К.А. Постнов, А.В. Засов - Курс общей астрофизики (1110768), страница 26
Текст из файла (страница 26)
градусов) энергия переносится лучистой теплопроводностью (фотонами). Основной вклад в непрозрачность обусловлена рассеянием фотонов на электронах (томсоновское рассеяние,σT = 6.65 · 10−25 см, непрозрачность κT = σT /mp = 0.4 см2 /г.Эта зона простирается примерно до 2/3 радиуса Солнца (∼ 4 · 1010см). При больших оптических толщинах движение кванта носитхарактер случайных блужданий, что математически как раз и описывается уравнением диффузионного типа (см.
также Приложение). Время диффузии фотонов из ядра до границы зоны лучисто-Глава 5. Звезды150го переноса td ∼ R2 /D, где D = cl/3 – коэффициент диффузии,l = 1/(nσ) = 1/ρκ – длина свободного пробега фотона. Получаем:td ∼(4 · 1010 [см])2× 0.4[cм2 /г] × 10[г/см3 ] ∼ 104 лет.3 · 1010 [см/с]При понижении температуры непрозрачность солнечного вещества сильно возрастает (см. закон Крамерса (5.22)), поэтому диффузия фотонов длится несколько сотен тысяч лет.
За пределамиядра непрозрачность вещества (гл. образом из-за многочисленныхлиний железа и других тяжелых элементов) становится настолькобольшой (κ ∼ 40 см2 /г), что возникают крупномасштабные конвективные движения. Поэтому примерно 1/3 радиуса Солнца занимает конвективная зона. Время подъема конвективной ячейкисравнительно невелико, несколько десятков лет.Этот пример показывает, что время выхода тепловой энергиииз недр Солнца (лучистая теплопроводность + конвекция) порядка нескольких сотен тысяч лет. Это время примерно в 100 раз меньше теплового времени Кельвина–Гельмгольца, что примерно равно доли энергии фотонов в полной энергии Солнца.
Это нетривиальное утверждение следует из того, что за время диффузии квантов из центра Солнца при светимости L выходит энергия излучения Er = Ltd , а за тепловое время tKH – тепловая энергия Q =LtKH (по определению tKH ). Доля энергии фотонов к тепловойэнергии в условиях близким к ТДР порядка отношения плотности числа фотонов к плотности барионов nγ /nb . Например, в центральных областях Солнца nγ ∼ (0.29/Tc )−3 ∼ 1023 (см. главу 2),nb ∼ ρc /mp ∼ 1025 . При этом следует учесть, что температура в ядре и зоне лучистой теплопроводности спадает медленнее, чем плотность (см. рис. 5.4), поэтому вместо центрального значения плотности в этой оценке надо брать на порядок меньшее значение около10 г см−3 .5.6.4.
Уравнения внутреннего строения звезд и СолнцаТеперь мы можем выписать все основные уравнения, которыеописывают внутреннее строение звезд (и Солнца), в которых энер-5.6. Особенности ядерных реакций в звездах151гия просачивается из центра пучем лучеиспуcкания. Пусть L, Mи R – светимость, масса и радиус звезды, X, Y, Z – относительноесодержание по массе водорода, гелия и более тяжелых элементов(X + Y + Z = 1), соответственно, κ – коэффициент поглощениязвездного вещества (dτ = κρdr).1). Уравнение гидростатического равновесия:GM (r)dP= −ρ,drr2(5.27)где P = Pgas + Prad .2). Уравнение состояния:Pgas =ρRT,µ(X, Y, Z)Prad =ar T 4,3(5.28)где µ – молекулярный вес звездного вещества.
Например, для полностью ионизованной плазмы µ = 1/(2X + (3/4)Y + (1/2)Z); дляСолнца X ≈ 0.75, Y ≈ 0.23, Z ≈ 0.02 и µ ≈ 0.6 (за исключениемфотосферы, где водород и гелий частично ионизованы и ядра, гдехимический состав изменен из-за ядерных реакций).3). Связь массы и плотности:dM (r)= 4πr 2 ρ(r).dr(5.29)4). Граничные условия:R2R4πr ρ(r)dr = M ,04πr 2 ρ(r)ε(r)dr = L ,(5.30)0где ε(r) − темп выделения термоядерной энергии в элементе единичной массы при тех значениях T и ρ, которые существуют на расстоянии r от центра звезды.Глава 5. Звезды152Для того, чтобы получить решение уравнений и рассчитатьплотность и температуру внутри звезды, к этим уравнениям добавляют5) Уравнение переноса энергии от центра к краю (уравнениеэнергетического баланса (5.26)) и6) Уравнение, описывающее энерговыделение в ядре:dL(r)= 4πr 2 ρ(r)ε ,drε = ε(T, ρ, X, Y ) .(5.31)Распределение ρ(r), M (r), L(r) и T (r) для стандартной модели Солнца показаны на рис.5.4.
Параметры внутренней структурыСолнца приведены в Таблице 5.2.1.00.7102106101ZT++M/MZT, oKM/M , L/L107+L/LZ0.80.61030.50.4105110410Z11030.9 1.010Z2ρ, г/см30.9108Zρ+0.30.20.100.10.20.30.40.50.60.70.8r/RРис. 5.4. Внутреннее строение Солнца в стандартной модели c химическим составом X=0.708, Y=0.272, Z=0.0020, центральной плотностью ρc = 158 г cм−3 ицентральной температурой Tc = 1.57 · 107 K. По данным из работы Guenther et al.ApJ v.387, p.372 (1992).Существенную роль на Солнце играет магнитное поле. Из-завмороженности поля в плазму в области выхода силовых тру-Соотношения ...
для звезд главной последовательности153Таблица 5.2. Границы зон внутреннего строения Солнца и их химический составОбластьРазмер в ед. Химический состав и физическое состояниеR ≈ 7 · 1010 смЯдро0.2В центре: He(0.63), H(0.35), металлы (0.02), полная ионизацияЗона лучистой теплопроводности0.5He(0.23), H(0.75), металлы(0.02), высокая ионизацияКонвективная зона0.3низкая степень ионизацииФотосфера0.002низкая степень ионизацииГраница фотосферы1.000Хромосфера0.02низкая степень ионизацииКорона≈5высокая степень ионизациибок магнитного поля на поверхности конвекция подавлена, перенос излучения замедлен и мы наблюдаем области пониженнойтемпературы – пятна, эффективная температура в которых около4000 K.
Крупномасштабное магнитное поле на Солнце генерируется динамо-механизмом при дифференциальном вращении Солнца5.7. Соотношения M–L и M–R для звезд главнойпоследовательностиНаблюдения двойных звезд позволяют оценивать массы компонент, что дает возможность установления эмпирической зависимости между массой и светимостью. Оказалось, что для звезд главной последовательности полная (болометрическая) светимость L ∝M 3 для звезд с массой Солнца и выше, и L ∝ M 4.5 для M < M .Эти зависимости были теоретически объяснены английским астрофизиком А.С. Эддингтоном (Eddington) в 1926 г.Обратимся к уравнению лучистой теплопроводности (5.19) илиего эквивалентной форме (5.26), которое показывает, что фотонная светимость звезды определяется непрозрачностью ее оболочки. Для порядковых оценок заменим производные по радиусу делением на радиус: d/dr →∼ 1/R, а температуру звезды заменим ееГлава 5.
Звезды154характерным значением T →∼ Tc , где Tc ∼ µGM/RR (теорема вириала). Тогда опуская постоянные (кроме постоянной тяготения),получаемµ4 G4 3M .(5.32)κЕсли непрозрачность слабо зависит от параметров среды (а этодействительно так в горячей плазме, когда основной вклад в поглощение вносит рассеяние на свободных электронах, κT ≈ 0.4 см2 /г),то получается L ∝ M 3 , что и наблюдается в массивных звездах.Для крамерсовского закона непрозрачности (5.22), характерногодля более низких температур (у звезд с массой порядка солнечнойи меньше), получится более крутая зависимость от массы, что также подтверждается наблюдениями (L ∝ M 4...5 ).Обратите внимание на крутую зависимость в (5.32) от постоянной тяготения Ньютона: L ∝ G4 – она может быть использована для получения ограничений на некоторые физические теории, в которых постоянная тяготения изменяется со временем.
Если бы G изменялась со временем, то при прочих равных условиях изменялась бы светимость Солнца. Само существование мирового океана в течение миллиардов лет на Земле (необходимоеусловие для органической жизни) ограничивает вариации средней температуры Земли грубо величиной в пределах ±30 K, т.е.1/4∆T /TЗ 0.1. Поскольку TЗ ∝ L , то из факта наличия жизни на Земле немедленно получаем ∆G/G 0.1 за 109 лет, то есть(dG/dt)/G < 10−10 лет−1 .Теперь рассмотрим зависимость масса–радиус для звезд главной последовательности. Воспользуемся полученным соотношением (5.32). Учтем, что светимость звезды связана с генерациейэнергии в термоядерных реакциях, то естьL∝L ∼ εM ∼ ρT Ze M ,где Ze≡ d(log ε)/d(log T ) − число Зельдовича (показатель степенной зависимости энерговыделения на единицу массы от температуры), Ze∼ 4...8 для протон-протонного цикла.
Приравнивая это5.8. Атмосферы Солнца и звезд155выражение к светимости по (5.32) и подставляя ρ ∼ M/R3 в вириальное соотношение Tc ∝ M/R, получаемR ∼ M αR ,где показатель степени 0 < αR < 1. Так, для κ =const αR =(Ze − 1)/(Ze + 3). Чем больше масса звезды на главной последовательности, тем больше ее радиус и светимость и выше эффективная температура. По этой причине более массивные звезды раннихспектральных классов (О, B, A, F) лежат левее и выше Солнца надиаграмме Герцшпрунга–Рассела (цвет–светимость), так как цвет(спектральный класс) звезды определяется ее эффективной температурой.5.8. Атмосферы Солнца и звездОсновной физический параметр стационарной звезды – ее масса. Она определяет светимость звезды на главной последовательности, время жизни, радиус, эффективную температуру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
