по аналогии с двойным интегралом). В этом случае разбиение трехмерногокомпакта осуществляется поверхностями с нулевым объемом (например, плоскостями):Т– разбиение компакта: K = K 1 ∪ K 2 ∪ ...K nдля ∀ i, j : V ( K i ∩ K j ) = 0 .dT–диаметр разбиения: ( xi , y i , z i ) ∈ K i , i = 1,..., n )nS(T)= ∑ f ( xi , y i , z i )V ( K i )i= 110∫ ∫ ∫ f ( x, y, z )dxdydz =Klim ( S (T ))d (T ) → 0Все свойства для двойных интегралов справедливы для тройных интегралов(доказательства аналогичные).

Физический смысл тройного интеграла заключается в том,что если плотность вещества задана функцией f, то масса вещества в определенномобъеме– это тройной интеграл функции f по этому объему.Вычисление тройных интеграловК– компакт-цилиндроид∫∫∫Kf ( x, y, z )dxdydz =z2 ( x , y )∫ ∫ dxdy ∫Df ( x, y, z )dz =z1 ( x , y )by2 ( x )ay1 ( x )∫ dx ∫z2 ( x , y )dy∫f ( x, y , z )dzz1 ( x , y )Если область интегрирования К– прямоугольный параллелепипед, а функция представима ввиде произведения: f(x,y,z)=f1(x)f2(y)f3(z), тогда ( x, y , z ) : a ≤ x ≤ bK = c ≤ y ≤ de ≤ z ≤ g∫∫∫Kbdgacef ( x, y, z )dxdydz = f ( x)dx f ( y )dy f ( z )dz∫ 1∫ 2∫ 3Замена переменныхАналогично двукратному интегралу, отображение должно быть взаимооднозначным и,следовательно, якобиан11∂z  ∂x ∂y∂u  ∂u ∂u ∂x ∂y∂z I (u, v ) = det  ≠ 0∂v  ∂v ∂v∂z  ∂x ∂y ∂w ∂w ∂w∫ ∫ ∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ ∫ ∫ f ( x(u, v, w), y(u, v, w), z (u, v, w)) I dudvdwKK'Пример 1: (цилиндрические координаты)x x = r cos ϕ( x, y , z ) → ( r , ϕ , z ) y ⇒  y = r sin ϕzz= zϕI(r, ,z)=rПример 2: (сферические координаты)r≥ 0 x = r sin ϕ cos Θ0 ≤ Θ ≤ 2πФормулы связи:  y = r sin ϕ sin Θ z = r cos ϕ0≤ ϕ ≤ π2πVшара=πR∫ ∫ ∫ dxdydz = ∫ dΘ ∫ dϕ ∫ r222x +y +z ≤R20002I= r 2 sin ϕ (якобиан замены)2ππR000sin ϕ dr = ∫ dΘ ∫ sin ϕ dϕ ∫ r 2 dr =4 3πR3Пример 3:Плоская область D ∈ XOZ, вращаем ее вокруг оси Oz в цилиндрических координатах.Объем тела вращения:2πV= ∫ dϕ0∫ ∫ rdzdr =D2π∫ ∫ rdrdzDMz= ∫ ∫ rdrdz (статический момент инерции области В относительно оси Oz)DMz=S(D)rc, где rc – расстояние от центра тяжести D (плотность области D равна 1).V= 2π rc S ( D)Таким образом, объем тела вращения области D вокруг неподвижной оси z равенпроизведению S(D) на длину окружности, описанной центром тяжести области D.Пример 4: (тор)12b>aVтора= 2π bπ a 2 = 2π 2 a 2 b , где rc=b.Криволинейные интегралы.Выделяют два типа интегралов: первого и второго рода.Рассмотрим криволинейный интеграл первого рода.Пусть требуется найти длину кривой на плоскости, определенной уравнением y=y(x).Как было доказано во втором семестре:y|L|=∫dlтак как y = y(x), тоdl = 1 + ( y ′ ( x )) 2 dxL y = y (t ), x = x(t )dl =( x ′ (t )) 2 + ( y ′ (t )) 2 dtxКривая y=y(x) имеет конечную длину, если y ( x) ∈ C[a, b]Пример непрерывной кривой, не имеющей конечной длины: 0, x = 0y= ,где x ∈ [ 0,1]1xsin,x≠0xКривая является синусоидой, заключенной между двумяпрямыми y = x и y = − x .1Для функции x sin , x ≠ 0 условие непрерывности y ′ (x )xв точке х=01нарушается.

Кривая, заданная уравнением: y = x sin неxимеет конечной длины (доказать самостоятельно)Опр. По определению, криволинейным интегралом первого (I-го) рода на плоскости называется:a x = x(t )22fdl=∫L∫b f ( x(t ), y(t )) ( x′ (t )) + ( y ′ (t )) dt ,где L – кривая, заданная уравнениями  y = y(t ) .Докажем корректность определения:13Сделаем замену:( x(t (u ))) u/ =( y(t (u )) ) u/ =xt/ ⋅ t u/y ⋅t/t/ut = t (u ),где α ≤ u ≤ βt ′ (u ) ∈ c[ a, b]иt (α ) = at (β ) = b//,где t u > 0 и dt = t u ⋅ du ,////тогда xu = xt ⋅ t u ⇒ xt =xu/y u//y=,аналогичноиtt u/t u/22β xu/  y u/  /fdl=f(x(t(u)),y(t(u)))⋅+tdu=f ( x(t (u )), y (t (u ))) ⋅ ( xu/ ) 2 + ( y u/ ) 2 du ,∫L∫a∫ t/  t/  u u  u αКак видно из полученного выражения, определение не зависит от выбора параметра.bОпр. Кривая ( K ) = ( AB) , заданная параметрическимиуравнениями x = ϕ ( t ) и y = ψ ( t ) называется гладкой, еслифункции ϕ и ψ имеют непрерывные производные, необращающиеся одновременно в нуль.Опр.

Кусочнонепрерывной (кусочногладкой) кривойназывается кривая, которая является непрерывной исостоит из нескольких гладких кривых.Свойства кусочнонепрерывной кривой (бездоказательства):10 ∫ =L20∫+ ∫+ ∫+ ∫L1∫ (c1LL2L3L4f + c 2 g )dl = c1 ∫ f 1 dl + c 2 ∫ f 2 dl (свойство аддитивности)LLАналогично кривая L ⊂ ℜ 3 задается системой: x = x(t )L :  y = y (t )это уравнение кусочнонеперывной кривой z = z (t )Кривую L будем называть кривой по пути АВ, т.е. началокривой в точке А и конец в точке В.LАВЗаметим, что криволинейный интеграл первого рода не завистит от того, в каком направлении мыинтегрируем по прямой от A → B ,или от B → A .Опр. Интеграл ∫ f ( x, y, z )dL =Lb∫f ( x(t ), y (t ), z (t )) ( x ′ (t )) 2 + ( y ′ (t )) 2 + ( z ′ (t )) 2 dt называетсяaкриволинейным интегралом первого рода по кривой в пространстве ℜ 3 .14Криволинейные интегралы второго типа.Для начала, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, интеграл второго рода будемрассматривать на плоскости (в ℜ 2 ).  bКриволинейным интегралом второго рода называется ∫ Fdr : ∫ ( Px ′ + Qy ′ )dt ,L+aгде F = ( P, Q) и L+ = AB , dr = (dx, dy ) .Точки А и В имеют координатыА(x(a),y(a)) и B(x(b),y(b)) соответственно.L+ означает, что выбрано положительноенаправление движения по кривой, т.е.

то направление, прикотором интегралот А до В имеет положительное значение.Обозначим r = ( x, y ) - радиус вектор и x = x(t )L+ :  y = y (t )Работа по перемещению тела из точки А в точку Вв поле F выражается интегралом: A = ∫ FdrL+в этом и есть физический смысл интеграла.Докажем корректность определения: t (α ) = aДелаем замену t=t(u) и , t(β ) = bxu/ / y u/, y t = / и P зависит от x,y, которые, соответственно, зависят от u, а значит интегралt u/tuможно представить в виде:β  β  xu/y u/  /Fdr=P+Qtdu=Pxu/ + Qy u/ du/  u∫L∫α  t u/∫tu α+т.е.

Характеристики

Список файлов лекций