makarov_sem4 (1111780), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Другой способ: если смотреть из конца вектора n + , тообход Γ+ будет осуществляться против часовой стрелки. Перепишем формулу Стокса в другомвиде: (Pdx+Qdy+Rdz)=rotF⋅ n + ds∫∫∫(Γ+)SЛевая часть – это криволинейный интеграл второго типа, а правая – поверхностный интегралпервого рода.Формула Стокса доказывается в предположении, что функции P, Q и R – непрерывнодифференцируемы, поверхность, как уже было сказано, гладкая, контур – кусочно-гладкий.  Представим поле в виде суммы: F = F1 + F2 + F3 ; F1 = ( P;0;0 ) ; F2 = ( 0; Q;0 ) ; F3 = ( 0;0; R ) . Доказательство проведем для каждого из полей F1 , F2 и F3 по отдельности.29  ∂P ∂P . Будем считать, что поверхность S задается системойРотор поля F1 : rotF1 =  0; ;− ∂z ∂y  x = x( u , v ) ,уравнений: S :  y = y ( u , v ) ,Обходконтура∂D+ z = z ( u , v ).осуществляется против часовой стрелки – область Dслева от контура.∂P∂zy u′y v′0Правая часть формулы: ∫ ∫ rotF ds = ∫ ∫1SЛевая часть -∫ Pdx = ∫Γ+∂ D+∫D F1 dr =∫ Pdx ,Γ+∂x  ∂x P du + P dv  =∂u∂v ∂ D+ ∂P∂yz u′ dudvz v′в пространстве переменных u,v будет иметь вид:Γ+∂x  ∂xPdu +du  =∂u  ∂u∫xu′xv′−∂x  ∂x P du + P dv  .∂u∂v ∂ D+ ∫ ∂ ∂x∫ ∫  ∂ u  P ∂ v  −DостаетсяОтсюдапоформулеГрина∂  ∂x  P   dudv =∂ v  ∂ u   ∂P ∂x∂ x ∂P ∂x∂ 2x  ∂P ∂x ∂P ∂x⋅+P−⋅−P∫D∫  ∂ u ∂ v ∂ u∂ v ∂ v ∂ u ∂ u∂ v  dudv = ∫D∫  ∂ u ⋅ ∂ v − ∂ v ⋅ ∂ u  dudvВычислимпроизводныепоuиv. ∂ P ∂x ∂ P ∂y ∂P ∂z  ∂x  ∂P ∂ x ∂ P ∂y ∂P ∂ z  ∂ x ∂P ∂x ∂P ∂x∫D∫  ∂ u ⋅ ∂ v − ∂ v ⋅ ∂ u  dudv = ∫D∫   ∂ x ⋅ ∂ u + ∂ y ⋅ ∂ u + ∂ z ⋅ ∂ u  ∂ v −  ∂ x ⋅ ∂ v + ∂ y ⋅ ∂ v + ∂ z ⋅ ∂ v  ∂ u  dudv =∂P∂P0−∂z∂y ∂P ∂x ∂z ∂x ∂z  ∂P ∂x ∂y ∂x ∂y′′′⋅−⋅−⋅−⋅dudv=xyzu dudv∫D∫  ∂ z  ∂ v ∂ u ∂ u ∂ v  ∂ y  ∂ u ∂ v ∂ u ∂ v  ∫D∫ u ux v′ y v′z v′2=Совершенно аналогично выглядит доказательство для полей F2 и F3 .Формула Грина является частным случаем формулы Стокса.

Рассматривается случай плоскойповерхности, вектор нормали имеет координаты n + = ( 0,0,1)  ∂Q ∂ProtF ⋅ n =−∂x ∂yИз формулы Грина вытекает следствие о независимости интеграла от пути интегрирования наплоскости. Аналогично можно вывести независимость криволинейного интеграла 2 типа от путиинтегрирования в поверхностно-односвязной области в пространстве.  Fdr=F∫ dr ?При каких условиях справедливо ∫Γ1Γ2Для справедливости этого равенства в пространстве должны выполняться следующие условия:Fdr=Fdr∫∫1.Γ12.∫Γ  2Fdr = 0Γ303.rotF = 0 (отличие случая пространства от плоскости)4.Существует такая функция u ( x, y , z ) , что du = Pdx + Qdy + Rdz .

Функцию u ( x, y , z )называют потенциалом данного поля. F = gradu = ∇ u FВ этом случае ∫ dr = u ( B ) − u ( A) - разность потенциалов (аналог формулы НьютонаABЛейбница).Для доказательства нужно воспользоваться формулой Стокса. Так как ротор равен нулю, то F∫ dr не зависит отинтеграл по замкнутой траектории также равен нулю и интегралABтраектории.Условие односвязности является существенным.

Приведем пример (на плоскости).xdy − ydxВычислить∫x 2 + y 2 (интеграл берется по окружности). Попробуем применить формулуx2 + y2 = 1Грина: P = −yx;Q = 2; R = 0 . Вычислим произведение ротора поля F на вектор22x + yx + y2∂ Q ∂ P x 2 + y 2 − 2x 2 x 2 + y 2 − 2 y 2−=+= 0 . Следует ли отсюда, что интеграл по∂x ∂yx2 + y2x2 + y2 x = cos t ,окружности равен нулю? Чтобы проверить это, сделаем параметризацию:  y = sin tнормали:xdy − ydx=22∫x+y22x + y =12π2π(cos td sin t − sin td cos t )= ∫ (cos 2 t + sin 2 t )dt = 2π ≠ 022∫0cos t + sin t0Область должна быть односвязной, т.е. внутри окружности все функции должны быть∂Q ∂P,∉ C (0,0) .

Чтобы интегрировать, нужно удалить изнепрерывны. Но P, Q ∉ C (0,0) и∂x ∂yрассмотрения точку (0,0), после чего можно применять формулу Грина. Такие же примеры можнопривести и для пространства (гравитационное поле с центром в начале координат).Потенциальные, соленоидальные и гармонические поляПотенциальное полеПусть есть две точки А и В.BAПусть F = ( P, Q, R ) – поле.Поле называется потенциальным, если выполняетсяодно из условий:1) rot F = 02) ∃ U : grad U = F . Если это выполнено, то U называетсяпотенциалом поля. c ⋅ rF =  3 , где r = ( x, y , z ); | r |= x 2 + y 2 + z 2 – гравитационное поле является потенциальным:|r |cU =  ⇒ grad U = F .|r | Поле F называется центральным, если F = f (| r |) ⋅ r .

Отсюда следует, что F потенциально:31i∂rot F = det ∂x f (| r |) xj∂∂ yf (| r |) yk∂ =∂ z f (| r |) z  ∂   ∂   ∂ ∂∂∂=  f (| r |) z −f (| r |) y  , f (| r |) x −f (| r |) z  , f (| r |) y −f (| r |) x   .∂z∂x∂y  ∂x  ∂z ∂ y y z∂∂f (| r |) z −f (| r |) y = z ⋅ f ′ (| r |)  − y ⋅ f ′ (| r |)  = 0 . Следовательно, rot F = 0∂y∂z|r ||r | и выполняется первое из условий потенциальности поля. Поэтому любое поле вида F = f (| r |) ⋅ r– потенциальное, значит, можно найти его потенциал.Рассмотрим функцию F (t ) = ∫ t ⋅ f (t )dt .

Докажем, что U = F (| r |) :При этом, x∂U ∂U∂U= | r | ⋅ f (| r |)  = f (| r |) ⋅ x . Аналогично получим, что= f (| r |) ⋅ x и= f (| r |) ⋅ z .∂x|r |∂y∂zСледовательно, всякое центральное поле – потенциально.Соленоидальное полеПоле F = ( P, Q, R ) – соленоидальное, если его дивергенция равна нулю: ∂P ∂Q ∂Rdiv F =++= 0.∂x ∂y ∂zПо формуле Гаусса–Остроградского:FdS=divFdxdydz = 0 ⇒∫∫∫∫∫Поток соленоидального поля через любую поверхность равенSвнешнVнулю. Соленоидальные поля характерны для движения потоков жидкостей и газов.FПоток через боковую поверхность Sбок всегдаравен нулю, так как F направлен по касательной кэтой поверхности.S2SбокS1Поэтому div(rot F1 ) = 0 ∀ F1 .

Докажем это:F1 = ( P1 , Q1 , R1 ) .rot F1 = det i∂∂xP1j∂∂yQ1Поток через S1 равен потоку через S2 с обратнымзнаком – «сколько вошло, столько вышло».Утверждение: Если поле F – соленоидальное, тооно является ротором поля F1 , то есть если div F = 0, то F = rot F1 , где F1 – векторный потенциал.k ∂   ∂ R1 ∂ Q1 ∂ P1 ∂ R1 ∂ Q1 ∂ P1 ,= −,−,−∂ z   ∂ y∂z ∂z∂x ∂x∂ y R1 32∂  ∂ R1 ∂ Q1  ∂  ∂ P1 ∂ R1  ∂  ∂ Q1 ∂ P1 + =div(rot F1 ) =−−−+∂ x  ∂ y∂ z  ∂ y  ∂ z∂ x  ∂ z  ∂ x∂ y ∂ 2 R1−∂ y∂ xДокажем также, что rot(grad F1 ) ==∀ U : grad U = ∂ 2 Q1 ∂ 2 P1 ∂ 2 R1 ∂ 2 Q1 ∂ 2 P1+−+−≡ 0.∂ z∂ x ∂ z∂ y ∂ x∂ y ∂ x∂ z ∂ y∂ z0 = (0, 0, 0) :∂U ∂U ∂U  ⇒ rot(grad U ) = det,,∂x ∂y ∂z i∂∂x∂U∂xj∂∂y∂U∂yk∂∂z∂U∂z = 222222 ∂ U ∂ U ∂ U ∂ U ∂ U ∂ U = −,−,−≡ 0 . Доказано. ∂ y∂ z ∂ z∂ y ∂ x∂ z ∂ z∂ x ∂ x∂ y ∂ y∂ x    000FdS=divFdxdydz∫∫∫∫∫SвнешVРассчитаем площадь поверхности сферы:Пусть дана сфера радиуса ε с центром в точке ( x0 , y 0 , z 0 ) .ε( x0 , y 0 , z 0 )Пол теореме о среднем:F∫ ∫ dS =Sвнеш=divFdxdydz=|V|⋅divF∫∫∫Vx = x1y = y1z = z1Перейдем к пределу:div F ( x0 , y0 , z0 ) = limε→ 0 F∫ ∫ dS V.4πε3 3Это выражение можно рассматривать, как определение дивергенции.

Из него видно, чтодивергенция не зависит от системы координат, в которых решается задача.Дивергенция – это интенсивность потока поля. Аналогично,завихренность поля F . В некоторых учебниках роторвихрь.Ротор является инвариантом относительно системыГармоническое полеГармоническим называется поле, для которого и ротор иравны нулю.33rot FFротор –называетсякоординат.дивергенция rot F = 0 ∂U ∂U ∂U⇒ F = grad U = ,, div F = 0 ∂x ∂y ∂zdiv(grad U ) = и∂ 2U(∂ x ) 2+∂ 2U(∂ y ) 2+∂ 2U(∂ z ) 2= 0.Это выражение – уравнение Лапласа. Его решением является гармоническаяфункция, поэтому поле, обладающее такими свойствами, называется гармоническим.ПРИМЕР:В качестве примера рассмотрим гравитационное поле, которое является единственнымцентральным полем, одновременно имеющим свойства гармонического.Докажем, что всякое центральное гармоническое поле – гравитационное и наоборот. 1. F = f (| r |) ⋅ r , rot F = 0 .

Это условие проверено выше.2. div F = 0 . Используем это условие:∂t x= .F = ( f (| r |) x, f (| r |) y , f (| r |) z ) . Пусть | r |= t , тогда∂x tx2y2z2div F = f ′ (t )+ f (t ) + f ′ (t )+ f (t ) + f ′ (t )+ f (t ) =ttt= t2    2 2 x + y + z2 = f ′ (t ) + 3 f (t ) = t ⋅ f ′ (t ) + 3 f (t ) = 0.tОтсюда получаем:f ′ (t )3= − . Интегрируя обе части по t, получим:f (t )tln f (t ) = − 3 ln t + ln C ,CCf (t ) = 3 . Отсюда, возвращаясь к | r | , получим, что f (| r |) =  3 .

Следовательно, так как|r |t C⋅r F = f (| r |) ⋅ r , окончательно получаем, что F =  3 , а это по определению – гравитационное|r |поле.34.

Характеристики

Список файлов лекций