К.А. Постнов, А.В. Засов - Курс общей астрофизики (1110768), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Этот показатель адиабаты соответствует идеальному одноатомному газу, а также нерелятивистскому вырожденномуферми-газу. Из (5.10) получаем 2Q = −U , т.е. знакомый вид теоремы вириала в механике для движения тел в потенциале ∝ 1/r.2) γ = 4/3. Этот показатель адиабаты характерен для газа изрелятивистских частиц (например, фотонов или безмассовых нейтрино), когда связь между давлением и плотностью энергии P =/3, или для релятивистского вырожденного ферми-газа.
В этомслучае теорема вириала для равновесной самогравитирующей конфигурации дает Q = −U , E = Q + U = 0, т.е. такая конфигурациянаходится в положении безразличного равновесия:U ∼ −GM 2 /R = −GM 5/3 ρ1/3 ,Глава 5. Звезды136Q ∼ M P/ρ ∼ M Kρ1/3 .Очевидно, полная энергияE = U + Q = (−GM 5/3 + KM )ρ1/3является линейной функцией ρ1/3 и равновесие (E = 0) возможнотолько при M = M0 = (K/G)3/2 . При M > M0 полная энергия положительна, E > 0, т.е.
система гравитационно не связанная и распадается. При M < M0 полная энергия отрицательна, E < 0, и поддействием малых радиальных возмущениях система коллапсирует( ∂E∂ρ < 0). Потеря устойчивости всегда происходит в динамической√шкале времени, td ∼ tf f ∼ 1/ Gρ ≈ 50[мин](ρ/ρ )−1/2 . Этот процесс, например, имеет место при коллапсе ядер массивных звезд.Отметим также, что теорема вириала для системы из многих частиц может быть получена не только из термодинамического рассмотрения, но из классических и квантовых уравнений движения.Она применима как для динамически устойчивых макроскопических систем (например, звездных скоплений), так и для квантовыхсистем (заряженные частицы в кулоновском поле).5.4.3. Тепловая устойчивость звезд.
Отрицательнаятеплоемкость.Рассмотрим теорему вириала для одноатомного идеального газа, который является хорошим приближением для вещества нормальных звезд (γ = 5/3): 2Q = −U , E = Q + U = −Q. Отсюда следует равенство ∆E = −∆Q, т.е. сообщение энергии звезде (∆E > 0) приводит к ее охлаждению, ∆Q < 0, а излучениеэнергии (∆E < 0) – к разогреву, ∆Q > 0.
Иными словами, звезда, находящаяся в гидростатическом равновесии (т.е. подчиняющаяся теореме вириала) обладает отрицательной теплоемкостью:E = U + Q = −Q = −Cv M T (здесь Cv > 0 – удельная теплоемкость газа звезды), dE/dT = −Cv M < 0. Из-за отрицательной теплоемкости термоядерные реакции в звездах идут в течение многихмиллионов лет и не носят взрывной характер.5.5. Ядерные реакции в звездах.137Замечание: теорема об отрицательной теплоемкости справедлива для любой стационарной системы в поле тяготения – например, спутник на стационарной орбите вокруг Земли: при торможении спутника в атмосфере (отбор энергии от системы Земля–спутник) он переходит на более низкую орбиту с увеличением ско√рости v ∼ 1/ r (аналог нагрева системы при потере энергии).Характерное время установления теплового равновесия в звезде (т.н. тепловое время, или время Кельвина–Гельмгольца) такжеможно определить из теоремы вириала, приравняв его времени,необходимому для потери запаса тепловой энергии при заданномтемпе отвода энергии (т.е.
светимости L). Имеем: Q = −U/2 ∼GM 2 /R,GM 2M −2Q=≈ 30[ млн. лет](5.11)tKH =LRLM(во втором равенстве использовано соотношение масса-радиус имасса–светимость для нормальных звезд околосолнечной массы:R ∝ M , L ∝ M 3 ). В XIX в. Кельвин и Гельмгольц именно такоценивали время жизни Солнца. Любопытно, что Кельвин не принимал теорию эволюции Дарвина (которая требовала миллиардовлет для развития видов) именно на основании своего заключения овозрасте Солнца в 30 млн. лет! В начале ХХ в. стало ясно, что возраст Земли намного превосходит 30 млн. лет – возникла необходимость поиска источника энергии на Солнце и звездах.
Таким источником оказались термоядерные реакции синтеза тяжелых элементов из водорода и гелия.5.5. Ядерные реакции в звездах.Запасы ядерной энергии в звездах намного превышают запастепловой энергии. Запас ядерной энергии ∆En = ηn Mc c2 , гдеMc ∼ 0.1M – масса ядра звезды, где могут идти термоядерные реакции, ηn − энерговыделение на единицу массы (эффективность)ядерных реакций. При синтезе гелия из водорода, который происходит на стадии главной последовательности звезд на диаграм-Глава 5.
Звезды138ме Герцшпрунга–Рессела, суммарная реакция сводится к образованию одного ядра гелия из 4-х протонов, 4p → 42 Не. Выделяемаяэнергия при этом определяется дефектом массы:δE = (4mp − mHe )c2 = 27.3МэВ,(5.12)т.е. примерно 7 МэВ на нуклон. Как увидим ниже, не вся выделяющаяся энергия идет в тепло, небольшая часть (0.6 МэВ) уносится нейтрино, для которого Солнце прозрачно. Энергия покоя нуклона почти 1 ГэВ, т.е. эффективность синтеза гелия из водородаηn ≈ 0.007.
Следовательно, характерное время пребывания звездына стадии главной последовательностиtn =ηn Mc c2∼ 1010 [лет](M/M )−2L(5.13)(здесь учтено эмпирическое соотношение масса–светимость длязвезд главной последовательности L ∝ M 3 , доказательство которого приводится в конце этой главы).Замечания:1. Время термоядерного горения водорода tn сильно зависит отмассы звезды (примерно как M −2 ) – так, звезда с массой в 10 солнечных эволюционирует в 100 раз быстрее Солнца!2. Стадия термоядерного горения водорода в ядре звезды – самая длительная.
Все последующие стадии (горение гелия в углерод и т.д.) составляют всего лишь 10% от tn . Это связано с тем, чтоскорости термоядерных реакций очень чувствительны к температуре, а для реакций синтеза более тяжелых элементов центральнаятемпература должна быть намного выше (требуется преодолениеболее высокого кулоновского барьера ∼ Z 2 , где Z – заряд ядра), ипоэтому, когда эти реакции начинаются, при высокой температуреони протекают очень быстро.5.6. Особенности ядерных реакций в звездах1395.6. Особенности ядерных реакций в звездахИспользуя теорему вириала 2E + U = 0, характерная температура в звезде может быть оценена какTc ∼µGM∼ 107 K ≈ 1 кэВ.1RR(5.14)Здесь R − универсальная газовая постоянная, µ − молекулярныйвес вещества. Для полностью ионизованной плазмы солнечногохимсостава µ ≈ 0.6.
Таким образом, средняя кинетическая энергиячастиц в недрах Солнца E ∼ 1 кэВ. С другой стороны, чтобы могла происходить реакция соединения двух протонов в ядро дейтерия, требуется преодолеть кулоновский барьер UC = e2 /r. Реакцияпойдет при сближении протонов на расстояние действия ядерныхсил 1 Ферми ∼ 10−13 см, (по порядку величины это длина волныДе-Бройля для протона λp = /mp c). Таким образом, кулоновскийбарьер для взаимодействия двух протонов UC e2 /λp = αmp c2 ∼1 МэВ (α = e2 /c ≈ 1/137 − постоянная тонкой структуры).Газ в центре Солнца вполне идеален (т.е. кулоновской энергией взаимодействия можно пренебречь по сравнению с кинетической энергией теплового движения), и частицы (протоны) движутся со скоростями в соответствии с максвелловским распреде2лением f (v)dv ∝ v 2 e−v /kT .
Отсюда доля протонов с энергией E ∼mp v 2 > UC оказывается ∝ exp(−(1кэВ/1МэВ)2 ) ∼ e−1000 ∼ 10−430 ,что безнадежно мало для звезд с числом частиц N ∼ 1057 .Как было впервые показано Г.А. Гамовым, ядерные реакции вцентре Солнца все же возможны из-за эффекта квантовомеханического туннелирования волновой функции под кулоновский барьер. Импульс частицы в квантовой механике (Л.
Де Бройль, DeBrogile) p = k, где k = 2π/λ − волновое число. Движение чаp соответствует волновая функстицы с зарядом Z1 e с импульсомikxi(p/)xi/pdx∼ e∼ e. Кинетическая энергия частиция ψ ∼ eцы p2 /2m = Eкин = Eполн − U = E0 − U , где U = Z1 Z2 e2 /r –потенциальная энергия кулоновского взаимодействия с частицей с1Напомним, что температура в 1 эВ примерно соответствует 11000 КГлава 5. Звезды140зарядом Z2 . Отсюда p = 2m(E0 − U ).
В классической механикепри E0 ≤ U происходит отражение частицы от барьера, т.е. частица не проникает в область r <r1 = Z1 Z2 e2 /E0 . В квантовой механике при r < r1 имеем p = i 2m(U − E0 ) и волновая функцияr1 2m(U − E0 )dx]. Это означает, что всегда есть отψ ∼ exp[−1/rличная от нуля вероятность подбарьерного перехода. Расчет показывает, что вероятность нахождения частицы под барьером2w = |ψ| ∼ exp[−2/r1 −2m(U − E0 )dx] ∝ eAE0,(5.15)0гдеA ∼ Z1 Z2 e4 mp /2 ∼ Z1 Z2 α2 mp c2−постоянная, называемая энергией Гамова.
Именно из-за малостиα вероятность подбарьерного перехода значительна для частиц сэнергией E0 ∼ kT UC ∼ αmp c2 . Интегрируя по максвелловскому распределению частиц с энергией E > E0 ∼ e−скорость реакции√3σv0 [см /c] ∼ e− A/E0 −E0 /T dE0 .E0T, получаем(5.16)При концентрации взаимодействующих частиц n характерное время между взаимодействиями есть просто τ ∼ 1/(nσv0 ). Выражениепод экспонентой имеет резкий максимум, поэтому интеграл легко берется методом перевала.
Не имея здесь места для более подробного изложения, отошлем интересующихся читателей к глубокой монографии Д.А. Франк-Каменецкого “Физические процессы внутри звезд”, М.: Физматгиз, 1959. Окончательный ответ: αG 1/3,(5.17)σv0 ∝ exp −kTгде αG ≈ Z1 Z2 A − энергия, характеризующая взаимодействующиеядра с зарядами Z1 , Z2 .5.6. Особенности ядерных реакций в звездах141Полученный закон роста скорости реакций exp[−1/T 1/3 ] с температурой отражает увеличение вероятности просачивания черезбарьер, которое значительно превосходит уменьшение доли числачастиц с требуемой энергией при максвелловском распределениипо скоростям.Знание скорости реакции позволяет легко рассчитать изменение концентрации ni → nk взаимодействующих ядер i, k при ихсоударениях со временем:dni /dt = dnk /dt = −ni nk σvik .Из этого следует, что в расчете на единицу массы вещества энерговыделение в ядерных реакциях пропорционально первой степениплотности и некоторой функции от температуры.Рассмотрим теперь некоторые особенности основных термоядерных реакций, происходящих в звездах главной последовательности.5.6.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
