К.А. Постнов, А.В. Засов - Курс общей астрофизики (1110768), страница 30
Текст из файла (страница 30)
основную часть курса, глава 2).Приложение D.Влияние рассеяния наперенос излученияРассеивающие среды чрезвычайно распространены в природе.Для высокотемпературной плазмы, часто встречающейся в астрофизических источниках (горячие короны звезд, аккреционныедиски вокруг нейтронных звезд и черных дыр в тесных двойныхсистемах и ядрах галактик, горячий газ в скоплениях галактик ит.д.) важным (иногда основным) физическим механизмом взаимодействия излучения и вещества является рассеяние фотонов насвободных электронах (комптоновское рассеяние). Роль рассеяниясводится не только к изменению траектории фотона (а значит, кизменению интенсивности вдоль луча зрения), но и к изменениюего энергии (прямой и обратный комптон-эффект). При макроскопическом описании в терминах уравнения переноса ограничимсяслучаем рассеяния без изменения энергии фотонов (т.н.
когерентное рассеяние, или упругое рассеяние), которое изменяет толькоинтенсивность и поляризацию излучения.Важное приложение такого рассеяния – рассеяние на нерелятивистских электронах1 .1Многократное рассеяние даже в этом случае может приводить к заметным искажениям спектра (т.н. эффект комптонизации излучения)!D.1. Случай чистого рассеяния179D.1. Случай чистого рассеянияПусть среда только рассеивает излучение. Будем считать в первом приближении, что вероятность рассеяния фотона одинакова влюбом направлении (то есть индикатриса рассеяния сферическисимметричная). Тогда объемный коэффициент излучения (энергия, испускаемая элементарным объемом в единицу времени повсем направлениям)(D.1)jν = σν Jν ,где σν − коэффициент поглощения для рассеяния, или просто коэффициент рассеяния с размерностью [см−1 ] (не путать с сечениемпоглощения с размерностью площади!).
Важное отличие рассеянного от, скажем, теплового излучения состоит в том, что интенсивность рассеянного излучения пропорциональна интенсивности излучения, падающего на элементарный объем, в то время как притепловом излучении выходящий спектр определяется функциейисточника, которая зависит только от температуры, и коэффициентом поглощения. В качестве функция источника для чистого рассеяния можно взять среднюю интенсивность Jν :1scatIν dΩ(D.2)Sν = Jν =4πи уравнение переноса примет вид:dIν= −σν (Iν − Jν ) .ds(D.3)Как мы подчеркивали, это интегро-дифференциальное уравнениедля интенсивности, т.к. функция источника сама определяется интенсивностью.
Существуют специальные методы приближенногорешения таких задач, которые мы здесь не будем рассматривать.D.2. Связь числа рассеяний с оптической толщойОстановимся на крайне полезной для простых оценок трактовке эффектов рассеяния излучения как на процессе случайныхблужданий отдельных квантов.180Приложение D. Влияние рассеяния на перенос излученияВыше упоминалось, что поглощение фотона в среде тоже можетрассматриваться с вероятностных позиций: вероятность поглощения в области оптической толщиной τν есть e−τν . Аналогично, вслучае изотропного рассеяния можно говорить о равной вероятности рассеяния кванта в равные телесные углы. Длина свободногопробега фотона до рассеяния или поглощения становится основной характеристикой.Рассмотрим бесконечную рассеивающую среду.
Пусть фотонпроходит расстояние ri до каждого i-го рассеяния. Через N шаговсмещение фотона из первоначального положения будет равноR = r1 + r2 + . . . rN .(D.4)Очевидно, среднее значение вектора R = 0. Отличной от нулявеличиной будет средний квадрат смещения:l∗2 ≡ R2 = r21 + r22 + .
. . + r2N + 2r1 · r2 + . . . .(D.5)После усреднения все средние квадраты i-х смещений дадут квадрат средней длины свободного пробега l, а средние скалярные произведения будут равны нулю (как среднее значение косинуса угламежду направлением до и после рассеяния для изотропного рассеяния; это утверждение остается справедливым и в случае любого рассеяния с симметрией вперед-назад, например томсоновскогоили рэлеевского рассеяния). Тогда√l∗ = N l .(D.6)l∗2 = N l2 ,То есть корень из среднего квадрата смещения фотона при рассеянии возрастает как корень квадратный из числа рассеяний.Пусть среда характеризуется размером L, и оптическая толщина по рассеянию больше единицы. Фотон будет рассеиваться дотех пор, пока не выйдет из среды. При этом по порядку величины можем положить l∗ ∼ L, то есть число рассеяний внутри средыN ∼ L2 /l2 .
Так как l есть средняя длина свободного пробега фотона, то вспоминая смысл оптической толщи τ получаемN ∼ τ 2,τ 1.(D.7)D.3. Случай рассеяния и поглощения181В случае оптически тонких сред вероятность рассеяния 1 − e−τ ∼ τиN ∼ τ,τ 1,(D.8)поэтому для сред произвольной оптической толщи для грубых оценок можно положитьN ≈ τ2 + τилиN ≈ max(τ, τ 2 ) .(D.9)D.3. Случай рассеяния и поглощенияЧто же понимать под оптической толщой в случае, когда в среде есть и рассеяние, и поглощение? Например, в не слишком горячих фотосферах звезд плазма частично ионизована, поэтому прежде чем поглотиться ионом, фотон может несколько раз рассеятьсяна свободных электронах. Для рассмотренного выше простейшего случая когерентного рассеяния (функция источника равна средней интенсивности, а коэффициент поглощения из-за рассеянияравен σν ) и теплового излучения (функция источника есть функция Планка, коэффициент истинного поглощения αν ) уравнениепереноса записывается в видеdIν= −αν (Iν − Bν ) − σν (Iν − Jν ) .ds(D.10)Вводя комбинированную функцию источникаSν =αν Bν + σν Jν,αν + σν(D.11)получаем (интегро-дифференциальное) уравнениеdIν= −(αν + σν )(Iν − Sν ) .ds(D.12)Можно ввести коэффициент полного поглощения (коэффициентэкстинкции) αν + σν и соответственно полную оптическую толщину dτν = αν + σν .
В пределе больших оптических толщин мы получим приближение к термодинамическому равновесию, Jν → Bν ,Sν → Bν .182Приложение D. Влияние рассеяния на перенос излученияСредняя длина свободного пробега фотона теперь можно записать как1.(D.13)lν =αν + σνВероятность того, что свободный пробег фотона закончится истинным поглощением естьν =αν,αν + σνа рассеянием –1 − ν =σν.αν + σν(D.14)(D.15)Рассмотрим для примера бесконечную среду и тепловое излучение. Фотон рождается в глубине в результате какого-нибудь элементарного процесса и в общем случае рассеивается N раз до того, как поглотиться (исчезнуть).
При этом он проходит среднеквадратичный путь l∗ . Вероятность поглотиться на пути, равном длинесвободного пробега, есть ν , следовательно число рассеяний до поглощения будет N = 1/ν . Тогда из (D.6) находимl∗2 =l2,νи с учетом (D.13)l∗ ≈ ll∗ = √ ,ν1.αν (αν + σν )(D.16)(D.17)Длина l∗ характеризует среднюю длину свободного пробега фотонадо момента гибели (поглощения) в среде с рассеянием.
Ее называют диффузионной длиной, длиной термализации или эффективнойдлиной свободного пробега (вообще говоря, она зависит от частотыкванта).Для сред с конечными размерами L вводят эффективную оптическую толщину τ∗ = L/l∗ , которую также можно записать через оптическую толщину по поглощению τa = αν L и по рассеяниюτs = σν L:(D.18)τ∗ ≈ τa (τa + τs ) .D.3. Случай рассеяния и поглощения183Среда эффективно прозрачна, если τ∗ 1.
Монохроматическаясветимость (мощность излучения) такой среды в случае теплового излучения есть простоLν = 4παν Bν V ,(τ∗ 1) ,(D.19)где V – полный объем излучающей области.В случае τ∗ 1 среда эффективно оптически толстая. Фотоны на глубине l∗ термализуются (то есть на таких глубинах устанавливается термодинамическое равновесие Iν → Bν , Sν → Bν ).Монохроматическая светимость может быть оценена (точное значение должно находиться из уравнения переноса с соответствующими граничными условиями!) как светимость слоя толщиной l∗и площадью A:√Lν ≈ 4παν Bν Al∗ ∼ 4π ν Bν A ,(τ∗ 1) .(D.20)Так как в пределе отсутствия рассеяния ν → 1 для оптически толстого плоского слоя мы должны получить излучение АЧТ, Lν →πBν A, коэффициент 4π в последней формуле следует заменитьна π.
Однако на практике используют более точные приближениярешения уравнения переноса. Например, в т.н. Эддингтоновскомприближении когда не зависит от глубины эффективная оптическая толща есть τ∗ = 3τa (τa + τs ). Более подробно перенос излучения в среде с рассеянием рассмотрен в монографии В.В.Соболева“Курс теоретической астрофизики” (М.: Наука, 1985).Приложение E.Безразмерные числа иконстантыE.1. Физические константыВажнейшими безразмерными соотношениями в современнойфизике являются константы связи различных взаимодействий,которые определяют степень “силы” взаимодействия.
К ним относится, например, константа электромагнитного взаимодействияα = e2 /c ≈ 1/137. Аналогично, безразмерная константа гравитационного взаимодействия может быть определена как αG =Gm2p /c ≈ 10−38 . Малость последней отражает тот факт, что гравитационное взаимодействие – самое слабое из известных в природе. Гравитационные эффекты сильны для объектов большой массы(планеты, звезды, галактики) и определяют строение и эволюциюВселенной в целом.Планковские единицыПланковскими называют единицы измерений длины, массы,времени, заряда и их производных, составленные из мировых постоянных G (ньютоновская постоянная тяготения, “отвечающая”за гравитацию), (постоянная Планка, “отвечает” за квантовые явления) и c скорость света.
Последняя “отвечает” за электромагнетизм (вместе с постоянной тонкой структуры, или электрическимзарядом) и за релятивизм (специальная, а вместе с G – общая теория относительности).Планковская длина: lP l = G/c3 10−33 см (например, характерный размер “начального” масштабного фактора Вселенной,E.2. Астрофизические числа185меньше которой понятие расстояния или размера теряют физический смысл).Планковская масса: mP l = c/G 10−5 г ≈ 1019 ГэВ (например, максимально возможная массачастицы) элементарнойG/c5 10−44 с (например, наПланковское время: tP l =чальный “возраст” классической Вселенной, менее которого понятие времени теряет физический смысл).Из соображений размерности нетрудно получить другие “планковские√ единицы”.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
