К.А. Постнов, А.В. Засов - Курс общей астрофизики (1110768), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Теорема вириалаДля гравитационно-связанных систем можно сделать несколько простых и полезных оценок, связывающих их массу, размери характерные времена или скорости движения их составных частей. Эти оценки основаны на применении теоремы вириала длямеханических систем (см. любой курс механики). Эта теорема внесколько измененном виде также применима и к газообразнымзвездам (см. раздел “Стационарные звезды” в основной части курса). Теорема вириала устанавливает связь между средним по времени значением кинетической энергии (как для одной частицы, такA.3. Теорема вириала169и для всей системы в целом) и потенциальной энергией всей системы.
Она применима как на микроскопическом уровне для движения частиц в атомах, так и на масштабах звезд и галактик.Согласно теореме вириала, для среднего (по времени) движения частиц в поле сил с гравитационным потенциалом ∼ 1/r,2Ek = −Ug .(A.6)Подчеркнем, что теорему вириала можно применять только длясредних по времени значений кинетической и потенциальной энергии, то есть время устойчивого существования системы должнопревышать время усреднения (например, в случае скопления звездэто характерное время пересечения системы, для периодическихдвижений – время одного оборота и т.д.).Теорема вириала и энергия связи самогравитирующей системы.
В соответствии с теоремой вириала полная энергия устойчивого самогравитирующего тела (системы тел) есть (значки усреднения по времени опускаем)1E = Ek + Ug = Ug = −Ek < 0,2(A.7)то есть энергия связи такого тела (системы) порядка его гравитационной энергии; она пропорциональна квадрату массы тела (системы) и обратно пропорциональна размеру тела (системы).Теорема вириала и отрицательная теплоемкость самогравитирующих систем. Другое важное свойство стационарных самогравитирующих систем, вытекающее из соотношения (A.7): уменьшение полной энергии приводит к увеличению кинетической энергиисистемы.
Если тепловая энергия тела связана с кинетической энергией движения составляющих его частиц (например, звезда из идеального невырожденного газа), то отдача тепла (излучение электромагнитной энергии звездой) приводит к увеличению тепловойэнергии. Это так называемое свойство отрицательной теплоемкости гравитационно-связанных систем. Именно из-за этого свойства энерговыделение в ядерных реакциях в недрах нормальныхзвезд не носит характер взрыва.170Приложение A. ГравитацияTeoрема вириала и взаимосвязь пространственных и временных масштабов гравитационно-связанных систем.
Широко распространенный пример “астрофизического” применения теоремывириала состоит в оценке скорости движения пробных частиц смассой m M в гравитацинно-связанной системе с полной массой M и характерным размером R (в качестве R можно взять среднее расстояние частиц от центра масс системы). В этом случае из(A.6) получаем оценку средней скорости движения масс на расстоянии RGM.(A.8)v2 RНетрудно видеть, что эта оценка точно равна круговой кеплеровской скорости на расстоянии R от центра тяготеющего тела с массой M .
Несмотря на видимую простоту, полученное соотношенияможет применяться в очень разныхслучаях – например, дает время “пролета” частицы t = R/v ∼ R3 /GM , которое с точностьюдо численного коэффициента порядка 1 есть время свободного па√дения tf f ∼ 1/ Gρ.Теорема вириала и оценка температуры газа в скоплениях галактик. Соотношением (A.8) можно воспользоваться для оценкитемпературы газа в скоплениях галактик: средняя кинетическаяэнергия одноатомного идеального газа mv 2 /2 = 3/2kT откудаследуетGM mp(A.9)kTvir ∼R(здесь в качестве массы частицы взяли массу протона mp , так какводород является самым распространенным элементом). Для скоплений галактик с массой порядка 1014 M и размерами 10 Мпкоценка вириальной температуры Tvir ∼ 106 K – при таких температурах межгалактический газ находится в состоянии плазмы исветится в основном в рентгеновском диапазоне за счет свободносвободного (тормозного) излучения.
Таким образом, рентгеновское излучение межгалактического горячего газа является независимым индикатором полной массы тяготеющего вещества в скоплениях галактик. Во всех случаях обнаруживается, что определен-A.3. Теорема вириала171ная таким образом полная масса скопления существенно (примерно на порядок) больше, чем масса всего светящегося вещества,включающего звезды в галактиках и сам излучающий в рентгенемежгалактический газ. Это одно из главных наблюдательных указаний на наличие гравитирующей скрытой массы (темной материи) во Вселенной.Приложение B.Атомная физикаКратко перечислим некоторые соотношения из атомной физики, которые часто используются в астрофизике.Классический радиус электронаle =e2= 2.8 · 10−13 , cмme c2Комптоновская длина волны электронаλe == 3.8 · 10−11 , cмme cРадиус первой боровской орбиты электрона в атоме водородаa0 =2= λe /α 5.3 · 10−9 cмme e22e≈ 1/137 – постоянная тонкой структуры).
Характер(здесь α = cный размер атома порядка нескольких размеров боровских орбит исоставляет ∼ 10−8 см.В атоме водорода электрон движется по внутренней орбите соскоростью αc. Энергия ионизации электрона из основного состояния в атоме водородаRhc =где R =α2 me c2hme e42π 2 me e4(СГС)=(СИ) = 13.61 эВ,h28ε20 h2= 1097373.57 м−1 − постоянная Ридберга.173серия Лаймана(ультрафиолет)n=1(13,6 эВ)n=2(3,4 эВ)серияБальмера(видимыйсвет)n=3(1,1 эВ)n=4(0,6 эВ)серия Пашена(ИК диапазон)Рис. B.1. Основные спектральные серии водорода.
Также показан потенциалионизации с соответствующего уровня (в эВ).° – этоФотон с такой энергией имеет длину волны λLyC ≈ 912 Aжесткая УФ-область спектра. УФ фотоны с меньшей длиной волны (большей энергией) ионизуют нейтральный водород и иногданазываются квантами Лаймановского континуума, или Ly−C квантами. Для гелия потенциал ионизации электрона с основного уровня существенно выше, около 24 эВ.При переходах электронов в атомах с верхних уровней на самый нижний (основной) испускаемый фотон приобретает энергиюпорядка энергии связи электрона или меньше, ∆E ≤ 1 Ry.
Характерная длина волны кванта λopt = c/∆E ∼ 2πao /α ∼ 1000a0 , т.е.сотни и тысячи Ангстрем. Формула Бальмера (1888) для энергиикванта, испускаемого при переходе с уровня с главным квантовымчислом n на уровень m (n > m) в атоме водорода:Enm = hνnm = Ry(m−2 − n−2 ) .Основные спектральные серии водорода схематически изображены на рисунке B.1.Приложение C.Взаимодействие излученияи веществаC.1. Элементарные процессы, ответственные за излучениеи поглощение светаC.1.1. Свободно-свободные переходы (электрон в полепротона)Энергия, излучаемая единицей объема при свободно-свободном(тормозном) излучении полностью ионизованной плазмы с концентрацией ионов ni и свободных электронов ne составляет:2πkT 25 πe6 2dEff≡ =Z ne ni ḡB ,(C.1)dtdV3m 3hme c3где ḡB ∼ 1 – уcредненный фактор Гаунта, учитывающий квантовомеханические поправки к классическому приближению.
Численно√f f 1.4 · 10−27 [эрг/см3 /c] T ne ni Z 2 .C.1.2. Свободно-связанные переходыСечение поглощения фотона при свободно-связанных переходах с уровня n удобно выражается через радиус боровской орбитыa0 , номер уровня и частоту кванта ν 364πngn√.αa20σbf =2ν3 3ZЗдесь порог ионизации с уровня n определяется какνn ≡ χn /h =α2 me c2 Z 2.2hn2Элементарные процессы излучения и поглощения...175где χn – потенциал ионизации, а g – гаунт-фактор, который вблизи порога ионизации равен 1 с точностью до 20%. Коэффициент поглощения получается из сечения σbf домножением на число атомовна соответствующем уровне: αν = σbf Nn .C.1.3.
Переходы между энергетическими уровнямиПроисходят при поглощении кванта (вверх) и спонтанные переходы между уровнями (вниз). Характерное время жизни атомаН в возбужденном состоянии – около 10−8 с. Если Е1 < Е2 , то hν =E2 -E1 .Индуцированные переходы (вниз) Излучение в этом случаеназывается мазерным. Эффективно там, где время жизни атома навозбужденном уровне велико. Примеры: линии ОН (18 см), Н2 О(1.35 см), SiO (2 – 7 мм).Столкновительное возбуждение (электронами) (вверх).
Этот.н. электронные удары 1-го рода. Возбуждаются преимущественно нижние уровни; в очень холодном газе – возбуждение сверхтонкой структуры основного уровня (HI 21 см). Самые яркие примерылиний, возбуждаемыми ударами 1-го рода: HI (21 см), OI (63 мкм),SiII (31 мкм), FeII (26 мкм).Столкновительная дезактивация (удары 2-го рода).
Эффективны там, где время жизни атома на возбужденном уровне великоили в достаточно плотной среде.C.1.4. ИонизацияРазличают фотоионизацию и ударную ионизацию, когда необходимую для этого энергию атому передает электрон при столкновении с ним (удар 1-го рода). Частный случай – ионизация отрицательных ионов водорода с E = 0.75 эВ. Эффективна в атмосферахзвезд типа Солнца. Может быть как ударной, так и радиационной.C.1.5.
РекомбинацияПроцесс, обратный ионизации. Может произойти на любойэнергетический уровень атома. Если это не самый низкий (пер-176Приложение C. Взаимодействие излучения и веществавый) уровень, то результат рекомбинации – объединение ионаи электрона в возбужденный атом (рекомбинационное возбуждение). Последующие каскадные переходы вниз рождают серии спектральных линий. Такое излучение называют рекомбинационным(основной механизм излучения областей HII). Оно происходитне за счет тепловой энергии среды, а за счет энергии ионизирующих квантов, часть которой переходит во внутреннюю энергиюатома и излучается.
Поэтому уносимая таким излучением энергияне приводит к остыванию газа. Более сложный двухэтапный процесс – диэлектронная рекомбинация, при которой электрон сначала возбуждает атом (ион) (т.н. автоионизационное состояние) с последующей ионизацией или радиативным каскадом. В последнемслучае среда эффективно охлаждается, т.к. в излучение переходитпрактически вся кинетическая энергия сталкивающегося с атомом(ионом) электрона. Особенно важна при достаточно высоких температурах плазмы.C.2. Признаки полного термодинамического равновесияДля космической плазмы термодинамическое равновесие (ТР)означает, что одновременно выполняются следующие соотношения, определяемые одним общим параметром – температурой T :1.
Максвелловское распределение частиц по скоростямf (v)dv = 4π m 3/2mv 2v 2 e− 2kT dv.2πkT2. Больцмановское распределение частиц по энергиям, котороедля заселенности атомных уровней с номерами i и j (cоответственно, с энергиями Ei и Ej и статвесами gi и gj ) записывается в видеgini= e−(Ei −Ej )/kT .njgjC.2. Признаки полного термодинамического равновесия1773. Закон действующих масс для химического равновесия, илив применении к условиям ионизованной плазмы – формулаСаха̀ для степени ионизации атомов и молекул2gi (2πme kT )3/2 −∆E/kTne nz+1 (i)=e,nz (j)gj(2π)3где ne , nz , nz+1 – концентрации электронов и ионов Xz элемента Х, gi,j – статистические веса уровней i, j ионов, ∆E =ξz (j) + Ei , ξz (j) – энергия ионизации с уровня j иона Xz .4. Законы излучения: Планка, Кирхгофа и Стефана–Больцманадля АЧТ (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
