makarov_sem4 (1111780), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

интеграл не зависит от выбора параметризации.xt/ =()Свойства:01 Является линейным по функции и аддитивным по множеству, т.е.   Fdr=Fdr+F∫∫∫ drL1+ ∪ L+2L1+  ∫ ( F + G)dr = ∫ Fdr + ∫ QdrL+L+L+L+2А 02 ∫ Fdr = − ∫ FdrL+L−L+L-L+=ABL-=BAВФизический смысл этого свойства заключается в следующем утверждении: работа сил в поле водном направлении, равна работе сил со знаком минусв другом направлении15иСвязь между криволинейными интегралами 1 и 2 рода.ВЗададим касательный вектор движения по прямой(x / , y / )(dx, dy )e+ == t tdl(dx) 2 + (dy ) 2exr ′ = ( xt/ , y t/ )e+ dl = r ′dt , r dt = dlАFe+ = f  ∫ Fdr = ∫ ( Fe+ ) r ′ dt = ∫ ( Fe+ )dl = ∫ fdl ,а этот интеграл является интегралом первого типа.( )L+LLLАналогично определим криволинейный интеграл второго рода в ℜ 3 .Рассмотрим векторное поле F = ( P ( x, y, z ), Q( x, y , z ), R ( x, y, z ) ) , для которого r = ( x, y , z ) являетсярадиус вектором, тогдаdr = ( dx, dy , dz ) , иdl = dr = dx 2 + dy 2 + dz 2 x = x(t )Кривая L задается системой L :  y = y (t ) . z = z (t )По определению: F∫ dr = ∫ ( Pdx + Qdy + Rdz ) =L+L+b∫ ( Px ′ + Qy ′ +)Rz t/ dt ,aа это криволинейный интеграл второго рода в пространстве.

Независимость от выбора параметрадоказывается также, как и в ℜ 2 .ПримерРассмотрим пример, в котором точка с массой Мнаходится в начале координат и неподвижна, а точка m, смассой m, движется по АВ.Вычислить работу по перемещению точки m, принявгравитационную постоянную равной γ . − γ mMrF=, т.е.z3mMγ ( x, y, z )F= −3x2 + y2 + z2)(A=∫L+ Fdr = mMγ∫− xdx − ydy − zdz(x2 + y2 + z2)316 x = x(t )L+ :  y = y (t ) ,а z = z (t )точки А и В имеют координаты A( x(a ), y ( a), z (a ) ) и B( x(b), y (b), z (b) ) соответственно.b− x(t ) x ′ (t )dt − y (t ) y ′ (t )dt − z (t ) z ′ (t )dtA = mMγ ∫3a( x(t )) 2 + ( y (t )) 2 + ( z (t )) 21рассмотрим U ( x(t ), y (t ), z (t ) ) =, тогда U ′ (t ) , как производная сложной( x(t )) 2 + ( y (t )) 2 + ( z (t )) 2функции от нескольких переменных, будет равна∂u∂u∂u∂u ∂u ∂uU ′ (t ) =x ′ (t ) +y ′ (t ) +z ′ (t ) ,для вычисления U ′ (t ) , представим, ив виде∂x∂y∂z∂x ∂y ∂z∂ux∂uy∂uz= −= −= −3 ,3 и3 ,соответственно,∂x∂y∂zx2 + y2 + z2x2 + y2 + z2x2 + y2 + z2)()()()()(тогда подставив эти выражения в уравнение для U ′ (t ) , получаем:− x(t ) x ′ (t ) − y (t ) y ′ (t ) − z (t ) z ′ (t )U ′ (t ) =3, а так как работа выражается через определенный интеграл,( x(t )) 2 + ( y (t )) 2 + ( z (t )) 2то подставив это выражение, получаем)(bA = mMγ ∫ U ′ (t )dt = mMγ ⋅ U (t ) ba = mMγ [U ( x(b), y (b), z (b))) − U ( x (a), y (a ), z (a))] =a= mMγ [U ( B ) − U ( A)] =mMγ−mMγ( x (b)) + ( y (b)) + ( z (b))( x (a )) + ( y (a )) 2 + ( z (a )) 2Заметим, что работа в гравитационном поле не зависит от выбора пути, а зависит только отначальной А и конечной В точек этого пути.2222Формула Грина.В настоящем разделе рассмотрим формулу, связывающую двойной и криволинейный интегралы.∫ Pdx + Qdy , интеграл ∫называется интегралом по замкнутому контуру.Г+Условимся называть положительным направлением обхода простого замкнутогоконтура то, при котором ближайшая к наблюдателю часть области, ограниченнойконтуром, оказывается лежащей слева от наблюдателя.∂P ∂Q∈ C ( D) , т.е.непрерывны на (D) и Г- замкнутыйПусть F = ( P, Q) и P, Q, ,∂y ∂xкусочногладкий контур, тогда имеет место формула: ∂Q ∂PPdx+Qdy=∫Г∫D∫  ∂ x − ∂ y  ,которая называется формулой Грина.+Для вывода формулы будем сводить вычисление интеграла по замкнутой кривой к интегралу отобласти, заключенной внутри этой кривой.Разобьем вывод на несколько пунктов:1) Область D есть криволинейная трапеция:Докажем равенство17∂P∫ Pdx = − ∫ ∫ ∂ y dxdyГ+DМы знаем, что∫= ∫+ ∫+ ∫+ ∫ иГ+Г1Г2Г3Г4b∫ P( x, y )dx = ∫ P( x, ϕГ1( x))dx , где Г 1 : y = ϕ 1 ( x) ,a∫ Pdx =Г2∫10, x = b, dx = 0aP ( x, y )dx = Г 3 ; y = ϕ 2 ( x) =Г3∫b∫ Pdx =bP( x, ϕ 2 ( x))dx = − ∫ P ( x, ϕ 2 ( x))dxa0 , x = a, dx = 0Г4Запишем теперь интеграл по контуру в виде∫bPdx =Г+∫P ( x, ϕ 1 ( x))dx −ab∫abP ( x, ϕ 2 ( x))dx = ∫ ( P ( x, ϕ 1 ( x ))dx − P ( x, ϕ 2 ( x)))dx ,aа двойной интеграл будет выглядеть соответственно:ϕ 2 ( x)bbb∂P∂Py = p2 ( x )− ∫∫dxdy = − ∫ dx ∫dy = − ∫ dx P ( x, y ) y = p1 ( x ) = − ∫ ( P ( x, ϕ 2 ( x )) − P ( x, ϕ 1 ( x)) )dx =∂y∂yDaϕ 1 ( x)aa(b=∫ ( P ( x, ϕ1)( x)) − P ( x, ϕ 2 ( x)) ) dx , следовательно,a∂P∫ Pdx = − ∫ ∫ ∂ y dxdyГ+- первая часть равенства доказана.D2) Докажем теперь и вторую часть равенства.– криволинейная трапеция, изображенная на∂Q∫Г Qdy = ∫D∫ ∂ x dxdy+Пусть Dрисунке:Запишем теперь интегралы от отдельных участковпричем интегралы от Г2 и Г4 будут равны нулю:∫ Qdy = ∫ Qdy = 0 , y = const , dy = 0 .кривой,Г2Г3Интегралы от Г1 и Г3 будут равны соответственно:∫ Q( x, y)dy =Г1∫ Q( x, y)dy =Г3cddc∫ Q(ψ 1 ( y), y)dy = − ∫ Q(ψ 1 ( y), y)dyd∫ Q(ψ2( y ), y )dy , тогдаcddcc∫ Qdy = − ∫ Q(ψ 1 ( y), y)dy + ∫ Q(ψ 2 ( y), y)dy =Г+интеграл в виде∫∫D∂Qdxdy =∂xdψ 2 ( y)d∫ ( Q(ψ∂Q∫c dyψ ∫( y ) ∂ x dx =12( y ), y ) − Q(ψ 1 ( y ), y ) ) dy Запишем двойнойc∫ dx(Q( x, y)dc18x= ψ 2 ( y )x= ψ 1 ( y ))=d=∫ ( Q(ψ2( y ), y ) − Q(ψ 1 ( y ), y ) )dy , следовательно, мы доказали, чтоГ+cтакже доказали, что∫ Qdy = ∫ ∫D∂Qdxdy , но ранее мы∂x∂P∫ Pdx = ∫ ∫ ∂ y dxdy , следовательно, ∫ Pdx + Qdy можно представить какГ+Г+D ∂Q ∂P.−∂ x ∂ y Г+DПусть D – произвольная область, ограниченная кусочногладкой кривой.

Разобьем D на несколькообластей прямыми, как показано на рисунке.∫ Pdx + Qdy = ∫ ∫ Интеграл по границе двух элементов (1) равеннулю, так как он вычисляется дважды впротивоположных направлениях,следовательно, сумма всех криволинейныхинтегралов будет равна интегралу по границеD.Рассмотрим теперь некоторые следствия изформулы Грина.Следствия:1) Пусть Q = x, P = − y ,∂Q∂P= −= 1 и ∫ xdy = ydx = 2 ∫ ∫ dxdy = S ( D)тогдаГ+D∂x∂y2) Пусть P = C1 , Q = C 2 , C1 ,C 2 - константы,тогда ∫ C1 dx + C 2 dy =Г ∂Q ∂P dxdy = 0 .−∂ x ∂ y ∫ ∫ DУсловия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования водносвязной области на плоскостиОпределение односвязности:Опр.

Область D называется односвязной, если для простойзамкнутой кривой, являющейся границей области D1 следуетD1 ⊂ D .Следующие четыре условия – являются условиями эквивалентности:1) ∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy (кривые Г и Г имеют одинаковоеГ11Г22начало – точку А и одинаковый конец – точку В)2) ∫ Pdx + Qdy = 0 справедливо для любой кусочногладкой замкнутойГ+кривой Г.∂P ∂Q=3), ∀ ( x, y ) ∈ D .∂y ∂x4) ∃ U ( x, y ) : dU = Pdx + Qdy , в этом случае∫ Pdx + Qdy = U ( B) − U ( A) .Г ABДоказательство:191)~2)∫Pdx + Qdy = −Г1 ( A → B )∫Pdx + Qdy +∫Pdx + Qdy =2)~3)∫ PdxQdy =Г 2 ( A→ B )∫ Pdx + QdyГ1 ( B → A )∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy =Г1 ( B → A )Г1 ( A → B )0Г1 Г 2∫ Pdx + Qdy .Г 2 ( B → A)Г+0 , применим формулу Грина: ∂Q ∂P dxdy = 0 ,следовательно,−∂ x ∂ y D ∂Q ∂P  ∂Q ∂P = 0 = ∫ Pdx + Qdy =−−π ε 2 = 0 , но∫∫∂x∂y∂x∂y  x = x1 , y = y1Гε( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 ≤ ε 2 ∂Q∂P( x1 , y1 ) =( x1 , y1 ) , а при ε → 0, ( x1 , y1 ) → ( x0 , y 0 ) ,следовательно,∂x∂y∂Q∂P( x0 , y 0 ) =( x0 , y 0 ) .∂x∂y∫ ∫  x = x(t )Г :,это можно представить в виде: y = y (t )du ∂ u∂u=x ′ (t ) +y ′ (t ) = Pdx + Qdy , итак,dt ∂ x∂ydu∫Г Pdx + Qdy = AB∫ dt dt = U ( B) − U ( A) .AB4)~1)Дифференциальное выражение Pdx + Qdy похоже навыражение полного дифференциала функции F ( x, y )∂U∂Udx +dy ,котороеот двух переменных dU =∂x∂yотождествляется с Pdx + Qdy , если положить∂U∂U= P,= Q.∂x∂y∫Г Pdx + Qdy = U ( x, y) ,докажем, что ∂∂Ux = P, ∂∂Uy = Q , следовательно du = Pdx + Qdy .∂U=∂xU ( x + ∆ x, y ) − U ( x, y )=lim∆x∆ x→ 0∂U=примет вид∂y1lim∆ x→ 0 ∆ xx+ ∆ x∫Pdx =∆ x→ 0xU ( x, y + ∆ y ) − U ( x , y )=lim∆y∆ y→ 0lim1lim∆ y→ 0 ∆ y∂UP ( x, y ) ∆ x= P ( x, y ) ,а выражение для∂y∆xy+ ∆ y∫ Qdy = Q( x, y) , следовательно,ydu = Pdx + Qdy является точным дифференциалом.Площадь поверхностиЕсли определять площадь поверхности объемной фигуры по аналогии с плоскойповерхностью, как точная нижняя грань суммы площадей граней описанного многогран­ника, то полученный результат будет неверным.

Докажем это:20Пусть дан цилиндр с радиусом r и высотой h. По известной формуле площадьего боковой поверхности равна:S = 2π rhНайдем теперь площадь цилиндра, как точную нижнюю грань площадь опи­санного многогранника.Разобьем цилиндр на m дисков, каждый диск – на n треугольников со сторонойа (см. рис.). Их суммарная площадь будет равна 2nmS ∆ , а площадь цилиндраравна:S ц = lim 2nmS ∆m→ ∞n→ ∞рисунке → видно, чтоИз треугольника наaππ= r sin ⇒ a = 2r sin2nn2aπaТак как (2r − b) ⋅ b =   , значит, поскольку = r sin , получим2n 2b 2 − 2rb + r 2 sin 2πππ= 0 и b = r ± r cos ⇒ b = r − r cos (т.к. b < r ).nnn2h=π H2  + r  1 − cos n m2и221π  Hπ2S ∆ = ah = 2r sin  + r  1 − cos 2n  m n .= 4 sin 4π2n?ππ2π rH = lim 2mr nsinH 2 + r 2 4m 2 sin 4Необходимо проверить, чтоn , m→ ∞n2n .→ π2HπЭто равно: lim 2π rm   + r 2 4 sin 4.

Отсюда получим, выбирая m = n2:n , m→ ∞2n mπlim 2π r H 2 + r 2 4n 4 sin 4≠ 2π rHn ,m→ ∞2n. Этот пример называется сапог Шварца.→π216Поэтому для определения площади используютследующую модель. Пусть:f ( x, y ),z=f(x,y)SDiD∂f ∂f, ∈ C ( D) .∂x ∂yФункция f(x,y) дифференцируема в любой точкеиз D, следовательно, в любой точке S существуеткасательная плоскость.21Теперь разобьем компакт D и спроектируем разбиение на S.

В i-м элементе разбиения возьмемточку M i (ξ i , η i ) и построим в ней касательную плоскость. Теперь спроектируем i-й элемент Diкомпакта D на эту плоскость. Получим плоскую область Si. Площадь S определяется, какS = lim ∑ S i, если существует интегральная сумма lim I (T ) = S ,d (T )→ 0d (T )→ 0iгде I зависит от разбиения T (см. рис.).n = (n1 , n 2 , n3 ) – нормальный вектор, ni – косинусыzγSiуглов наклона этого вектора к осям координат:n.n1 = cosα , n2 = cosβ , n3 = cosγМежду Di и Si существует следующая связь:y MiDi = S i ⋅ cosγ ,где γ – угол наклона нормали к оси z. Отсюдаполучим:DiDi .| cosγ |Нормаль имеет следующие координаты: ∂f ∂f; ;− 1∂x ∂y .n= ± 22 ∂f  ∂f  +  ∂x ∂ySi =x± в этом выражении появляется из-за того, что нормаль может иметь два противоположныхнаправления – «вверх» и «вниз», поэтому для определенности рассматриваются двухсторонниеповерхности.Определение: двухсторонней поверхностью называют такую поверхность, в каждой точкекоторой нормаль определена однозначно.При движении по любой кривой на этой поверхностинормаль к поверхности определяется однозначно.n+ПРИМЕР:Односторонняя поверхность – лента Мебиуса:Длябудемопределенности в расчетахиспользовать n+ .22Si =Di, cos γ =cos γ⇒ S=∑Sii=∑i12 ∂f  ∂f 1 +   +   ∂x ∂y⇒2x = ξ i  точка My = η i 22 ∂f  ∂f  ⋅ Di     →1+  + d (T ) → 0 ∂x ∂y∫∫D22 ∂f  ∂f  dxdy1+  +  ∂x ∂yПлощадь поверхности, заданной уравнением z = f ( x, y ) вычисляется по формуле:S=∫∫D22 ∂f  ∂f 1+  +   dxdy ∂x ∂y(1)В общем случае, площадь поверхности определяется в параметрическом виде: x = x(u , v )S =  y = y (u , v ) z = z (u , v)znУравнение нормали.e1yОбозначим   ∂x ∂y ∂z  e1 =  ∂ u , ∂ u , ∂ u  ∂x ∂y ∂z e2 =  ∂ v , ∂ v , ∂ v    n ⊥ e1 ; n ⊥ e2.e2v=constu=constxЗафиксируемпеременную v.Тогда x, y, z – функции, зависящие от и, и задающие на поверхности S координатную линию.Аналогично, фиксируя u, получим другую координатную линию на поверхности.

Характеристики

Список файлов лекций