Л.Г. Антошина, С.В. Павлов, Л.А. Скипетрова - Общая физика (сборник задач) (1109674), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Из (1.4.2) видно, что сила инерции направлена противоположно переносному ускорению.В неинерциальных вращающихся системах координат следуетучитыватъ две силы инерции: центробежную силу инерции(1.4.3)Fцб = mω2 Rи силу Кориолиса FК = −2m[ω, vотн ],(1.4.4)где ω — угловая скорость вращающейся системы координат, R —перпендикулярная к оси вращения составляющая радиус-векторарассматриваемого тела, vотн — относительная скорость, т.е. скорость движения тела в неинерциальной системе отсчета.Качественные задачи1.4.1.
Как объяснить неодинаковое изнашивание рельсов двухколейной железной дороги?1.4.2. Можете ли Вы указать проявление сил инерции при движении тел вблизи земной поверхности?621.4.3. Производят ли работу центробежные силы? СилыКориолиса?1.4.4. Может ли быть, чтобы центробежная сила инерции совпадала с направлением силы тяжести, была ей противоположна?1.4.5. Возможен ли случай, чтобы сила инерции Кориолисасовпадала с направлением силы тяжести, была ей противоположна?1.4.6. Одинаково ли направление векторов сил инерции и соответствующих им ускорений при сложном движении материальной точки в неинерциальной системе координат? Могут ли бытьуказаны конкретно тела, которыми обусловлено появление этихускорений?Задачи с решениями1.4.7.
Маятник массой m подвешен к подставке, укрепленнойна тележке, которая свободно скатывается с наклонной плоскости,образующей угол α с горизонтом (рис. 1.48, а). Определить уравнение движения маятника относительно подставки и направлениенити маятника. Трение отсутствует.Рис. 1.48Решение. Рассмотрим равновесное состояние маятника в неинерциальной системе координат, свободно движущейся вдольнаклонной плоскости с ускорением a0, причем a0 = g sin α. На ма63ятникв этой системесила тяжести mg , сила натяжения действуютT и сила инерции Fин = −ma0. Уравнение движения в векторномвиде согласно (1.4.1) имеет вид (1)maин = T + mg + Fин .Так как aин = 0, уравнение движения принимает видT + mg − ma0 = 0.(2)Выберем координатные оси x ′y′ (см.
рис. 1.48, б) и напишемпроекции сил на каждую из осей:х′: T sinβ + mg sinα – mg sinα = 0,(3)у ′: T cos β – mg cosα = 0.(4)Из уравнения (3) получаем sin β = 0, следовательно, β = 0, т.е.нить нормальнак наклонной плоскости.Ответ: T + mg − ma0 = 0, нить нормальна к наклонной плоскости.1.4.8. Тело, находящееся на наклонной плоскости, удерживается силой трения. За какое время t тело опустится с наклоннойплоскости, если она станет двигаться в горизонтальном направлении с ускорением a0 =1 м/с2? Длина плоскости L = 1 м, уголнаклона к горизонту α = 30°, коэффициент трения между телом иплоскостью k = 0,6.
Задачу решить в неинерциальной системекоординат, связанной с наклонной плоскостью.Решение. Выберем систему отсчета, связанную с наклоннойплоскостью.На тело действуют: сила тяжести mg , сила тренияFтр, сила нормального давления N , сила инерции Fин = −ma0(рис. 1.49). Напишем уравнение движения в векторном виде:Fтр + N + mg − ma0 = maин .(1)Определим проекции данных сил на оси x ′ и y′:x′: ma0 cosα + mg sinα – Fтр = maин,(2)y′: N + ma0 sinα – mg cos α = 0,(3)Fтр = kN.(4)Напишем кинематическое уравнение движенияL = a ин t 2/2.64(5)Рис. 1.49Определяем N из уравнения (3) и подставляем в уравнения (4)и (2), тогдаa ин = g (sin α – k cos α) + a0(cos α + k sinα).Подставляя полученное значение ускорения a ин в уравнение(5), получаем время спускаt =2L /[ g (sin α − k cos α) + a0 (cos α + k sin α)] ≈ 0, 8 с.Ответ: t ≈ 0,8 с.1.4.9.
На внутренней поверхности конической воронки с углом2α при вершине на высоте h от вершины находится малое тело.Коэффициент трения между телом и воронкой равен k. Найтиминимальную угловую скорость вращения конуса вокруг вертикальной оси ωmin, при которой тело будет неподвижно в воронке.Задачу решить в неинерциальной системе координат, связанной свращающимся конусом.Решение. Выберем систему координат x′y′, связанную с вращающимся конусом.
Относительно этой системы наше тело покоится. Принимая во внимание силы, действующие на тело (рис. 1.50),напишем уравнение движения в векторном виде: mg + N + Fтр + Fин = 0.Вспомним, что во вращающейся системе координат силыинерциисоотношениями(1.4.5) и (1.4.4) и определяютсяFин = Fцб + FК , где Fцб = mω2 R — центробежнаяна cила инерции, правленная вдоль радиуса от оси вращения; FК = −2m[ω, v′] — силаКориолиса. Последняя перпендикулярна плоскости, в которой65Рис. 1.50лежат векторы угловой ω и относительной v ′ скоростей.
В даннойзадаче сила инерции определяется только центробежной силой,поскольку тело в воронке неподвижно.Напишем проекции сил на оси x ′ и y ′:х′: N cosα – Fтр sinα – mω2minr = 0,у′: N sinα + F тр cosα – mg = 0,Fтр = kN, так как в нашем случае сила трения имеет максимальное значение.Из рисунка видно, что r = h tg α.Данную систему уравненийх′: N cosα – kN sinα = mω2minh tg α,у′: N sinα + kN cos α = mgможно решить, поделив первое уравнение на второе:cos α − k sin α ω2min h tg α=.gsin α + k cos αОтсюда следует, чтоω2min =g (cos α − k sin α).h tg α(sin α + k cos α)Ответ: ωmin =g (cos α − k sin α).h tg α(sin α + k cos α)1.4.10.
На Земле, вращающейся вокруг своей оси с угловойскоростью ω, по экватору с востока на запад, с относительной66скоростью v′ движется поезд массой m. Не учитывая сил трения,принимая поезд за единое твердое тело, определить силу N , действующую на поезд со стороны рельсов.Решение. В неинерциальной системе координат, кроме обычныхсил взаимодействия— силы тяжести поезда mg и силы реакцииопорысилу инерцииN , необходимо учитывать центробежную 2Fцб = mω R и силу инерции Кориолиса FК = −2m[ω, v′] (рис. 1.51).Так как в данном случае все силы направлены вдоль одной прямой,то уравнение движения имеет видmv′2= mg − N − mω2 R + 2mv′ω,Rгде R — радиус Земли.Рис. 1.51Откудаmv′2− mω2 R + 2mv′ω.Rmv′2Ответ: N = mg −− mω2 R + 2mv′ω.RN = mg −1.4.11.
Шары центробежного регулятора соединены горизонтальной пружиной, имеющей посредине кольцо, через котороепроходит, не касаясь его, ось регулятора (рис. 1.52, а). Масса каж67Рис. 1.52дого шара m = 5 кг, длина стержней, на которых закреплены шары,l = 60 см, длина пружины в ненапряженном состоянии l1 = 40 см,жесткость пружины k = 200 Н/м. С какой частотой n вращаетсярегулятор, если угол отклонения его стержней от вертикали α = 30°?Массой стержней пренебречь.Решение. Рассмотрим силы, действующие на один из шаров внеинерциальной системе отсчета. В соответствии с рис. 1.52, б нанего действуют сила тяжести mg , сила реакции стержняN , силаупругости пружины Fупр, центробежная сила инерции Fцб.
Выберемнаправление осей x ′ и y′ и напишем уравнение движения (1.4.1)сначала в векторном виде: mg + N + Fцб + Fупр = 0,а затем в проекциях сил на данные оси:x ′: Fупр + N sin α – Fцб = 0,(1)y′: N cosα – mg = 0.(2)По закону Гука Fупр = k(l2 – l1), где l2 — длина растянутой пружины, следовательно, Fупр = k(2l sinα – l1).Из выражения (1.4.3) следует, что Fцб = mω2l sinα.Решаем систему уравнений (1), (2):mg,N =cos αsin αk(2l sin α − l1 ) + mg− mω2l sin α = 0,cos αω=682kkl1gрад−+= 6,8m ml sin α l cos αси получаемn = ω/2π = 1,08 об/c.Ответ: n =1 2kkl1g−+= 1, 08 об / с.2π m ml sin α l cos α1.4.12.
Сосуд с жидкостью вращается вокруг вертикальной осис постоянной угловой скоростью ω. Определить форму поверхности жидкости.Решение. Рассмотрим задачу в неинерциальной системе отсчета, связанной с вращающимся сосудом. В ней жидкость будет неподвижной. На частицу Δm, лежащую на расстоянии x от оси вращения, действуют три силы (рис. 1.53): сила тяжести Δmg , центробежная сила инерции Fцб = –Δmω2x и сила реакции N соседнихчастиц жидкости.
Выберем направления осей X, Y и напишем уравнение движения сначала в векторном, а затем в скалярном виде: Δmg + Fцб + N = 0;X: N sinα – Δmω2x = 0,Y: N cosα – Δmg = 0.Рис. 1.53Решаем данную систему уравнений:N = Δmg/cosα,Δmg tgα = Δmω2x,tgα = ω2x/g.69Учитывая, что tgα = dy/dx, получаем дифференциальное уравнение кривой, вращение которой вокруг оси Y образует поверхность жидкости:dy/dx = ω2x/g.Откуда y(x) = ω2x2/2g + C.Следует отметить, что при данном выборе оси X постояннаяС = 0.
Из уравнения y(x) видно, что это уравнение параболы, такимобразом, поверхность жидкости является параболоидом вращения.Ответ: y(x) = ω2x2/2g, поверхность жидкости является параболоидом вращения.1.4.13. На центробежной машине укреплен гладкий горизонтальный стержень длиной 2L0 = 1 м, ось вращения вертикальна ипроходит через середину стержня (рис. 1.54).
На стержень надетыдве небольшие муфты массой m = 400 г каждая. Муфты связанынитью длиной 2L1 = 20 см и расположены симметрично относительно оси вращения. Машина вращается с постоянной угловойскоростью ω = 2 рад/с. С какой радиальной скоростью v′ подойдутмуфты к концу стержня, если пережечь нить?Рис. 1.54Решение. По условию требуется определить скорость муфт относительно вращающегося стержня, поэтому естественно решатьзадачу в неинерциалъной системе отсчета, жестко связанной состержнем. На каждую муфту действуютсила тяжести mg , сила нормальнойреакции стержня N ; центробежная сила инерцииFцб = mω2 r , где r — радиус-вектор муфты (муфта рассматриваетсякак материальная точка), проведенный от оси вращения вдоль70 стержня; сила Кориолиса FК = −2m[ω, v′], где v′ — относительнаярадиальная скорость.
Эта сила, направленная перпендикулярновектору v′, изменяет силу нормальной реакции стержня, но вследствие отсутствия трения никак не влияет на характер относительного движения муфты. Сила Кориолиса меняет только режимработы двигателя: чем дальше уйдут муфты от оси вращения, тембольше тормозящий момент сил Кориолиса и тем большую мощность должен развивать двигатель, чтобы поддерживать постоянную угловую скорость вращения.Таким образом, движение муфты вдоль стержня происходитпод действием только центробежной силы инерции, следовательно, скорость этого движения может быть найдена либо с помощьювторого закона Ньютона, либо из соотношения между изменением кинетической энергии и работой, которую совершает при радиальном перемещении каждой муфты центробежная сила инерции.
Выбрав второй путь, запишем изменение кинетической энергии:ΔEк = mv ′ 2/2 = Aцб.(1)Согласно формуле (1.3.7), рассчитаем работу центробежнойсилыAцб =L0∫ mω r dr =L12mω2 2( L0 − L12 ).2(2)Подставляя выражение (2) в (1), получаемv′ = ω L20 − L12 = 0, 98 м / с.Ответ: v ′ = 0,98 м/с.Задачи без решений1.4.14. Маятник массой m подвешен к подставке, укрепленнойна тележке (рис. 1.55). Тележка движется горизонтально с ускорением a0. Найти уравнение движения маятника относительно подставки и угол α, который составляет нить маятника с вертикалью.Трение отсутствует.1.4.15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
