Лекции Макарова 4 семестр (1111782), страница 4
Текст из файла (страница 4)
неrзависит от пути, а зависит от начальной и конечной точек этого пути. Приэтом потенциал U и поле F связаны равенством: gradU = F .Такие поля называются потенциальными. В дальнейшем мы более подробнорассмотрим такие поля.Область D ⊂ R 2 на плоскости называется односвязной, если для любойкусочно-гладкой замкнутой без самопересечений кривой L ⊂ D частьплоскости М, лежащая внутри кривой L также принадлежит области D.Примерами односвязных областей являются круг, прямоугольник,…35Примерами неодносвязных областей являются круг с выколотой точкой –центром круга, кольцо,…Пусть D – односвязная область на плоскости; функции P = P(x,y), Q = Q(x,y),∂P ∂Q,∈∂y ∂x( D) .Теорема.
Следующие четыре утверждения эквивалентны:1) Пусть A ( a1 , a2 ) , B ( b1 , b2 ) ∈ D две произвольные точки в области D и L1 , L2 –две кусочно-гладкие кривые также лежащие в D такие, что начальная точкаэтих кривых – А, а конечная В. Тогда справедливо равенство:∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + QdyL1L22) если L ⊂ D произвольная замкнутая кусочно-гладкая кривая, то∫ Pdx + Qdy = oL3) для всех точек ( x, y ) ∈ D в области D выполняется равенство∂P ∂Q=∂y ∂x4) существует дифференцируемая функция u = u ( x, y ) такая, чтоdu = Pdx + QdyДоказательство.Утверждения 1) и 2) эквивалентны, т.к. из равенства∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + QdyL1+L+2следует, что ∫ Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy = 0 .L1+L−2Докажем эквивалентность утверждений 2) и 3). Пусть выполняетсяутверждение 3), т.е.∂Q ∂Pв области D .
Рассмотрим замкнутую кусочно=∂x ∂yгладкую кривую L ⊂ D без самопересечений. Применяя формулу Грина,получим равенство:⎛ ∂Q∂P ⎞∫ Pdx + Qdy = ∫∫ ⎜⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎟⎠dxdy = 0 .L+M36Пусть теперь выполняется утверждение 2; ( x0 ; y 0 ) ∈ D - произвольная точка.Рассмотрим круг C r радиуса r с центром в точке ( x0 ; y 0 ) . Применяя формулуГрина и теорему о среднем для двойного интеграла, получим соотношения:0=∫ Pdx + Qdy =C z+⎛ ∂Q ∂P ⎞∂P ⎞2 ⎛ ∂Q−−⎜⎟dxdy = π r ⎜⎟ x = x1∂x ∂y ⎠⎝ ∂x ∂y ⎠( x − x0 )2 + ( y − y0 ) 2 ≤ r 2 ⎝y = y1∫∫где точки ( x1 , y1 ) - некоторая внутренняя точка круга C r . Из этого равенстваследует, что⎛ ∂Q ∂P ⎞⎟⎟ x = x1 = 0⎜⎜−⎝ ∂x ∂y ⎠y = y1для любого сколь угодно малого значения r.
Переходя к пределу при r → 0получим равенство:∂P∂Q( x0 , y0 ) =( x0 , y0 )∂x∂yчто и доказывает эквивалентность утверждений 2 и 3.Итак, мы доказали, что утверждения 1), 2) и 3) эквивалентны. Длязавершения доказательства теоремы докажем эквивалентность утверждений1) и 4).Пусть выполняется утверждение 1. Зафиксируем точку A(a1 , a 2 ) ∈ D , а точкуB( x, y ) ∈ D не будем фиксировать.ОбозначимU ( x, y ) =∫ Pdx + QdyAB∪где AB - произвольная кусочно-гладкая кривая, лежащая в D .Докажем, что∂u∂u= pи=Q∂x∂yТогда из непрерывности P и Q будет следовать дифференцируемостьфункции U ( x, y ) в области D и равенство:du = Pdx + Qdy .Пусть точка C ( x + Δx, y ) ∈ D и отрезок BC также лежит в D .37Рассмотрим разность:U ( x + Δx, y ) − U ( x, y ) =∫ Pdx + Qdy − ∫ABPdx + Qdy =ABCx +Δx=∫ Pdx + Qdy = ∫ P ( t , y ) dx = P ( x , y ) ⋅ Δx1xBCгде x1 ∈ ( x, x + Δx ) в силу теоремы о среднем для однократного интеграла.Тогда, вычисляя предел при Δx → 0 , получим, чтоU ( x + Δx, y ) − U ( x, y )∂U= lim= P ( x, y )∂x Δx →0ΔxАналогично доказывается равенство∂U= Q ( x, y ) .∂yТеорема доказана.Замечание.
В неодносвязной области D теорема может нарушаться.Пример. Рассмотрим криволинейный интегралx = cos t2πxdy − ydxcos td sin t − sin td cos t= y = sin t = ∫= 2π .22∫x +ysin 2 t + cos 2 t0x 2 + y 2 =10 ≤ t ≤ 2πС другой стороныт.е.∂P ∂ ⎛∂Q ∂ ⎛ x ⎞y ⎞y 2 − x2y2 − x2;,= ⎜− 2===⎟⎜⎟∂y ∂y ⎝ x + y 2 ⎠ ( x 2 + y 2 )2 ∂x ∂x ⎝ x 2 + y 2 ⎠ ( x 2 + y 2 )2∂Q ∂P, если x 2 + y 2 ≠ 0 .=∂x ∂yПолученное несоответствие условий 2 и 3 теоремы связано с тем, что областьD = { x 2 + y 2 ≤ 1, x 2 + y 2 ≠ 0} не является односвязной.Формула СтоксаФормула Стокса есть обобщение формулы Грина в трехмерномпространстве3.38Пусть в области D ⊂3задана гладкая двухсторонняя поверхность S , т.е.⎧ x = x ( u, v )уравнение поверхности имеет вид: ⎪⎨ y = y ( u, v )⎪ z = z ( u, v )⎩( u, v ) ∈ M ∈2,где функции x ( u, v ) , y ( u, v ) , z ( u, v ) и их частные производные непрерывны в M .Граница L = ∂S - поверхности S - есть кусочно-гладкая кривая._Задана вектор-функция F = ( P, Q, R ) , функцииP = P ( x, y, z ) , Q = Q ( x, y, z ) , R = R ( x, y, z ) и их частные производные непрерывны в_⎛ ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ⎞D .
Обозначим: rot F = ⎜;;−−−⎟.⎝ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ⎠Теорема. В сделанных выше предположениях имеет место формула Стокса:∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫ rotFds ,L+или более кратко:S+∫ Fdr = ∫∫ rotFds ,L+S+где ориентации L+ кривой и S+ поверхность связаныn+следующим правилом: если смотреть с конца вектораn+ , то направление обхода L+ будет осуществлятьсяпротив часовой стрелки; или по «правилу буравчика»:если вращать правый винт в сторону L+ , то он будетперемещаться в направлении n+ .L+Представим вектор-функцию F в виде суммы F = F1 + F2 + F3 , гдеF1 = ( P, 0, 0) , F2 = (0, Q, 0) , F3 = (0, 0, R) . Докажем формулу Стокса для F1 .Аналогичное доказательство можно применить и для полей F2 и F3 .
Темсамым, формула Стокса будет доказана для вектор-функции F .⎛Заметим, что rotF1 = ⎜ 0,⎝∂P ∂P ⎞,−⎟∂z∂y ⎠Тогда правая часть формулы Стокса примет вид:39⎛⎜ 0⎜⎜ ∂x∫∫S rotFds = ∫∫M det ⎜ ∂u+⎜⎜ ∂x⎜ ∂v⎝∂P∂z∂y∂u∂y∂v∂P ⎞∂y ⎟⎟∂z ⎟dudv ,∂u ⎟⎟∂z ⎟∂v ⎟⎠−а левая часть запишется так:∫ Fdr = ∫P∂M +L+∂x∂xdu + P dv∂u∂vПрименяя формулу Грина к правой части последнего равенства, получимсоотношения:∫∂M +P∂x∂x⎛ ∂ ⎛ ∂x ⎞ ∂ ⎛ ∂x ⎞ ⎞du + P dv = ∫∫ ⎜ ⎜ P ⎟ − ⎜ P ⎟ ⎟dudv∂u∂v∂u ⎝ ∂v ⎠ ∂v ⎝ ∂u ⎠ ⎠M ⎝Применяя формулу дифференцирования сложной функции, получимравенство:⎛⎜ 0⎜⎜ ∂x∫L Fdr = ∫∫M det ⎜ ∂u+⎜⎜ ∂x⎜ ∂v⎝∂P∂z∂y∂u∂y∂v∂P ⎞∂y ⎟⎟∂z ⎟dudv = ∫∫ rotFds ,∂u ⎟S+⎟∂z ⎟∂v ⎟⎠−что и доказывает теорему.Замечание.
Формула Грина есть частный случай формулы Стокса.Действительно, если S ⊂2поверхность лежит в плоскости OXY , тоz = 0, dz = 0, n+ = (0, 0,1) , ( rotF ⋅ n+ ) =∂Q ∂P,−∂x ∂yи, следовательно, формула Стокса примет вид:⎛ ∂Q∂P ⎞∫ Pdx + Qdy = ∫∫ ⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎠dxdy ,L+MТ.е. совпадает с формулой Грина.40Формула Гаусса-Остроградского.Пусть в некоторой области D ∈3задана кусочно-гладкая замкнутаяповерхность S ⊂ D ; кроме того, вектор функция F = ( P, Q, R) такова, что всефункции P = P( x, y, z ) , Q = Q( x, y, z ) , R = R( x, y, z ) ,∂P ∂Q ∂R,, ∈ C ( D)∂x ∂y ∂zнепрерывные в области D .Через n + обозначим внешнюю нормаль к поверхности S , а соответствующуюсторону поверхности S + , V ∈ D - компакт, границей которого являетсяповерхность S = ∂V .Теорема.
В указанных выше предположениях имеет место формула Гаусса-Остроградского:∫∫ F d s =S+⎛ ∂P ∂Q ∂R ⎞⎜⎜⎟⎟dxdydz++∫∫∫xyz∂∂∂⎠V ⎝Доказательство. Представим вектор функцию F в виде суммы:F = F1 + F 2 + F 3где F1 = (P,0,0), F 2 = (0, Q,0), F 3 = (0,0, R ) .Докажем формулу Гаусса-Остроградского для вектор функции F 3 впредположении, что V – есть цилиндроид, который задается следующимобразом:z ( x, y ) ≤ z 2 ( x, y )⎧, где M - проекция V на плоскость охуV = ⎨( x, y , z ) : 1( x, y ) ∈ M⎩zyVz=z2(x,y)z=z1(x,y)Мx41Поверхность S = ∂V являющуюся границей V разобьём на три гладкихповерхности: S1 - нижняя поверхность, которая задаётся уравнениемz = z1 ( x, y ) , ( x, y ) ∈ M , S2 - верхняя поверхность, которая задаётся уравнениемz = z2 ( x, y ) , ( x, y ) ∈ M и S 3 - боковая поверхность.Тогда получим равенство:∫∫ FS+1d s = ∫∫ F 1 ds + ∫∫ F1 d s + ∫∫ F1 d sS1+⎛ ∂z1 ∂z1⎞⎜ ∂x , ∂y , −1⎟⎝⎠Ввиду того, что n1+ =2⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞1+ ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 1 ⎟⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠2S 2+, n2+ =S 3+⎛ ∂z 2 ∂z 2⎜⎜ −,−∂y⎝ ∂x⎞,1⎟⎟⎠2⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞1 + ⎜ 2 ⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠2,n3+ = (cos α , cos β ,0) , где α и β углы нормали n3+ с осями Ox и Oy,будут следовать равенства:∫∫ F dS = ∫∫ ( F ⋅ n ) dS = −∫∫ R ( x, y, z ( x, y ) ) dxdy33S1++11S1M∫∫ F dS = ∫∫ ( F ⋅ n ) dS = −∫∫ R ( x, y, z ( x, y ) ) dxdy33S2++22S2M∫∫ F dS = ∫∫ ( F ⋅ n ) dS = 033S3++3S3Так как ( F3 ⋅ n3+ ) = 0 .Итак, поток вектор-функции F3 через внешнюю сторону поверхности равен:∫∫ F dS = ∫∫ ( R ( x, y, z ( x, y ) ) − R ( x, y, z ( x, y ) ) )dxdy3S+21MС другой стороны, вычисляя тройной интеграл от∂Rпо V с помощью∂zповторного интегрирования, получим равенство:z ( x, y )2∂R∂Rdxdydz=dxdydz =∫∫∫∫∫∫∂z∂zVMz1 ( x , y )()= ∫∫ R ( x, y, z2 ( x, y ) ) − R ( x, y, z1 ( x, y ) ) dxdyMчто и доказывает формулу Гаусса-Остроградского для вектор-функции F342Аналогично доказывается формула Гаусса-Остроградского для векторфункций F1 и F2 .
В этих случаях в качестве V надо рассматриватьцилиндроиды с направляющими вдоль осей OX и OY соответственно.Если V – прямоугольный параллелепипед, то справедлива общая формулаГаусса-Остроградского.В случае произвольного компакта V нужно разбить его на несколькокомпактов, для каждого из которых верна общая формула ГауссаОстроградского.Если обозначить divF =∂P ∂Q ∂R, то краткая запись формулы Гаусса++∂x ∂y ∂zОстроградского будет иметь вид:∫∫ Fd S = ∫∫∫ divF dxdydz .S+VПотенциальное, соленоидальное и гармоническое поляПоле F называется потенциальным, если найдется такая функцияU = U ( x, y, z ) , называемая потенциалом поля F , чтоF = gradU .Как было изложено выше в поверхностно односвязной области D ⊂ ℜ3 этоэквивалентно условию:rot F = 0 .Можно непосредственным вычислением проверить, что rot gradU = 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
