Лекции Макарова 4 семестр(alternative ver.) (1111781), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Тогда компакт М разобьется на m⋅ n компактов Mij , im= 1,…,n; j=1,…,m.Выберем в каждом Mij точку ( xij ; yij ) ∈ M ij и напишем соответствующую интегральнуюсумму:mnnmi =1j =1S ( f , t ) = ∑∑ f ( xij , yij )Δ iδ j = ∑ Δ i ∑ f ( xij , yij )δ ii =1 j =15mВнутренняя сумма∑ f (x , yijj =1ij)δ j соответствует интегральной сумме, стремящейся к интегралу:dF ( xi ) = ∫ ( xi , yi )dycnт.

е.∑ f (x , yijj =1ij)δ j = F ( xi ) + α (m) где lim α (m) = 0 .m →∞Следовательно, мы можем записатьnmni =1i =1i =1S ( f , t ) = ∑ F ( xi )Δ i + ∑ δ j ⋅ α (m) = ∑ F ( xi )Δ i + α (m) ⋅ (b − a)(d − c)Из последнего равенства следует при n, m → ∞ :∫∫Mbf ( x, y )dxdy = ∫ F ( x)dx ,aчто и требовалось доказать.Рассмотрим теперь случай, когда M - криволинейная трапеция:dТак как функции y1 ( x ) и y2 ( x ) ∈ C[ a, b] , то они ограничены.y=y2(x)[Пусть y1 ( x ) ≥ c и y2 ( x ) ≤ d , x ∈ a, bMДополним компакт M до прямоугольника:y=y1(x)a≤ x≤b⎧M 1 = ⎨ ( x, y ) :c≤x≤d⎩ca]а функцию f ( x, y ) доопределим на M 1 следующим образом:b⎧ f ( x, y ), åñëè ( x, y ) ∈ Mf1 ( x, y ) = ⎨⎩ 0, åñëè ( x, y ) ∈ M 1 \ MТогда по доказанному вышеbdacby2 ( x )ay1 ( x )∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx ∫11M1f ( x, y )dyчто и требовалось доказать.По аналогии с доказанным выше, рассмотрим криволинейную трапециюM = { ( x, y ) :yc≤ y ≤ dx1 ( y )≤ x≤ x2 ( y )доказывается равенство:∫∫Mdf ( x, y )dxdy = ∫ dycx1 ( y )∫f ( x, y )dxx2 ( y )Замечание.

Если М – прямоугольникdx = x1(y){ ( x, y ) :M2(y)=x=xMcxа функцияf ( x, y ) = f1 ( x) f 2 ( y ) , гдесправедливоравенство:∫∫Mинтеграл равен произведению однократных.6a≤ x≤b ,c≤ y ≤df1 ( x) ∈ C [a, b] ,bdacf 2 ( y ) ∈ C [c, d ] , тоf ( x, y )dxdy = ∫ f1 ( x)dx ∫ f 2 ( y )dy , т.е. двойнойЗамена переменных в двойном интеграле⎧ x = x (u , v), (u, v) ∈ M 1ℜ2 функциями: ⎨.⎩ y = y (u , v), ( x, y ) ∈ M∂x ∂y ∂x ∂y, , , ∈ C ( M 1 ) непрерывны на M 1 и якобианМы будем предполагать также, что все функции x(u , v ), y (u , v),∂u ∂u ∂v ∂vПусть задано отображениеϕ : M 1 → M , M 1 , M ⊂ ℜ2⎛ ∂x⎜J (u, v) ≠ 0 отличен от нуля J (u, v) = det ⎜ ∂u⎜ ∂x⎜⎝ ∂vкомпакты в∂y ⎞δu ⎟⎟∂y ⎟⎟∂v ⎠Условие отличия от нуля якобиана J (u , v ) замены отображенияВ этом случае справедливо равенство:ϕгарантирует взаимную однозначность этого отображения.∫∫ f ( x, y) dxdy = ∫∫ f ( x(u, v), y(u, v)) J (u, v) dudv ,Mгде f ( x, y ) ∈ C ( M ) –M1функция, непрерывная на M .Заметим, что, если f ( x, y )= 1 , то последнее равенство примет вид:∫∫ dxdy = ∫∫ J (u, v) dudvMM1Из свойств двойного интеграла получается соотношение:S ( M ) = J (u 0 ; v 0 ) ⋅ S ( M 1 ), (u 0 ; v 0 ) ∈ M 1 .J (u0 ; v0 ) =илиS (M )S (M1 )которое показывает, что модульJ (u , v)якобиана замены есть коэффициент преобразования площади.Пример.

Найти площадь компакта S(M), ограниченного кривой(a1 x + b1 y ) 2 + (a2 x + b2 y ) 2 = 1гдеa1a2b1= δ ≠ 0.b2Решение. Введем новые переменные (u,v) равенствами:⎧u = a1 x + b1 y⎨⎩v = a2 x + b2 yили1⎧⎪⎪ x = δ (b2u − b1 y )⎨⎪ y = 1 (−a u + av )21⎪⎩δТогдаJ (u , v) =1δ.В новых координатах исходное уравнение примет вид:u 2 + v 2 = 1 - окружность радиуса 1, площадь которой равна π.Следовательно, по доказанному выше: S (M ) =π .δНесобственные двойные интегралы.Пусть М – неограниченное множество в ℜ , такое, что существует последовательность компактов М1, М2,…;2∞M = ∪ M K , M K ⊂ M K +1 .K =17Тогда назовём двойным интегралом на М от функции f(x, y) предел:∫∫ f (x, y )dxdy = lim ∫∫ f (x, y )dxdyK →∞MMKЕсли он существует и не зависит от выбора системы компактов {MK} . В качестве примера рассмотрим интеграл∫∫ eℜ− x2 − y2dxdy .

Можно доказать, что этот интеграл существует.2Возьмём в качестве множеств МК квадраты:⎧x ≤KK = 1,2,3, …M K = ⎨(x, y ) :y≤K⎩Тогда∫∫ e− x2 − y2KKdxdy =∫ dx ∫ e−KMK+∞ОбозначимI=2−K− x2 − y 2⎛ K − x2 ⎞dy = ⎜⎜ ∫ e dx ⎟⎟ и⎝ −K⎠2∫∫ e− x2 − y2ℜ2⎛ +∞ 2 ⎞⎛K 2 ⎞dxdy = lim ⎜⎜ ∫ e − x dx ⎟⎟ = ⎜⎜ ∫ e − x dx ⎟⎟K →∞⎝ −∞⎠⎝ −K⎠2−x∫ e dx , известный как интеграл Пуассона (или интеграл вероятности).2−∞Итак, мы доказали, что∫∫ e− x2 − y2dxdy = I 2 .ℜ2{ } окружности:'Возьмем теперь в качестве системы компактов M kM k' = {( x, y ) : x 2 + y 2 ≤ K 2 } , k = 1, 2,...

.Сделаем в интеграле∫∫ e− x2 − y 2dxdyM k'⎧ x = r ⋅ cos ϕ ⎫⎬⎩ y = r ⋅ sin ϕ ⎭замену: ⎨Якобиан замены I ( r , ϕ )⎛ ⎛ ∂x⎜⎜равен I ( r , ϕ ) = det ⎜ ⎜ ∂r⎜ ⎜ ∂x⎜ ⎜ ∂ϕ⎝⎝В результате этой замены получим интеграл:−x∫∫ e∂y ⎞ ⎞⎛ ⎛ cos ϕdr ⎟ ⎟⎟⎟ = det ⎜ ⎜∂y ⎟ ⎟⎝ ⎝ − r sin ϕdϕ ⎟⎠ ⎟⎠2− y2dxdy =M k'Следовательно, имеет равенство I 2 =∫∫ eR− x2 − y 2K00−r−K∫ dϕ ∫ r ⋅ e dr = π − e .dxdy = lim ∫∫ e − xK →∞22πsin ϕ ⎞ ⎞.⎟⎟ = rr cos ϕ ⎠ ⎠2− y222(dxdy = lim π − e − KM K'n →∞2)=πи I =π.Тройной интегралНазовем V ( M ) объемом компакта M ⊂3точную нижнюю грань объемов V ( Pn ) многогранников Pn содержащих M ,т.е.V ( M ) = inf V ( Pn ) .M ⊂ PnОтметим два основных свойства V ( M ) :1)V (M ) ≥ 0 ;2)если M 1 и M 2 компакты в ℜ такие, что V ( M 1 ∩ M 2 ) = 0 , то V ( M 1 ∪ M 2 ) = V ( M 1 ) + V ( M 2 ) .38Можно доказать следующее утверждение: если компактная поверхностьS задается уравнением z = z ( x, y ) , гдеz ( x, y ) ∈ C ( P ) , функция z ( x, y ) непрерывна на проекции P поверхности S на плоскость x y , то V ( S ) = 0 .Назовем T такое разбиение компакта M =n∪Mk, что V ( M i ∩ M j ) = 0 , i ≠ j , т.е.

объем пересечения любых двухk =1элементов разбиения M i и M j равен нулю; диаметром d (T ) разбиения T назовем максимум диаметром элементовразбиения M k , k = 1,..., n :d (T ) = max d ( M k ) ;kинтегральной суммой S ( f , T ) ограниченной на M функции f ( x, y , z ) назовем величину:nS ( f , T ) = ∑ f ( xk , yk , zk ) V ( M k ) ,k =1где точки ( xk , yk , zk ) ∈ M k .Определение. Тройной интеграл функции f на компакте M есть предел интегральных сумм S ( f , T ) при d (T ) → 0 , т.е.∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz :=Mlim S ( f , T ) .d (T ) → 0Это определение есть обобщение определения двойного интеграла.Свойства тройного интеграла.1)Если V ( M ) = 0 , то∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = 0 .M2)Если f ( x, y , z ) ≡ 1 , ( x, y , z ) ∈ M , то∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = V (M ) .M3)Если функции f ( x, y , z ) и g ( x, y , z ) интегрируемы на M иλ, μ ∈– константы, то∫∫∫ (λ f ( x, y, z) + μ g ( x, y, z ))dxdydz =λ ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz + μ ∫∫∫ g ( x, y, z)dxdydz .M4)MЕсли M 1 и M 2 компакты в∫∫∫M1 ∪ M 25)3Если M ⊂3Mтакие, что V ( M 1 ∩ M 2 ) = 0 , тоf ( x, y, z ) dx dydz = ∫∫∫ f ( x, y , z ) dxdydz + ∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz .M1M2– связный компакт и функция f ∈ C ( M ) непрерывна на M , то∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = f ( x , y , z )V (M ) ,000Mгде точка ( x0 , y0 , z0 ) ∈ M (теорема о среднем).Доказательство этих свойств дословно повторяет доказательство соответствующих свойств для двойного интеграла.Можно доказать, что всякая непрерывная на компакте функция интегрируема на этом компакте.Можно также рассматривать тройные интегралы на ограниченных множествах M , не являющихся компактами, но еслиV (∂M ) = 0 , т.е.

объем границы M равен нулю, то положим по определению∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz := ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz .MMПереход от тройного интеграла к повторному.Предположим, что компакт M ⊂3есть цилиндроид:z ( x , y ) ≤ z ≤ z 2 ( x, y )⎧,M = ⎨( x, y , z ) : 1( x, y ) ∈ P⎩где P – проекция M на плоскость xy . Кроме того, предположим, что функция f ( x, y , z ) ∈ C ( M ) непрерывна на M , афункции z1 ( x, y ) и z2 ( x, y ) ∈ C ( P ) непрерывны на P .9zВ этом случае справедливо равенство:z2 ( x , y )z=z2(x,y)∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = ∫∫ dxdy ∫MPf ( x, y, z ) dzz1 ( x , y ).Если P есть криволинейная трапеция:a≤ x≤b⎧P = ⎨( x, y ) :,y1 ( x) ≤ y ≤ y2 ( x)⎩Мz=z1(x,y)где y1 ( x) и y2 ( x ) ∈ C [ a, b] – непрерывные наy[a, b] функции, то в этом случае получаемравенство:Рby2 ( x )ay1 ( x )∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ dx ∫Mxz2 ( x , y )dy∫f ( x, y, z )dzz1 ( x , y ).Пример.Вычислить интеграл∫∫∫ ( x, y, z ) dxdydz ,M0 ≤ x ≤1⎧треугольная пирамида, ограниченная плоскостями:где M = ⎪( x, y, z ) : 0 ≤ y ≤ 1 − x⎨⎪0 ≤ z ≤ 1− x − y⎩Применим формулу повторного интегрирования:11− x1− x − y000∫∫∫ ( x + y + z )dxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫M11− x⎛ 1 ( x + y) 2= ∫ dx ∫ ⎜⎜ −2200 ⎝11− x00( x + y + z )dz = ∫ dx ∫1⎛⎞y ( x + y)⎟⎟dy = ∫ ⎜ −⎜26⎠0⎝3 1− x0⎛ ( x + y + z) 2dy⎜⎜2⎝1− x − y0x = 0 , y = 0 , z = 1− x − y , z = 0 .⎞⎟=⎟⎠13⎞⎟dx = ⎛⎜ 1 − x − 1 + x ⎞⎟dx = 1 − 1 + 1 = 3∫0 ⎜⎝ 2 6 3 ⎟⎠ 2 6 24 8⎟⎠Отметим один важный случай: если М – прямоугольный параллелепипедM = {( x, y, z ) : a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d ; m ≤ z ≤ n}и функцияf ( x, y , z ) = f 1 ( x ) ⋅ f 2 ( y ) ⋅ f 3 ( z ) ,где функцииf1 ( x) ∈ C [a, b], f 2 ( y ) ∈ C [c, d ], f 3 ( z ) ∈ C [m, n ]bтоd∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz = ∫ f ( x)dx ⋅ ∫ f1Macn2( y )dy ⋅ ∫ f 3 ( z )dzmЗамена переменных в тройном интеграле.Рассмотрим отображениеϕ : M 1 → M , которое задается функциями:⎧ x = x(u, v, w)⎪⎨ y = y (u, v, w)⎪ z = z (u, v, w)⎩(u, v, w) ∈ M 1 , ( x, y, z ) ∈ M .Предположим, что все функцииx(u, v, w), y (u , v, w), z (u , v, w),∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z, , , , , ,,,∈ C (M 1 )∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂z ∂w ∂w ∂wнепрерывны на M1 и якобиан J(u,v,w) отличен от нуля10⎛ ∂x⎜⎜ ∂u∂xJ (u, v, w) = det⎜⎜ ∂v⎜ ∂x⎜⎝ ∂w(u, v, w) ∈ M 1∂y∂u∂y∂v∂y∂w∂x ⎞⎟∂u ⎟∂z ⎟≠0∂v ⎟∂z ⎟⎟∂w ⎠в этом случае отображениеϕ : M 1 → M есть взаимнооднозначное и дифференцируемое отображение.Пусть М1 и М2 – компакты и функция f ( x, y , z ) ∈ C ( M ) непрерывна на M.Тогда справедливо равенство:∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f ( x(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)) ⋅ J (u, v, w) dudvdw .MM1Если f ( x, y , z ) ≡ 1 , то, используя теорему о среднем, получим равенство:V ( M ) = J (u 0 , v0 , w0 ) ⋅ V ( M 1 )где (u 0 , v 0 , w0 ) ∈ M 1 , это равенство означает, что модуль Якобиана замены есть коэффициент изменения объема приотображении φ.Цилиндрические и сферические координаты.Рассмотрим две наиболее часто встречающиеся замены переменных:Цилиндрические координаты1)⎧ x = r cos ϕ, r ≥ 0⎪⎨ y = z sin ϕ , ϕ ∈ [0,2π ]⎪ z = z, z ∈ R⎩В этом случае якобиан J ( r , ϕ , z ) замены переменных равен:⎛ ∂x ∂y ∂z ⎞⎟⎜sin ϕ 0 ⎞⎛ cos ϕ⎜ ∂r ∂r ∂r ⎟⎟⎜∂x ∂y ∂z ⎟⎜J (r , ϕ , z ) = det= det⎜ − r sin ϕ r cos ϕ 0 ⎟ = r⎜ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⎟⎜ 0⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟01 ⎟⎠⎝⎟⎜⎝ ∂z ∂z ∂z ⎠Название «цилиндрические координаты» происходит из-за того, чтопри фиксированном значении r = R > 0 и переменных φ, z получим прямой круговой цилиндр с осью OZ, в основаниикоторого лежит окружность радиуса R.2) Cферические координаты⎧ x = r cos ϕ ⋅ cos θ⎪⎨ y = r cos ϕ ⋅ sin θ⎪ z = r ⋅ sin ϕ⎩r ≥ 0;−π2≤ϕ ≤π2;0 ≤ θ ≤ 2πЯкобиан J ( r , ϕ , θ ) = r cos ϕ2Название сферические происходит из-за того, что при фиксированном значенииполучим сферу радиуса R c центром в начале координат.Пример.

Характеристики

Список файлов лекций