Лекции Макарова 4 семестр(alternative ver.) (1111781), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Формула Грина есть частный случай формулы Стокса. Действительно, если S ⊂()плоскости OXY , то z = 0, dz = 0, n+ = (0, 0,1) , rotF ⋅ n+ =2поверхность лежит в∂Q ∂P,−∂x ∂yи, следовательно, формула Стокса примет вид:⎛ ∂Q∂P ⎞∫ Pdx + Qdy = ∫∫ ⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎠dxdy ,L+MТ.е. совпадает с формулой Грина.Формула Гаусса-Остроградского.Пусть в некоторой области D ∈3задана кусочно-гладкая замкнутая поверхность S ⊂ D ; кроме того, вектор функцияF = ( P, Q, R) такова, что все функции P = P( x, y, z ) , Q = Q( x, y, z ) , R = R( x, y, z ) ,непрерывные в области∂P ∂Q ∂R,, ∈ C ( D)∂x ∂y ∂zD.Через n + обозначим внешнюю нормаль к поверхности S , а соответствующую сторону поверхности S + , V ∈ D - компакт,границей которого является поверхность S = ∂V .Теорема.
В указанных выше предположениях имеет место формула Гаусса-Остроградского:⎛ ∂P∂Q∂R ⎞∫∫ Fd s = ∫∫∫ ⎜⎜⎝ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎟⎠dxdydzS+VДоказательство. Представим вектор функцию F в виде суммы:где F1 = (P,0,0 ), F 2 = (0, Q,0 ), F 3 = (0,0, R ) .F = F1 + F 2 + F 3Докажем формулу Гаусса-Остроградского для вектор функции F 3 в предположении, что V – есть цилиндроид, которыйзадается следующим образом:z ( x, y ) ≤ z 2 ( x, y )⎧, где M - проекция V на плоскость охуV = ⎨( x, y , z ) : 1( x, y ) ∈ M⎩22zz=z2(x,y)Vyz=z1(x,y)МxПоверхность S = ∂V являющуюся границей V разобьём на три гладких поверхности: S1 - нижняя поверхность, котораязадаётся уравнением z = z1 ( x, y ) , ( x, y ) ∈ M , S 2 - верхняя поверхность, которая задаётся уравнениемz = z2 ( x, y ) , ( x, y ) ∈ M и S 3 - боковая поверхность.Тогда получим равенство:∫∫ FS+Ввиду того, что+1n =⎛ ∂z1 ∂z1⎞⎜ ∂x , ∂y , −1⎟⎝⎠,2⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞1+ ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 1 ⎟⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠осями Ox и Oy,будут следовать равенства:2n2+ =1d s = ∫∫ F 1 ds + ∫∫ F1 d s + ∫∫ F1 d sS1+⎛ ∂z 2 ∂z 2⎜⎜ −,−∂y⎝ ∂x2S 2+⎞,1⎟⎟⎠S 3+, n3 = (cos α , cos β ,0) , где α и β углы нормали n3 с+⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞1 + ⎜ 2 ⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠+2∫∫ F dS = ∫∫ ( F ⋅ n ) dS = −∫∫ R ( x, y, z ( x, y ) ) dxdy33S1++11S1M∫∫ F dS = ∫∫ ( F ⋅ n ) dS = −∫∫ R ( x, y, z ( x, y ) ) dxdy33S2++22S2M∫∫ F dS = ∫∫ ( F ⋅ n ) dS = 033S3+(+3Так как F3 ⋅ n+3S3) = 0.Итак, поток вектор-функцииF3через внешнюю сторону поверхности равен:∫∫ F dS = ∫∫ ( R ( x, y, z ( x, y ) ) − R ( x, y, z ( x, y ) ) )dxdy3S+21MС другой стороны, вычисляя тройной интеграл от∂Rпо V с помощью повторного интегрирования, получим равенство:∂zz ( x, y)2∂R∂R=dxdydzdxdydz =∫∫∫∫∫∫∂z∂zVMz1 ( x , y )()= ∫∫ R ( x, y, z2 ( x, y ) ) − R ( x, y, z1 ( x, y ) ) dxdyMчто и доказывает формулу Гаусса-Остроградского для вектор-функции F3Аналогично доказывается формула Гаусса-Остроградского для вектор-функций F1 и F2 .
В этих случаях в качестве V надорассматривать цилиндроиды с направляющими вдоль осей OX и OY соответственно.Если V – прямоугольный параллелепипед, то справедлива общая формула Гаусса-Остроградского.В случае произвольного компакта V нужно разбить его на несколько компактов, для каждого из которых верна общаяформула Гаусса-Остроградского.23Если обозначить divF =∂P ∂Q ∂R, то краткая запись формулы Гаусса-Остроградского будет иметь вид:++∂x ∂y ∂z∫∫ Fd S = ∫∫∫ divF dxdydz .S+VПотенциальное, соленоидальное и гармоническое поляПоле F называется потенциальным, если найдется такая функция U = U ( x, y , z ) , называемая потенциалом поля F , чтоF = gradU .Как было изложено выше в поверхностно односвязной области D ⊂ ℜ это эквивалентно условию:3rot F = 0 .Можно непосредственным вычислением проверить, что rot gradU = 0 .
В потенциальном поле работа вдоль любого пути сначалом в точке A(a1 , a2 , a3 ) и концом в точке B (b1 , b2 , b3 ) равна разности потенциалов U ( B ) − U ( A) , т.е.∫ Fd r = U ( B) − U ( A)ABи не зависит от выбора пути.ПолеF называется соленоидальным, еслиdivF = 0 .Можно доказать, что существует такое поле F1 , что F = rot F1 . Не трудно проверить, чтоdiv rot F1 = 0для любого поля F1 .В соленоидальном поле вектор-функцииформулы Гаусса-ОстроградскогоF через любую кусочно-гладкую замкнутую поверхность равен нулю, т.к. в силу∫∫ Fd S = ∫∫∫ divF dxdydz = 0 .S+VНазовем поверхность S – соленоидом, если в каждой точке этойF лежит в касательной плоскости к S .
Пусть S –соленоидальная трубка и S1 и S 2 – сечения этой трубки. Тогда потокиповерхности, векторполяF через S1 и S2 совпадают, т.е.∫∫ Fd S = ∫∫ Fd S .S1−S2+Поле F называется гармоническим, если существует такая гармоническая функция U = U ( x, y , z ) , т.е. функция,удовлетворяющая уравнению Лапласа ΔU =∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U++= 0 , что F = gradU .∂x 2 ∂y 2 ∂z 2В этом случае выполняются равенства⎧ rotF = 0,⎨⎩divF = 0т.е. гармоническое поле F является и потенциальным, и соленоидальным.Назовем поле F центральным, если__F = f ( r )⋅r ,где r = ( x, y, z ) - радиус-вектор, а f ( t ) - произвольная дифференцируемая функция.Поле F называется Ньютоновым полем, если F = C ⋅rr3.Утверждение. Всякое центральное гармоническое поле есть Ньютоново поле; верно и обратное.24Доказательство.
Пусть F = f( r )⋅r .Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что rotF = 0 иdivF = r ⋅ f ' ( r ) + 3 ⋅ f ( r ) = 0 .Обозначим t = r . Тогда последнее равенство примет вид :t ⋅ f '(t ) + 3 f (t ) = 0Решая это дифференциальное уравнение, получим значениеCf (t ) = 3 , C ∈t_- константа. Следовательно, имеем равенство: F = C ⋅Если F -Ньютоново поле, тоrr3.rotF = 0 и divF = 0 .Если U - потенциал поля F , то div ( gradU ) = ΔU = 0 , т.е. F - гармоническое поле. Утверждение доказано.Действительно, т.к.
divF = 0 (поток через поверхность S соленоидальной трубки равен нулю), т.е.∫∫ Fds = 0 ,Sто.∫∫ Fds + ∫∫ Fds = 0 или ∫∫ Fds = ∫∫ Fds .S1+S2+S1−S2+Этот закон характерен для потоков жидкости или газа.Поле F называется гармоническим, если существует такая гармоническая функция U = U ( x, y , z ) , т.е. функция,удовлетворяющая уравнению Лапласа ΔU =∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U++= 0 , что F = gradU .∂x 2 ∂y 2 ∂z 2В этом случае выполняются равенства⎧ rotF = 0,⎨⎩divF = 0т.е. гармоническое поле F является и потенциальным, и соленоидальным.Назовем поле F центральным, еслиF = f ( r )⋅r ,где r = ( x, y, z ) - радиус-вектор, а f ( t ) - произвольная дифференцируемая функция.Поле F называется Ньютоновым полем, если F = C ⋅rr3.Утверждение. Всякое центральное гармоническое поле есть Ньютоново поле; верно и обратное.Доказательство.
Пусть F = f( r )⋅r .Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что rotF = 0 и__div F = r ⋅ f ' ( r ) + 3 ⋅ f ( r ) = 0 .Обозначим t = r . Тогда последнее равенство примет вид:t ⋅ f '(t ) + 3 f (t ) = 0Решая это дифференциальное уравнение, получим значениеf (t ) =C, C∈t3- константа.__Следовательно, имеем равенство: F = C ⋅_rr3.
Если F - Ньютоново поле, то25rotF = 0 и divF = 0 .Если U - потенциал поля F , то div ( gradU ) = ΔU = 0 , т.е. F - гармоническое поле. Утверждение доказано.Дополнение 1. Применение формулы Грина для доказательства задач:Пусть D - односвязная замкнутая область, L - замкнутая кусочно-гладкая граница D, n - внешняя нормаль к границе L;ΔU =∂ 2U ∂ 2 U- оператор Лапласа; функция U называется гармонической, если в области D выполняется равенство:+∂y 2∂x 2ΔU = 0 .Все рассматриваемые функции непрерывны в области D.Задача 1.⎛ ∂P∂Q ⎞⎜⎜⎟⎟ = ∫ Pdy − Qdx+∫∫∂∂xy⎝⎠ ( )( )DЗадача 2.L∂U∫∫ ΔU ⋅ dxdy = (∫) dn ds( )DЗадача 3.L⎛ ∂U ∂V ∂U ∂V ⎞∂U⎟⎟dxdy + ∫ V+ds∂x∂y ∂y ⎠∂nVΔU ⋅ dxdy = − ∫∫ ⎜⎜∫∫⎝ ∂x( )DЗадача 4.⎛∫∫ (VΔU − UΔV )dxdy = (∫)⎜⎝V( )DL∂U∂V ⎞−U⎟ds∂n∂n ⎠Задача 5. Доказать, что для всякой гармонической функции∂U∫( ) ∂n=0LЗадача 6.
Доказать, что значения гармонической функции U в области D однозначно определяются значениями этой функциина границе L.Задача 7. Доказать теорему о среднем для гармонических функций:Пусть K R - окружность радиуса R, лежащая в области D с центром в точке ( x 0 , y 0 ) , U- гармоническая функция.
Тогдасправедлива формула:U ( x0 , y 0 ) =1U ⋅ ds2πR ( K∫R )Задача 8. Пусть U- гармоническая функция отличная от константы. Доказать, что для любой области D функция U достигаетсвоих максимального и минимального значений на границе L этой области.Решения и указания к решениям задач 1-8.2) Заметим, что n=(dy,−dx ) иds∂U∂U∂Uds =dy −dx . Применяя формулу Грина, получим равенство задачи 2.∂n∂x∂y3) Решение аналогично задачи 2 следует из равенства:V∂U∂U∂Uds = Vdy − Vdx∂n∂x∂y4) Следует из задачи 3, если переменить в 3 функции U и V и вычесть полученное равенство из равенства 3.5) Следует из задачи 2.6) Пусть две гармонические функции U 1 и U 2 принимают одинаковые значения на границе L .
Обозначим U = U1 − U 2 .Тогда из задачи 2 следует, что⎡⎛ ∂U ⎞ 2 ⎛ ∂U ⎞ 2 ⎤∂U ∂U∫∫ ⎢⎢⎜⎝ ∂x ⎟⎠ + ⎜⎜⎝ ∂y ⎟⎟⎠ ⎥⎥ dxdy = 0 ⇒ ∂x = ∂y = 0 , т.е. функция U=const в области D. Кроме того, U=0 на границе L ⇒⎦⎣U ≡ 0 ⇒ U1 ≡ U 2 .7) Пусть в равенстве задачи 4: V = ln r , где r =( x − x 0 )2 + ( y − y 0 )2. V-гармоническая функция на всей плоскости заисключением точки ( x 0 , y 0 ) . Тогда на границе круга K R функция V = ln R - константа и, следовательно,26∫Vиз равенства задачи 2 интегралKR∂Uds = 0 .
Далее, рассмотрим произвольный круг радиуса ρ < R . Так как∂n∂V ∂ ln r 11== , то из равенства задачи 4 следует, что∂n∂rrρ1∫ Uds = R ∫ Uds .При ρ → 0 предел интеграла в левой частиKRKρравенства равен 2π ⋅ U ( x 0 , y 0 ) , что и доказывает равенство 6.8) следует из задачи 7.Дополнение 2. Применение формул Гаусса – Остроградского и Стокса.Задача. Доказать закон Архимеда: на тело погруженное в жидкость действует выталкивающая сила равная весу жидкостивытесненной телом.Решение. Известно, что давление жидкости на элемент dS поверхности S тела V погруженного в жидкость действует давлениеравное весу столба жидкости с основанием dS, высотой равной глубине погружения и направлено по нормали n к элементуdS.Выберем координатную систему следующим образом: плоскость xy совместим с поверхностью жидкости, а ось z направимвертикально вверх.()Обозначим p- плотность жидкости, F = Fx , Fy , Fz - вектор силы давления жидкости на тело V,P = ( z ,0,0 ), Q = (0, z,0), R = (0,0, z ) .
Заметим, что div P =div Q =0 и div R =1.Используя формулу Гаусса-Остроградского, получим равенства:Fx = p ∫∫ ( P ⋅ n )ds = p ∫∫∫ divPdv = 0S(V)Fy = p ∫∫ Q ⋅ n ds = p ∫∫∫ divQdv = 0S(V)Fz = p ∫∫ R ⋅ n ds = p ∫∫∫ divRdv = pVSVчто и требовалось доказать.Применяя формулу Гаусса-Остроградского доказать следующие задачи:Пусть D-поверхностно-односвязная замкнутая область, S-замкнутая кусочно-гладкая поверхность, являющаяся границейобласти V ⊂ D , n-внешняя нормаль к поверхности S;ΔU =∂ 2U ∂ 2U ∂U-оператор Лапласа; функция U называется гармонической, если в области D выполняется++∂z∂y 2∂x 2равенство: ΔU = 0 .Все рассматриваемые функции непрерывны в области D.Задача 1.∂U∫∫∫ ΔUdxdydz = ∫∫ ∂n dsVSЗадача 2.
Доказать, что для всякой гармонической функции∂U∫∫ ∂n ds = 0SЗадача 3. Доказать, что значения гармонической функции U в области V однозначно определяются значениями этой функциина границе S.Задача 4. Доказать теорему о среднем для гармонических функций:Пусть S R - сфера радиуса R лежащая в области D с центром в точке ( x 0 , y 0 ) , U- гармоническая функция. Тогда справедливаформула:U (x0 , y 0 , z 0 ) =14πR 2∫∫U ( x, y, z)dsSRЗадача 5. Пусть U- гармоническая функция отличная от константы.
Доказать, что для любой области V функция U достигаетсвоих максимального и минимального значений на границе S этой области.Указание. Доказательство этих задач аналогично доказательству соответствующих задач на плоскости с использованиемформулы Грина.27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
