Лекции Макарова 4 семестр (1111782), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Найти площадь компакта S(M), ограниченного кривой(a1 x + b1 y ) 2 + (a2 x + b2 y ) 2 = 1гдеa1a2b1= δ ≠ 0.b2Решение. Введем новые переменные (u,v) равенствами:⎧u = a1 x + b1 y⎨⎩v = a2 x + b2 yили131⎧=(b2u − b1 y )x⎪⎪δ⎨⎪ y = 1 (−a u + av )21⎪⎩δТогда J (u , v) =1δ.В новых координатах исходное уравнение примет вид:u 2 + v 2 = 1 - окружность радиуса 1, площадь которой равна π.Следовательно, по доказанному выше: S (M ) =π.δНесобственные двойные интегралы.Пусть М – неограниченное множество в ℜ 2 , такое, что существует∞последовательность компактов М1, М2,…; M = ∪ M K , M K ⊂ M K +1 .K =1Тогда назовём двойным интегралом на М от функции f(x, y) предел:∫∫ f (x, y )dxdy = lim ∫∫ f (x, y )dxdyK →∞MMKЕсли он существует и не зависит от выбора системы компактов {MK} .В качестве примера рассмотрим интеграл−x∫∫ eℜ2Можно доказать, что этот интеграл существует.Возьмём в качестве множеств МК квадраты:⎧x ≤KM K = ⎨( x, y ) :K = 1,2,3, …y ≤K⎩Тогда∫∫ eMK2−x − y2dxdy =KK−K−K∫ dx ∫ e22−x − y2⎛ K − x2 ⎞dy = ⎜⎜ ∫ e dx ⎟⎟ и⎝ −K⎠142− y2dxdy2∫∫ e− x2 − y2ℜ2⎛ K − x2 ⎞⎛ +∞ − x 2 ⎞⎜⎟dxdy = lim ⎜ ∫ e dx ⎟ = ⎜⎜ ∫ e dx ⎟⎟K →∞⎝ −K⎠⎝ −∞⎠+∞2−xОбозначим I = ∫ e dx , известный как интеграл Пуассона (или интеграл2−∞вероятности).Итак, мы доказали, что∫∫ e− x2 − y2dxdy = I 2 .ℜ2Возьмем теперь в качестве системы компактов {M k' } окружности:M k' = {( x, y ) : x 2 + y 2 ≤ K 2 } , k = 1, 2,...

.Сделаем в интеграле∫∫ e− x2 − y 2dxdyM k'⎧ x = r ⋅ cos ϕ ⎫⎬⎩ y = r ⋅ sin ϕ ⎭замену: ⎨Якобиан замены I ( r , ϕ ) равен⎛ ⎛ ∂x⎜ ⎜ ∂rI ( r , ϕ ) = det ⎜ ⎜⎜ ⎜ ∂x⎜ ⎜ ∂ϕ⎝⎝∂y ⎞ ⎞⎛ ⎛ cos ϕdr ⎟ ⎟⎟⎟ = det ⎜ ⎜∂y ⎟ ⎟⎝ ⎝ − r sin ϕ⎟⎟dϕ ⎠ ⎠sin ϕ ⎞ ⎞⎟⎟ = r .r cos ϕ ⎠ ⎠В результате этой замены получим интеграл:∫∫ e− x2 − y 2dxdy =M k'2πK00∫ dϕ ∫ r ⋅ e−r22dr = π − e − K .Следовательно, имеет равенствоI 2 = ∫∫ e − xR22− y2dxdy = lim ∫∫ e− xK →∞M K'2− y2(dxdy = lim π − e − Kn →∞2)=πи I= π.Тройной интегралНазовем V ( M ) объемом компакта M ⊂3точную нижнюю грань объемовV ( Pn ) многогранников Pn содержащих M , т.е.15V ( M ) = inf V ( Pn ) .M ⊂ PnОтметим два основных свойства V ( M ) :1)V (M ) ≥ 0 ;2)еслиM1икомпакты вM2такие, что V ( M 1 ∩ M 2 ) = 0 , тоℜ3V (M1 ∪ M 2 ) = V (M1 ) + V (M 2 ) .Можно доказать следующее утверждение: если компактная поверхность Sзадается уравнением z = z ( x, y ) , где z ( x, y ) ∈ C ( P ) , функция z ( x, y ) непрерывнана проекции P поверхности S на плоскость x y , то V ( S ) = 0 .nНазовем T такое разбиение компакта M = ∪ M k , что V ( M i ∩ M j ) = 0 , i ≠ j , т.е.k =1объем пересечения любых двух элементов разбиения M i и M j равен нулю;диаметром d (T ) разбиения T назовем максимум диаметром элементовразбиения M k , k = 1,..., n :d (T ) = max d ( M k ) ;kинтегральной суммой S ( f , T ) ограниченной на M функции f ( x, y, z ) назовемвеличину:nS ( f , T ) = ∑ f ( xk , yk , zk ) V ( M k ) ,k =1где точки ( xk , yk , zk ) ∈ M k .Определение.

Тройной интеграл функции f на компакте M есть пределинтегральных сумм S ( f , T ) при d (T ) → 0 , т.е.∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz :=Mlim S ( f , T ) .d (T ) → 0Это определение есть обобщение определения двойного интеграла.Свойства тройного интеграла.1)Если V ( M ) = 0 , то∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = 0 .M2)Если f ( x, y, z ) ≡ 1 , ( x, y, z ) ∈ M , то∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = V (M ) .M163)Если функции f ( x, y, z ) и g ( x, y, z ) интегрируемы на M и λ , μ ∈–константы, то∫∫∫ (λ f ( x, y, z) + μ g ( x, y, z ))dxdydz =λ ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz + μ ∫∫∫ g ( x, y, z)dxdydz .M4)MЕсли M 1 и M 2 компакты в∫∫∫M1 ∪ M 25)Если M ⊂3Mтакие, что V ( M 1 ∩ M 2 ) = 0 , тоf ( x, y, z ) dx dydz = ∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz + ∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz .M13M2– связный компакт и функция f ∈ C ( M ) непрерывна на M ,то∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = f ( x , y , z )V (M ) ,000Mгде точка ( x0 , y0 , z0 ) ∈ M (теорема о среднем).Доказательствоэтихсвойствдословноповторяетдоказательствосоответствующих свойств для двойного интеграла.Можно доказать, что всякая непрерывная на компакте функция интегрируемана этом компакте.Можнотакжерассматриватьтройныеинтегралынаограниченныхмножествах M , не являющихся компактами, но если V (∂M ) = 0 , т.е.

объемграницы M равен нулю, то положим по определению∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz := ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz .MMПереход от тройного интеграла к повторному.Предположим, что компакт M ⊂3есть цилиндроид:z ( x, y ) ≤ z ≤ z 2 ( x , y )⎧M = ⎨ ( x, y , z ) : 1,( x, y ) ∈ P⎩где P – проекция M на плоскость xy .

Кроме того, предположим, чтофункция f ( x, y, z ) ∈ C ( M ) непрерывна на M , а функции z1 ( x, y ) и z2 ( x, y ) ∈ C ( P)непрерывны на P .17zz=z2(x,y)Мz=z1(x,y)yРxВ этом случае справедливо равенство:∫∫∫Mf ( x, y, z ) dxdydz = ∫∫ dxdyPz2 ( x , y )∫f ( x, y, z )dz .z1 ( x , y )Если P есть криволинейная трапеция:a≤ x≤b⎧P = ⎨( x, y ) :,y1 ( x) ≤ y ≤ y2 ( x)⎩где y1 ( x) и y2 ( x) ∈ C [a, b] – непрерывные на [a, b] функции, то в этом случаеполучаем равенство:∫∫∫Mbf ( x, y, z ) dxdydz = ∫ dxay2 ( x )∫y1 ( x )z2 ( x , y )dy∫f ( x, y, z )dz .z1 ( x , y )0 ≤ x ≤1⎧⎪Пример.

Вычислить интеграл ∫∫∫ ( x, y, z ) dxdydz , где M = ⎨( x, y, z ) : 0 ≤ y ≤ 1 − xM⎪0 ≤ z ≤ 1− x − y⎩треугольная пирамида, ограниченная плоскостями: x = 0 , y = 0 , z = 1 − x − y ,z = 0.Применим формулу повторного интегрирования:1811− x1− x − y000∫∫∫ ( x + y + z )dxdydz = ∫ dx ∫ dyM11− x00= ∫ dx ∫⎛ 1 ( x + y) 2⎜⎜ −2⎝2∫11− x00( x + y + z )dz = ∫ dx ∫1⎛⎞y ( x + y) 3⎟⎟dy = ∫ ⎜ −⎜26⎠0⎝1− x0⎛ ( x + y + z) 2dy⎜⎜2⎝1− x − y0⎞⎟=⎟⎠13⎞⎟dx = ⎛⎜ 1 − x − 1 + x ⎞⎟dx = 1 − 1 + 1 = 3∫0 ⎜⎝ 2 6 3 ⎟⎠ 2 6 24 8⎟⎠Отметим один важный случай: если М – прямоугольный параллелепипедM = {( x, y, z ) : a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d ; m ≤ z ≤ n}и функцияf ( x, y , z ) = f 1 ( x ) ⋅ f 2 ( y ) ⋅ f 3 ( z ) ,где функцииf1 ( x) ∈ C [a, b], f 2 ( y ) ∈ C [c, d ], f 3 ( z ) ∈ C [m, n]тоbdnacm∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = ∫ f1 ( x)dx ⋅ ∫ f 2 ( y)dy ⋅ ∫ f 3 ( z)dzMЗамена переменных в тройном интеграле.Рассмотрим отображение ϕ : M 1 → M , которое задается функциями:⎧ x = x(u, v, w)⎪⎨ y = y (u, v, w)⎪ z = z (u, v, w)⎩(u, v, w) ∈ M 1 , ( x, y, z ) ∈ M .Предположим, что все функцииx(u , v, w), y (u , v, w), z (u , v, w),∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z, , , , , ,,,∈ C (M 1 )∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂z ∂w ∂w ∂wнепрерывны на M1 и якобиан J(u,v,w) отличен от нуля⎛ ∂x⎜⎜ ∂u∂xJ (u, v, w) = det⎜⎜ ∂v⎜ ∂x⎜⎝ ∂w(u , v, w) ∈ M 1∂y∂u∂y∂v∂y∂w∂x ⎞⎟∂u ⎟∂z ⎟≠0∂v ⎟∂z ⎟⎟∂w ⎠в этом случае отображение ϕ : M 1 → M есть взаимнооднозначное идифференцируемое отображение.19Пусть М1 и М2 – компакты и функция f ( x, y, z ) ∈ C ( M ) непрерывна на M.Тогда справедливо равенство:∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f ( x(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)) ⋅ J (u, v, w) dudvdw .MM1Если f ( x, y , z ) ≡ 1 , то, используя теорему о среднем, получим равенство:V ( M ) = J (u 0 , v0 , w0 ) ⋅ V ( M 1 )где (u 0 , v0 , w0 ) ∈ M 1 , это равенство означает, что модуль Якобиана замены естькоэффициент изменения объема при отображении φ.Цилиндрические и сферические координаты.Рассмотрим две наиболее часто встречающиеся замены переменных:1)Цилиндрические координаты⎧ x = r cos ϕ, r ≥ 0⎪⎨ y = z sin ϕ , ϕ ∈ [0,2π ]⎪ z = z, z ∈ R⎩В этом случае якобиан J (r , ϕ , z ) замены переменных равен:⎛ ∂x⎜⎜ ∂r∂xJ (r , ϕ , z ) = det⎜⎜ ∂ϕ⎜ ∂x⎜⎝ ∂z∂y∂r∂y∂ϕ∂y∂z∂z ⎞⎟∂r ⎟⎛ cos ϕ⎜∂z ⎟= det⎜ − r sin ϕ∂ϕ ⎟⎜ 0⎝∂z ⎟⎟∂z ⎠sin ϕ 0 ⎞⎟r cos ϕ 0 ⎟ = r01 ⎟⎠Название «цилиндрические координаты» происходит из-за того, чтопри фиксированном значении r = R > 0 и переменных φ, z получим прямойкруговой цилиндр с осью OZ, в основании которого лежит окружностьрадиуса R.2) Cферические координаты⎧ x = r cos ϕ ⋅ cos θ⎪⎨ y = r cos ϕ ⋅ sin θ⎪ z = r ⋅ sin ϕ⎩r ≥ 0;−π2≤ϕ ≤π2;0 ≤ θ ≤ 2π20Якобиан J (r , ϕ ,θ ) = r 2 cos ϕНазвание сферические происходит из-за того, что при фиксированномзначении r = R > 0 и переменных φ и θ получим сферу радиуса R c центром вначале координат.Пример.

Вычислить объем VR шара радиуса R > 0 .Решение. Переходя к сферическим координатам, получим равенства:VR = ∫∫∫ dxdydz =VR2π∫0πdθ2∫π−πRdϕ ∫ r 2 cos ϕ dr = 2π04 32∫π cos ϕ dϕ ⋅ ∫0 r dr = 3 π R .−2R22Криволинейные интегралы⎧ x = x (t ) ⎫Пусть гладкая кривая L задана в R уравнениями: ⎪⎨ y = y ( t ) ⎪⎬ α ≤ t ≤ β⎪⎪⎩ z = z (t ) ⎭3BLDA21Точки A = ( x (α ) , y (α ) , z (α ) ) и B = ( x ( β ) , y ( β ) , z ( β ) ) соответственно начало иконец кривой L . Функции x ' ( t ) , y ' ( t ) , z ' ( t ) ∈⊂ [α , β ] непрерывнодифференцируемы на [α , β ] . Кроме того, пусть задана функцияf ( x, y, z ) ∈⊂ ( D ) непрерывная в области D ⊂ R 3 , содержащей кривую L .Тогда криволинейным интегралом первого рода от функции f ( x, y, z ) покривой L назовем следующий определенный интеграл:∫Lβf ( x, y, z ) dl := ∫ f ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ⋅( x ' ( t ) ) + ( y ' ( t ) ) + ( z ' ( t ) ) dt .222αЗаметим, что определение корректно, т.е.

не зависит от выбора параметра t .Действительно, если кривая L задана в другой параметризации:t = t ( u ) , u ∈ [ a, b ] , t ' ( u ) > 0, t ' ( u ) ∈⊂ [ a, b ] , то, делая замену в определенноминтеграле t = t ( u ) , получим равенство:β∫ f ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ⋅ ( x ' ( t ) ) + ( y ' ( t ) ) + ( z ' ( t ) ) dt =α2b(22) (x ) +( y ) +(z )= ∫ f x (t (u )) , y (t (u )) , z (t (u )) ⋅' 2t' 2t' 2t⋅ t ' ( u ) du =ab=∫ f ⋅ab( x ⋅ t ) + ( y ⋅ t ) + ( z ⋅ t ) du = ∫ f ⋅ ( x ) + ( y ) + ( z ) du't' 2u' 2u't't' 2u' 2u' 2u' 2uaт.е. вид интеграла 1 рода не зависит от параметризации кривой L .__Обозначим r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) и r' ( t ) = ( x ' ( t ) , y ' ( t ) , z ' ( t ) ) .Тогда краткая запись криволинейного интеграла 1 рода будет иметь вид:∫Lβfdl = ∫ f ⋅ r ' ( t ) dt .αЕсли кривая L лежит в плоскости ОХУ, то z ( t ) = 0 и криволинейныйинтеграл примет вид:β∫ f ( x, y ) dl = α∫ f ( x ( t ) , y ( t ) ) ⋅ ( x ' ( t ) ) + ( y ' ( t ) ) dt .2L222Отметим следующие свойства криволинейного интеграла 1 рода:Если f ( x, y, z ) ≡ 1 , то интеграл1)∫ dl = Lравен L - длине кривой L .L2)Непрерывную кривую L , состоящую из конечного числа L1 ,..., Lnгладких кривых, мы будем называть кусочно-гладкой, и в этом случаеимеет место равенство∫L3)nfdl = ∑ ∫ fdl .k =1 LkЕсли существуют интегралы 1 рода от функций f ( x, y, z ) и g ( x, y, z ) покусочно-гладкой кривой L , и λ , μ ∈ R произвольные действительные числа,то справедливо равенство:∫ ( λ ⋅ f + μ ⋅ g ) dl = λ ⋅ ∫ fdl + μ ⋅ ∫ gdl .LLLРассмотрим теперь криволинейные интегралы другого типа.Пусть задана вектор-функция F ( x, y, z ) = ( P ( x, y, z ) , Q ( x, y, z ) , R ( x, y, z ) ) иликратко F ( r ) = ( P ( r ) , Q ( r ) , R ( r ) ) , где r = ( x, y, z ) .Будем предполагать, что функции P ( r ) , Q ( r ) и R ( r ) ∈⊂ ( D ) непрерывны вобласти D , содержащей гладкую кривую L , которая задается уравнениями⎧ x = x (t )⎪⎨ y = y (t )⎪ z = z (t )⎩или кратко: r = r ( t ) , t ∈ [α , β ] .Функции x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) и их производные непрерывны на отрезке [α , β ] .Точки A = ( x (α ) , y (α ) , z (α ) ) и B = ( x ( β ) , y ( β ) , z ( β ) ) есть соответственно началои конец кривой L .Определение.

Характеристики

Список файлов лекций