Лекции Макарова 4 семестр(alternative ver.) (1111781), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Когда нормаль вернется в исходную точку, то она либосовпадет по направлению с исходным положением, либо изменится на16противоположную.Определение. Поверхность называется двухсторонней, если при движении нормали по любой замкнутой кривой,лежащей на поверхности, при возвращении в исходную точку нормаль сохранит свое направление.Следовательно, для двухсторонних связных поверхностей, задав положение нормали в одной точке, мы однозначноопределяем положение нормали в любой другой точке.Поэтому можно говорить, что на поверхности определены две стороны S + и S − в зависимости от выбора нормалиn + или n − .Замечание. Существуют односторонние поверхности (лист Мёбиуса).Пусть теперь в некоторой области D ⊂3, содержащей двухсторонюю поверхность S , задана вектор-функцияF = ( P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )) ,где P, Q, R - непрерывные функции в D .Определение. Поверхностным интегралом 2-го рода от вектор функции F по выбранной стороне поверхности S +называется интеграл вида:∫∫ F ⋅ dS := ∫∫ ( F ⋅ n )dS ,+S+Sгде ( F ⋅ n+ ) - скалярное произведение векторов F и n+ .Этот интеграл называют потоком вектор-функции F через заданную сторону поверхности S + .Так как n+ = − n− , то из определения поверхностного интеграла 2ого рода следует важное свойство:∫∫ F d SS+Если n + == − ∫∫ F d S[e1 × e2 ] , тоS−e1 × e2∫∫ F dS = ∫∫S+F ⋅ e1 ⋅ e 2 dudv ,M⎛⎜P⎜∂xгде F ⋅ e1 ⋅ e2 = det⎜⎜ ∂u⎜ ∂x⎜⎝ ∂v⎞R⎟⎟∂z ⎟– смешанное произведение векторов F , e1 и e2 .∂u ⎟∂z ⎟⎟∂v ⎠Q∂y∂u∂y∂vПример.
Найти поток вектора F = ( x, y, z ) через внешнюю сторону поверхности сферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2Решение. Так как внешняя нормаль к поверхности сферы имеет видn+ =(x, y, z ) , тоR(F ⋅ n + ) = x2+ y2 + z2= R и следовательно,R∫∫ FdS = ∫∫ RdS = 4πRS+3.SФормула Грина.Пусть D ⊂2– область на плоскости содержащая замкнутую кусочно-гладкую кривую L без самопересечений; M – компакт,M ⊂ D и граница ∂M = L ; F = (P, Q ) - вектор - функция такая, что P = P( x, y ) ,Q = Q ( x, y ) ,∂P ∂Q,∈ C (D )∂y ∂xнепрерывны в D. бозначим L+ направление обхода компакта М, при котором внутренняяобласть М остаётся слева.17Тогда имеет место формула Грина:⎛ ∂Q∂P ⎞∫ Pdx + Qdy = ∫∫ ⎜⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎟⎠dxdyL+(символM∫означает интегрирование по замкнутой кривой L+ в указанном выше направлении).L+Доказательство.
Рассмотрим несколько случаев. Пустьтрапеция:M – есть криволинейнаяa≤ x≤b⎧M = ⎨( x, y ) :y1 ( x) ≤ y ≤ y2 ( x)⎩и функции y1 ( x ) , y2 ( x) ∈ C [ a, b] непрерывны на [a, b] и Q ( x, y ) ≡ 0 .Разобьем границу L компакта M на четыре гладкие кривые:a≤ x≤b⎧L1 = ⎨( x, y ) :y = y1 ( x)⎩x=b⎧L2 = ⎨( x, y ) :y1 (b) ≤ y ≤ y2 (b)⎩a≤ x≤b⎧L3 = ⎨( x, y ) :y = y2 ( x )⎩⎧x=a⎩y1 (a) ≤ y ≤ y2 (a)0 L4 = ⎨( x, y ) :xТогда представим интеграл по замкнутой кривой L в виде суммы четырехинтегралов:∫ Fd r = ∫ Fd r + ∫ Fd r + ∫ Fd r + ∫ Fd rL 1+L+L +2L 3+L +4Вычисляя каждый из четырех интегралов, получим равенства:∫L 1+bPdx = ∫ P( x, y1 ( x))dxa∫ Pdx = ∫ Pdx = 0L +2∫L 3+L +4abbaPdx = ∫ P( x, y2 ( x))dx = − ∫ P ( x, y2 ( x))dxb∫ Pdx = ∫ ( P( x, y1 ( x)) − P( x, y2 ( x))dxLaС другой стороны, вычисляя двойной интеграл с помощью повторного, получим равенство:y2 ( x )bbδPδP∫∫M δ y dxdy = ∫a dx y ∫( x ) δ y dy = ∫a ( P( x, y2 ( x)) − P( x, y1 ( x)))dx1Следовательно, доказано равенство:∂P∫ Pdx = − ∫∫ ∂y dxdyL+MАналогично, рассматривая криволинейную трапецию вида18c≤ y≤d⎧,M = ⎨ ( x, y ) :≤≤xyxxy()()⎩12где x1 ( y ),x2 ( y ) ∈ C [ c, d ] - непрерывные функции на [ c, d ] .Кроме того, предполагая, что P ( x, y ) ≡ 0 , получаем равенство:∂Q∫ Qdy = ∫∫ ∂x dxdyL+Если компактMM есть прямоугольник,a≤ x≤b⎧,M = ⎨ ( x, y ) :c≤ y≤d⎩то из доказанного выше следует, что⎛ ∂Q ∂P ⎞PdxQdy+=∫L+∫∫M ⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎠ dxdy ,что и доказывает формулу Грина для прямоугольника.M на компакты, для каждого из которыхформула Грина справедлива, получаем, что формула Грина верна и для M .В общем случае, разбивая компактНезависимость криволинейного интеграла от пути интегрирования в односвязной области на плоскости.Выше был рассмотрен пример работы в гравитационном поле F = −crr3При этом было замечено, что эта работа при перемещении точечной массы из точки А в точку В вдоль любого пути непроходящего через начало координат равна разности потенциалов U(B) – U(A), где U =c, т.е.
не зависит от пути, а зависитrот начальной и конечной точек этого пути. При этом потенциал U и поле F связаны равенством:gradU = F .Такие поля называются потенциальными. В дальнейшем мы более подробно рассмотрим такие поля.Область D ⊂ R на плоскости называется односвязной, если для любой кусочно-гладкой замкнутой без самопересечений2кривой L ⊂ D часть плоскости М, лежащая внутри кривой L также принадлежит области D.Примерами односвязных областей являются круг, прямоугольник,…Примерами неодносвязных областей являются круг с выколотой точкой – центром круга, кольцо,…Пусть D – односвязная область на плоскости; функции P = P(x,y), Q = Q(x,y),∂P ∂Q,∈∂y ∂x( D) .Теорема. Следующие четыре утверждения эквивалентны:1) ПустьA ( a1 , a2 ) , B ( b1 , b2 ) ∈ Dдве произвольные точки в области D иL1 , L2 – две кусочно-гладкие кривые такжележащие в D такие, что начальная точка этих кривых – А, а конечная В.
Тогда справедливо равенство:∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + QdyL12) еслиL2L ⊂ D произвольная замкнутая кусочно-гладкая кривая, то∫ Pdx + Qdy = oL3) для всех точек ( x, y ) ∈ D в области D выполняется равенство∂P ∂Q=∂y ∂x4) существует дифференцируемая функцияu = u ( x, y ) такая, чтоdu = Pdx + Qdy19Доказательство.Утверждения 1) и 2) эквивалентны, т.к. из равенства∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy следует, что ∫ Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy = 0 .L1+L+2L1+L−2Докажем эквивалентность утверждений 2) и 3).
Пусть выполняется утверждение 3), т.е.замкнутую кусочно-гладкую кривую∂Q ∂Pв области D . Рассмотрим=∂x ∂yL ⊂ D без самопересечений. Применяя формулу Грина, получим равенство:⎛ ∂Q ∂P ⎞∫L Pdx + Qdy = ∫∫M ⎜⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎟⎠dxdy = 0 .+Пусть теперь выполняется утверждение 2; ( x 0 ; y 0 ) ∈ D - произвольная точка. Рассмотрим круг C r радиуса r с центром вточке ( x0 ; y 0 ) . Применяя формулу Грина и теорему о среднем для двойного интеграла, получим соотношения:0=∫ Pdx + Qdy =C z+⎛ ∂Q ∂P ⎞∂P ⎞2 ⎛ ∂Q−−⎜⎟dxdy = π r ⎜⎟ x = x1∂∂∂yxy222 ⎝ ∂x⎠⎝⎠( x − x0 ) + ( y − y0 ) ≤ ry = y1∫∫где точки ( x1 , y1 ) - некоторая внутренняя точка круга C r . Из этого равенства следует, что⎛ ∂Q ∂P ⎞⎟⎟ x = x1 = 0⎜⎜−∂∂xy⎠⎝y = y1для любого сколь угодно малого значения r.
Переходя к пределу при r → 0 получим равенство:∂P∂Q( x0 , y0 ) =( x0 , y0 )∂y∂xчто и доказывает эквивалентность утверждений 2 и 3.Итак, мы доказали, что утверждения 1), 2) и 3) эквивалентны. Для завершения доказательства теоремы докажемэквивалентность утверждений 1) и 4).Пусть выполняется утверждение 1. Зафиксируем точку A( a1 , a 2 ) ∈ D , а точку B ( x, y ) ∈ D не будем фиксировать.ОбозначимU ( x, y ) =∫ Pdx + QdyAB∪где AB - произвольная кусочно-гладкая кривая, лежащая в D .∂u∂u= pи=Q∂x∂yТогда из непрерывности P и Q будет следовать дифференцируемость функции U ( x, y ) в области D и равенство:Докажем, чтоdu = Pdx + Qdy .Пусть точка C ( x + Δx, y ) ∈ D и отрезок BC также лежит в D .Рассмотрим разность:U ( x + Δx, y ) − U ( x, y ) =∫ Pdx + Qdy − ∫ABPdx + Qdy =ABCx +Δx=∫ Pdx + Qdy = ∫ P ( t , y ) dx = P ( x , y ) ⋅ Δx1BCxгде x1 ∈ ( x, x + Δx ) в силу теоремы о среднем для однократного интеграла.
Тогда, вычисляя предел при Δx → 0 , получим,чтоU ( x + Δx , y ) − U ( x , y )∂U= lim= P ( x, y )Δx→0∂xΔxАналогично доказывается равенство20∂U= Q ( x, y ) .∂yТеорема доказана.Замечание. В неодносвязной области D теорема может нарушаться.x = cos t2πxdy − ydxcos td sin t − sin td cos tПример. Рассмотрим криволинейный интеграл ∫= y = sin t = ∫= 2π .22x +ysin 2 t + cos 2 t0x 2 + y 2 =10 ≤ t ≤ 2πС другой стороныт.е.y ⎞y 2 − x2∂P ∂ ⎛∂Q ∂ ⎛ x ⎞y 2 − x2;,= ⎜− 2===⎟⎜⎟∂y ∂y ⎝ x + y 2 ⎠ ( x 2 + y 2 )2 ∂x ∂x ⎝ x 2 + y 2 ⎠ ( x 2 + y 2 )2∂Q ∂P22, если x + y ≠ 0 .=∂x ∂y{}Полученное несоответствие условий 2 и 3 теоремы связано с тем, что область D = x + y ≤ 1, x + y ≠ 0 не является2222односвязной.Формула СтоксаФормула Стокса есть обобщение формулы Грина в трехмерном пространствеПусть в области D ⊂33.⎧ x = x ( u, v )задана гладкая двухсторонняя поверхность S , т.е.
уравнение поверхности имеет вид: ⎪⎨ y = y ( u, v )⎪ z = z ( u, v )⎩( u, v ) ∈ M ∈2,где функции x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) и их частные производные непрерывны в M . Граница L = ∂S - поверхности S есть кусочно-гладкая кривая._Задана вектор-функция F = ( P, Q, R ) , функции P = P ( x, y , z ) , Q = Q ( x, y, z ) , R = R ( x, y, z ) и их частные производныенепрерывны в_⎛ ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ⎞D . Обозначим: rot F = ⎜;;−−−⎟.⎝ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ⎠Теорема.
В сделанных выше предположениях имеет место формула Стокса:∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫ rotFds ,L+или более кратко:S+∫ Fdr = ∫∫ rotFds ,L+S+где ориентации L+ кривой и S + поверхность связаны следующим правилом: если смотреть с концаn+вектора n+ , то направление обхода L+ будет осуществляться против часовой стрелки; или по«правилу буравчика»: если вращать правый винт в сторону L+ , то он будет перемещаться внаправлении n+ .Представим вектор-функцию F в виде суммы F = F1 + F2 + F3 , где F1 = ( P, 0, 0) , F2 = (0, Q, 0) ,F3 = (0, 0, R) . Докажем формулу Стокса для F1 . Аналогичное доказательство можно применить иL+для полей F2 и F3 . Тем самым, формула Стокса будет доказана для вектор-функции F .⎛Заметим, что rotF1 = ⎜ 0,⎝∂P ∂P ⎞,−⎟∂z∂y ⎠Тогда правая часть формулы Стокса примет вид:21∂P ⎞∂y ⎟⎟,∂z ⎟dudv⎟∂u⎟∂z ⎟∂v ⎟⎠а левая часть запишется так:⎛⎜ 0⎜⎜ ∂x∫∫S rotFds = ∫∫M det ⎜ ∂u+⎜⎜ ∂x⎜ ∂v⎝∫ Fdr = ∫∂M +L+P∂P∂z∂y∂u∂y∂v−∂x∂xdu + P dv∂u∂vПрименяя формулу Грина к правой части последнего равенства, получим соотношения:∫∂M +P∂x∂x⎛ ∂ ⎛ ∂x ⎞ ∂ ⎛ ∂x ⎞ ⎞du + P dv = ∫∫ ⎜ ⎜ P ⎟ − ⎜ P ⎟ ⎟dudv∂u∂v∂u ⎝ ∂v ⎠ ∂v ⎝ ∂u ⎠ ⎠M ⎝Применяя формулу дифференцирования сложной функции, получим равенство:∂P∂P ⎞⎛⎜ 0 ∂z − ∂y ⎟⎜⎟,∂z ⎟⎜ ∂x ∂y∫L Fdr = ∫∫M det ⎜ ∂u ∂u ∂u ⎟ dudv = ∫∫S rotFds++⎜⎟∂z ⎟⎜ ∂x ∂y⎜ ∂v ∂v∂v ⎟⎠⎝что и доказывает теорему.Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
