Лекции Макарова 4 семестр(alternative ver.) (1111781), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Вычислить объемr = R > 0 и переменных φ и θVR шара радиуса R > 0 .Решение. Переходя к сферическим координатам, получим равенства:VR = ∫∫∫ dxdydz =VR2π∫ dθ0π2∫π−πRdϕ ∫ r 2 cos ϕ dr = 2π21102R423∫π cos ϕ dϕ ⋅ ∫0 r dr = 3 π R .−2Криволинейные интегралы⎧ x = x (t ) ⎫⎪⎪Пусть гладкая кривая L задана в R уравнениями: ⎨ y = y ( t ) ⎬ α ≤ t ≤ β⎪ z = z (t ) ⎪⎩⎭3(Точки A = x (α ) , y (α ) , z (α )конец кривойB(и B = x (β ), y (β ), z (β ))соответственно начало иL . Функции x ' ( t ) , y ' ( t ) , z ' ( t ) ∈⊂ [α , β ] непрерывно дифференцируемы[α , β ] . Кроме того, пусть задана функция f ( x, y, z ) ∈⊂ ( D )наL)непрерывная в областиD ⊂ R 3 , содержащей кривую L .DТогда криволинейным интегралом первого рода от функции f ( x, y , z ) по кривойALназовем следующий определенный интеграл:∫Lβf ( x, y, z ) dl := ∫ f ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ⋅( x ' ( t ) ) + ( y ' ( t ) ) + ( z ' ( t ) ) dt .22αЗаметим, что определение корректно, т.е.

не зависит от выбора параметра t . Действительно, если кривая[2][L задана в другой]параметризации: t = t ( u ) , u ∈ a, b , t ' ( u ) > 0, t ' ( u ) ∈⊂ a, b , то, делая замену в определенном интеграле t = t ( u ) ,получим равенство:β∫ f ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ⋅ ( x ' ( t ) ) + ( y ' ( t ) ) + ( z ' ( t ) ) dt =α2b(22) (x ) +( y ) +(z )= ∫ f x (t (u )) , y (t (u )) , z (t (u )) ⋅' 2t' 2t' 2t⋅ t ' ( u ) du =ab=∫ f ⋅ab( x ⋅ t ) + ( y ⋅ t ) + ( z ⋅ t ) du = ∫ f ⋅ ( x ) + ( y ) + ( z ) du't' 2u't' 2u't' 2u' 2u' 2u' 2uaт.е.

вид интеграла 1 рода не зависит от параметризации кривой L ._(Обозначим r ( t ) = x ( t ) , y ( t ) , z ( t ))_()и r' ( t ) = x ' ( t ) , y ' ( t ) , z ' ( t ) .Тогда краткая запись криволинейного интеграла 1 рода будет иметь вид:β∫ fdl = α∫ f ⋅ r ' ( t ) dt .LЕсли кривая L лежит в плоскости ОХУ, то z ( t ) = 0 и криволинейный интеграл примет вид:β∫ f ( x, y ) dl = α∫ f ( x ( t ) , y ( t ) ) ⋅ ( x ' ( t ) ) + ( y ' ( t ) ) dt .22LОтметим следующие свойства криволинейного интеграла 1 рода:Если f ( x, y , z ) ≡ 1 , то интеграл1)∫ dl = Lравен L - длине кривойL.L2)Непрерывную кривуюL , состоящую из конечного числа L1 ,..., Ln гладких кривых, мы будем называть кусочно-гладкой, и в этом случае имеет место равенство∫Lnfdl = ∑ ∫ fdl .k =1 Lk12Если существуют интегралы 1 рода от функций f ( x, y , z ) и g ( x, y , z ) по кусочно-гладкой кривой3)L , и λ, μ ∈ Rпроизвольные действительные числа, то справедливо равенство:∫ ( λ ⋅ f + μ ⋅ g ) dl = λ ⋅ ∫ fdl + μ ⋅ ∫ gdl .LLРассмотрим теперь криволинейные интегралы другого типа.(L)()Пусть задана вектор-функция F ( x, y , z ) = P ( x, y, z ) , Q ( x, y, z ) , R ( x, y , z ) или кратко F ( r ) = P ( r ) , Q ( r ) , R ( r ) ,где r = ( x, y, z ) .Будем предполагать, что функции P ( r ) , Q ( r ) и R ( r ) ∈⊂ ( D ) непрерывны в области D , содержащей гладкую кривуюL , которая задается уравнениями⎧ x = x (t )⎪⎨ y = y (t )⎪ z = z (t )⎩или кратко: r = r ( t ) , t ∈[α , β ] .Функции x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) и их производные непрерывны на отрезке()([α , β ] .)Точки A = x (α ) , y (α ) , z (α ) и B = x ( β ) , y ( β ) , z ( β ) есть соответственно начало и конец кривой L .Определение.

Криволинейным интегралом второго рода от вектора функции F ( r ) вдоль кривой L+ с началом в точкеAиокончанием в точке B называется интеграл:__∫ Fd r =L+β⎛ ⎛_ ⎞⎞⎛_ ⎞⎛_ ⎞++=⋅+⋅+PdxQdyRdz:Prtx'tQrty'tR∫L∫α ⎜⎝ ⎜⎝ ( ) ⎟⎠ ( ) ⎜⎝ ( ) ⎟⎠ ( ) ⎜⎝ r ( t ) ⎟⎠ ⋅ z ' ( t ) ⎟⎠ dt+(*)Докажем, что определение корректно, т.е. не зависит от выбора параметризации.⎧ x = x1 ( u ) = x ( t ( u ) )⎪⎪Пусть кривая L задана в другой параметризации ⎨ y = y1 ( u ) = y ( t ( u ) ) u ∈ [ a, b ] , т.е. r = r1 ( u ) = r ( t ( u ) ) , где t = t ( u )⎪⎪⎩ z = z1 ( u ) = z ( t ( u ) )[ ]- функция, определяющая связь между двумя параметризациями такая, что t ' ( u ) > 0 и t ' ( u ) ∈⊂ a.b .Тогда, делая замену t = t ( u ) в определенном интеграле (*), получим равенствоβ∫ Fdr = α∫ ( P ( r ( t ) ) ⋅ x ' + Q ( r ( t ) ) ⋅ y ' + R ( r ( t ) ) ⋅ z ' ) dt =tttL+b( ()()() )( ()()()= ∫ P r1 ( u ) ⋅ x 't + Q r1 ( u ) ⋅ y 't + R r1 ( u ) ⋅ z 't ⋅ t 'u du =ab)= ∫ P r1 ( u ) ⋅ x 'u + Q r1 ( u ) ⋅ y 'u + R r1 ( u ) ⋅ z 'u du .aТак как по теореме о производной сложной функции x 't ⋅ t 'u = x 'u , y 't ⋅ t 'u = y 'u , z 't ⋅ t 'u = z 'u .

Это равенство доказываетнезависимость интеграла от параметризации.Обозначим∫ Fdrкриволинейный интеграл вдоль кривойL с началом в точке B и окончанием в точке A .L+Тогда получим равенствоβ∫ Fdr = α∫ ( P(r (t )) x′ + Q(r (t )) y′(t ) + R(r (t )) z′(t ))dt = − ∫ Fdr ,tL−L+т.е., при изменении направления пути интегрирования вдоль кривой L на противоположное, криволинейный интеграл второгорода изменит знак.13Механический смысл криволинейного интеграла второго рода состоит в том, что этот интеграл равен работе в поле F ( r )вдоль пути L+ .Пример.

Найти работу J по перемещению точечной массы m из точки A(a1 , a2 , a3 ) в точку B (b1 , b2 , b3 ) в полеM , находящейся в начале координат.Решение. Пусть L+ – гладкая кривая с началом в точке A и окончанием в точке B , не проходящая через начало координат ипритяжения точечной массыr = r (t ) – некоторая параметризация этой кривой, t ∈ [a, b] , A = r (α ) , B = r ( β ) .Тогда согласно закону Ньютона сила действующая на массу m выражается формулойrF = −γ mM 3 ,rгдеγ– гравитационная константа.Работа J по перемещению массы m изA в B вдоль кривой L выражается формулойβJ=∫ Fdr = −γ mM ∫αL+Обозначим U ( r ) =γ mMrr (t )dr (t )r (t )3(β= −γ mM ∫α)– потенциал поля F . Тогда U ′ r ( t ) = −γ mMr (t ) r ′ (t )r (t )3r (t ) r ′ (t )r (t )3dt .и, следовательно, работа J равнаJ = U ( B) − U ( A)разности потенциалов в точках B и A . Заметим, что работа в гравитационном поле не зависит от выбора пути L , а зависиттолько от начальной и конечной точек этого пути.Площадь поверхностиПусть функцияf ( x, y ) и её частичные производные∂f∂fинепрерывны на компакте M ⊂∂x ∂y.Множество S ⊂( x, y ) ∈ M⎧S = ⎨ ( x, y , z ) :z = f ( x, y )⎩определяет некоторую поверхность S в3.Назовём площадью S этой поверхности двойной интеграл:S = ∫∫M22⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dxdy⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠( ∗)Примеры:1).

Площадь сферы.Уравнение поверхности верхней полусферы: z =R 2 − x 2 − y 2 , где R - радиус сферы.Вычисляя поверхность сферы с помощью формулы ( ∗ ) , получим∫∫S =22π1+x2 + y 2 ≤ R2RRx2y2Rrdr⎛⎞+= 4π R ⎜ − R 2 − r 2 ⎟ = 4π R 2dxdy = 2 ∫ dϕ ∫222222220 ⎠R −x −yR −x −y⎝R −r002). Площадь поверхности конуса.Рассмотрим прямой круговой конус высоты h и радиуса R окружности в основании конуса. Поверхность этого конусазадаётся уравнением:2h⎛R⎞x + y = ⎜ ⎟ z 2 , 0 ≤ z ≤ h или z =x2 + y 2hR⎝ ⎠22Применяя формулу ( ∗ ) для вычисления площади, поверхности получим равенство:14∫∫S =1+x2 + y 2 ≤ R2h2 x2h2 y 2+dxdy = ∫∫R2 x2 + y 2 R2 x2 + y 2x2 + y 2 ≤ R2R 2 + h2dxdy = π R R 2 + h 2RЕсли поверхность задана в параметрической форме,⎧ x = x(u, v)⎪S : ⎨ y = y (u , v) , (u , v) ∈ M ,⎪ z = z (u , v)⎩то для вычисления площади поверхности S применяется формула:S = ∫∫M⎛ ∂x ∂y ∂z ⎞e1 = ⎜ , , ⎟⎝ ∂u ∂u ∂u ⎠e1 × e2 dudv, где⎛ ∂x ∂y ∂z ⎞e2 = ⎜ , , ⎟⎝ ∂v ∂v ∂v ⎠( ∗∗)Можно показать, что эта формула для вычисления площади поверхности не зависит от выбора параметризации.

Кроме того, этаформула совпадает с формулой для площади поверхности, заданной явным уравнением z = f ( x, y ) .Действительно, зададим параметризацию поверхности следующим образом:⎧ x=u⎪⎨ y=v .⎪ z = f (u, v)⎩Тогда∂f ⎞⎛e1 = ⎜ 1, 0, ⎟∂u ⎠⎝∂f ⎞⎛e2 = ⎜ 0,1, ⎟∂v ⎠⎝22и e1 × e2 = 1 + ⎛⎜ ∂f ⎞⎟ + ⎛⎜ ∂f ⎞⎟ .⎝ ∂u ⎠ ⎝ ∂v ⎠22⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞Тогда S =∫∫M 1 + ⎜⎝ ∂u ⎟⎠ + ⎜⎝ ∂v ⎟⎠ dudv .Пример. Найти площадь поверхности тора; уравнение тора в параметрической форме имеет вид:⎧ x = (b + a cos u ) cos v⎪⎨ y = (b + a cos u ) sin v , b > a > 0, 0 ≤ u ≤ 2π , 0 ≤ v ≤ 2π .⎪z = a sin u⎩Решение. Вычисляя вектора e1 и e2 по формулам ( ∗∗) , получим равенства:e1 = (−a sin u cos v, −a sin u sin v, a cos u )e2 = −(b + a cos u ) sin v, (b + a cos u ) cos v, 0),из которых находим:e1 × e2 = a(b + cos u )иS =2π2π002∫ dv ∫ a(b + a cos u )du = 4π ab .Поверхностные интегралы.Если поверхность S задана в общем виде системой⎧ x = x ( u, v )⎪,⎨ y = y ( u, v )⎪ z = z ( u, v )⎩15( u, v ) ∈ M ⊂2, M - компакт2; все функции x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) и их частные производные∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z, , , , , ∈⊂ ( M ) непрерывны на M , то дифференциалом ds поверхности S будем называть∂u ∂v ∂u ∂v ∂u dvвыражение вида:ds = e1 × e2 dudv ,⎛ ∂x ∂y ∂z ⎞⎛ ∂x ∂y ∂z ⎞, , ⎟ , e2 = ⎜ , , ⎟ .⎝ ∂u ∂u ∂u ⎠⎝ ∂v ∂v ∂v ⎠где e1 = ⎜В частности, если поверхность задана явным уравнением z = f ( x, y ) , то22⎛ df ⎞ ⎛ ∂f ⎞ds = 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dxdy .⎝ dx ⎠ ⎝ ∂y ⎠Для того чтобы поверхность была невырожденной, необходимо потребовать, чтобы e1 × e2 = 0, ∀ ( u , v ) ∈ M .Пусть, кроме того, функция ϕ ( x, y, z ) была непрерывной в некоторой области D ⊂3, содержащей поверхностьS.Определение.

Криволинейным интегралом 1ого рода от функции ϕ ( x, y, z ) по поверхности S назовем следующийинтеграл:∫∫ ϕ ( x, y, z ) ds := ∫∫ ϕ ( x ( u, v ) , y ( u, v ) , z ( u, v ) ) dsSMВ частности, если ϕ ( x, y, z ) ≡ 1 , то∫∫ ds = s- площадь поверхности S .SПример. Вычислить поверхностный интеграл 1ого рода:I=2∫∫∫2x 2 ds2x + y +z =R2Решение: Запишем уравнение сферы в сферических координатах:x = R ⋅ cos ϕ ⋅ cos θy = R ⋅ cos ϕ ⋅ sin θz = R ⋅ sin ϕ0 ≤ θ ≤ 2π ; −π2≤ϕ ≤π2Тогда дифференциал поверхности ds равен:ds = R 2 ⋅ cos ϕ ⋅ dϕ ⋅ dθи интеграл I можно представить в виде:2πI=∫ dθ0π2∫π−π2πR 2 ⋅ cos 2 ϕ ⋅ cos 2 θ ⋅ R 2 ⋅ cos ϕ ⋅ dϕ = R 4 ⋅ ∫ cos 2 θ dθ ⋅02−24∫π cos ϕ ⋅ dϕ = 3 ⋅ π R342Пусть задана связная гладкая поверхность S.

Тогда в каждой точке поверхность однозначно с точностью до знакаопределяет нормальn =±[e1 × e2 ]e1 × e2Рассмотрим произвольную замкнутую кривую L ⊂ S на поверхности S.Пусть некоторой точке на L выбрана нормаль n . Будем непрерывно изменятьположение точки на L.

Характеристики

Список файлов лекций