Л.Г. Антошина, С.В. Павлов, Л.А. Скипетрова - Общая физика (сборник задач) (1109674), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1.15Кинематические уравнения (1.1.13), (1.1.14), описывающиедвижение шайбы вверх, имеют вид−vк = −v0 + aпtп = 0;(5)− L = −v0tп + aпtп2 / 2.(6)Здесь учитывается тот факт, что шайба в верхней точке подъемапо наклонной плоскости останавливается, т.е. vк = 0. Проделываеманалогичные рассуждения для описания движения шайбы вниз,учитывая, что сила трения скольжения всегда противоположнанаправлению движения и что путь, пройденный шайбой вверх,равен пути спуска:24x: –Fтр + Mg sinα = Maс;(7)y: N – Mg cosα = 0;(8)Fтр = kN,L=(9)aсtc2/2.(10)Из уравнения (5) находим v0 = aпtп, подставляем в (6) и получаем L = aпtп2/2.
Следовательно, aпtп2/2 = aсtc2/2, откуда, зная соотношение между временем спуска и временем подъема, определимсоотношение между ускорениями aп/aс = n2. Решая уравнения(2)–(4) и (7)–(9), получаемkMg cos α + Mg sinα = Maп,Mg sinα – kMg cosα = Maс.Делим почленно два последних уравнения:(k cosα + sinα)/(sinα – k cosα) = aп/aс = n2.Решая это уравнение относительно k, находимk = tg α (n2 – 1)/(n2 + 1).Ответ: k = tg αn2 − 1.n2 + 11.2.14. Два груза связаны между собой невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Плоскости, на которых лежатгрузы, составляют с горизонтом углы α и β (рис. 1.16). Правыйгруз находится ниже левого на h м. Через τ секунд после началадвижения оба груза оказались на одной высоте.
Коэффициенттрения между грузами и плоскостью k. Определите отношениемасс грузов M1 и М2.Рис. 1.1625Решение. Выберем направление координатных осей для каждого из тел, руководствуясь условием, что положительное направление одной из координатных осей совпадает с направлением ускорения (см. рис. 1.16). Определим силы, действующие на каждое изтел. Так как мы считаем нить, связывающую тела, нерастяжимой,то ускорения тел равны. Напишем уравнения движения тел: (1)T + Fтр1 + M1 g + N1 = M1a,проекция на ось x:–T + M1g sinα – Fтр1 = M1a,(2)проекция на ось y:N1 – M1g cosα = 0,(3)Fтр1 = kN1; T + Fтр2 + M 2 g + N 2 = M 2a,(5)проекция на ось x:T – M2g sinβ – Fтр2 = M2a,(6)проекция на ось y:N2 – M2g cosβ = 0,(7)Fтр2 = kN2.(8)(4)Так как нить нерастяжима, тела за время τ переместились вдольповерхностей на одинаковые расстояния: s1 = s2 = ατ2 / 2.
Из геометрических построений имеем h1 = s1 sin α = ½aτ2 sin α и h2 == ½aτ2 sinβ. По условию h1 + h2 = h, илиaτ2(9)(sin α + sin β) = h.2Выразим из уравнений (3) и (7) N1 и N2 соответственно и подставим их в (4) и (8). Тогда уравнения (2) и (6) примут вид–T + M1g sin α – kM1g cosα = M1a,T – M2 g sinβ – kM2 g cosβ = M2a.Складывая их, найдем ускорениеM1 g sin α − M 2 g sin β − kg ( M1 cos α + M 2 cos β).M1 + M 2Определяя ускорение из уравнения (9)a=2hτ2 (sin α + sin β)и приравнивая (10) и (11), получаемa=26(10)(11)2hM g sin α − M 2 g sin β − kg ( M1 cos α + M 2 cos β)= 1,M1 + M 2τ (sin α + sin β)2откудаM1τ2 g (sin α + sin β)(sin β + k cos β) + 2h.= 2M 2 τ g (sin α + sin β)(sin α − k cos α) − 2hОтвет:M1τ2 g (sin α + sin β)(sin β + k cos β) + 2h.= 2M 2 τ g (sin α + sin β)(sin α − k cos α) − 2h1.2.15.
Дана система блоков и тел, показанная на рис. 1.17.К телу массой М2 приложили силу F , направленную под углом αк горизонту. Коэффициенты трения между горизонтальной поверхностью и телами массами M1 и M2, равны соответственно k1и k2. Нить, соединяющая тела, невесома и нерастяжима. Блокинеподвижны и невесомы.
Определить ускорение a тел и натяжениенити T.Рис. 1.17Решение. Определим все силы, действующие на каждое из тел.Напишем второй закон Ньютона в векторной форме: (1)F + M 2 g + Fтр2 + N 2 + T = M 2a, M1 g + Fтр1 + N1 + T = M1a.(2)Вводя оси координат и заменяя векторные уравнения (1) и (2)скалярными равенствами, получаем систему уравнений, решениекоторой позволит определить значение ускорения а и натяжениенити Т:27x: F cos α − Fтр2 − T = M 2a,⎫⎪⎪y: F sin α + N 2 − M 2 g = 0, ⎬⎪Fтр2 = k2 N 2 ,⎪⎭N2 = M2g – F sinα;F cosα – T – k2(M2 g – F sinα) = M2a,(3)x: T − Fтр1 = M1a,⎫⎪⎪y: N1 − M1 g = 0, ⎬⎪Fтр1 = k1N1,⎪⎭N1 = M1g,T – k1M1 g = M1a.(4)Складывая (3) и (4), получаемF cosα – k2(M2 g – F sinα) – k1M1 g = (M1 + M2)a,F cos α − k2 ( M 2 g − F sin α) − k1M1 ga=,M1 + M 2T = M1a + k1M1 g = M1(a + k1 g).Ответ: a =F cos α − k2 ( M 2 g − F sin α) − k1M1 g, T = M1(a + k1 g).M1 + M 21.2.16. На рис.
1.18 показан блок пренебрежимо малой массы,подвешенный к пружинным весам. К концам нити, переброшенной через блок, прикреплены грузы М1 = 1 кг и М2 = 5 кг. Грузыдвижутся с ускорением под действием силы тяжести. Трение вблоке отсутствует. Что покажут весы?Решение. Рассмотрим все силы, приложенные к телам М1 и М2,блоку, пружинным весам. Условие отсутствия трения в блоке позволяет считать равными силы натяжения нити в любом ее сечении. Выберем направления координатной оси x и запишем уравнения движения каждого из тел:M2 g – T1 = M2a,T1 – M1 g = M1a,2T1 – T2 = 0.28Рис. 1.18Весом тела называют силу, которая в положении равновесиярастягивает пружину, если к ней подвесить тело. В нашем случаеэто величина, равная Т2.Из вышеприведенной системы уравнений находимa=M 2 − M1g,M1 + M 2T1 = M1 g + M1M 2 − M1g = 16 Н,M1 + M 2T2 = 2T1 = 32 Н.Такая сила соответствует массе тела m = 3,2 кг.
Таким образом,пружинные весы показывают 3,2 кг, т.е. меньше, чем сумма массобоих тел, равная 6 кг.Ответ: 3,2 кг.1.2.17. На краю наклонной плоскости с углом наклона α лежиттело. Плоскость равномерно вращается вокруг вертикальной осис угловой скоростью ω. Расстояние от тела до оси вращения R(рис. 1.19). Определите наименьший коэффициент трения k0, прикотором тело удерживается на вращающейся наклонной плоско29Рис. 1.19сти.
Рассмотреть два предельных случая: 1) тело находится на горизонтальной плоскости, которая равномерно вращается вокругвертикальной оси; 2) тело лежит на неподвижной наклонной плоскости.Решение. При решении задачи вспомним, что кроме тренияскольжения существует также трение покоя, которое характеризует силу сопротивления при любых попытках сдвинуть тело.Рассмотрим тело, например стол, который покоится на горизонтальном полу. Когда на стол в горизонтальном направлении никакого действия не оказывают, отсутствует и сила трения.Предположим теперь, что Вы пытаетесь сдвинуть стол, но он недвигается. Раз Вы прилагаете горизонтальную силу, а стол не двигается, то должна существовать другая действующая на стол сила,⎛⎞препятствующая его движению ⎜ ∑ Fi = 0 ⎟ .
Это — сила трения⎝ i⎠покоя, действующая на стол со стороны пола. Если Вы толкаетестол с еще большей силой, а он так и не сдвинулся, то это означает,что сила трения покоя также увеличилась. Наконец, Вы приложили достаточно большое усилие, и стол сдвинулся. В это время приложенная Вами сила стала больше максимальной силы тренияпокоя, определяемой выражением Fтр = kпN, где kп — коэффициент трения покоя.
Поскольку сила трения покоя изменяется отнуля до этого максимального значения, можно записать Fтр ≤ kпN.Возможно, Вы замечали, что зачастую легче поддерживать состояние движения тяжелого тела, чем впервые сдвинуть его с места.В этом наблюдении отражается тот факт, что kп почти всегда пре30восходит kск (коэффициент трения скольжения) и уж во всякомслучае никогда не может быть меньше.После этих рассуждений приступим к решению задачи.Рассмотрим силы,действующие на тело: сила тяжести M g, силатрения покоя Fтр, так как относительнонаклонной плоскости телопокоится, сила реакции опоры N .Напишем второй закон Ньютона в векторной форме, учитываятот факт, что тело вращается вместе с наклонной плоскостью:Fтр + N + Mg = Ma.Выберем направление координатных осей, как показано нарис.
1.19, и напишем уравнение движения нашего тела в скалярнойформе:х: Fтр cosα – N sinα = Mω2R,у: N cosα + Fтр sinα – Mg = 0,Fтр = k0N.Решаем систему уравнений⎧⎪k0 N cos α − N sin α = M ω2 R,⎨⎩⎪ N cos α + Fтр sin α = Mg,делим правые и левые части:k0 cos α − sin α, ω2 R=;cos α + k0 sin αggk0 cosα – g sin α = ω2R cosα + k0ω2R sinα,k0(g cosα – ω2R sinα) = ω2R cosα + g sinα,получаемk0 =ω2 R cos α + g sin α.g cos α − ω2 R sin αПроанализируем ответ: k0 > 0, следовательно, g cos α – ω2R ×× sin α > 0, т.е. tg α < g/ω2R. Если это условие не выполнено, тоникакая сила трения не в силах удержать тело на вращающейсянаклонной плоскости.Предельные случаи: 1) α = 0, k0 = ω2R/g;2) ω = 0, k0 = tg α.31Вам предлагается проверить эти ответы.ω2 R cos α + g sin α, 1) α = 0, k0 = ω2R/g, 2) ω = 0,Ответ: k0 =2g cos α − ω R sin αk0 = tg α.1.2.18. Сфера радиусом R вращается с угловой скоростью ωвокруг вертикальной оси.
При каком минимальном значении коэффициента трения k0 тело будет удерживаться на поверхности,не скользя по ней? Задачу решить для двух случаев (рис. 1.20):а) угол равен α, тело на внешней поверхности сферы;б) угол равен β, тело на внутренней поверхности сферы (этучасть задачи решить самостоятельно).Рис. 1.20Решение. а) Определим силы, действующие на тело. Напишемуравнение движенияFтр + N + Mg = Maи определим проекции этих сил на координатные оси x и y:х: Fтр sinα – N cosα = Mω2r,у: N sinα + Fтр cosα – Mg = 0,Fтр = k0N,r = R cosα.Решаем систему уравнений⎧⎪k0 N sin α − N cos α = M ω2 R cos α,⎨⎩⎪ N sin α + Fтр cos α = Mg .32Поделим уравнения почленно:k0 sin α − cos α ω2 R cos α=;sin α + k0 cos αggk0 sinα – g cosα = ω2R cosα sinα + k0ω2R cos2 α,k0(g sin α – ω2R cos2 α) = g cosα + ω2R cos α sin α.Получаемk0 =g cos α + 0,5ω2 R sin 2α.g sin α − ω2 R cos 2 αg cos α + 0,5ω2 R sin 2α;g sin α − ω2 R cos 2 αg cos β − 0,5ω2 R sin 2βб) k0 =g sin β + ω2 R cos 2 βОтвет: а) k0 =.1.2.19.
Две гири, находящиеся на блоках, установлены на высоте h = 3 м друг от друга (рис. 1.21). Предоставленные самим себегири через τ = 1 с после начала движения оказались на однойвысоте. Какова масса гири m1, подвешенной к свободному концуверевки, если масса другой гири m2 = 0,3 кг?Рис. 1.2133Решение. Рассмотрим силы, действующие на каждую гирю иподвижный блок (который мы считаем невесомым). Выберем координатную ось x, как показано на рис. 1.21:m1g – T1 = m1a1,2T1 – T2 = mбла = 0 (mбл = 0),T2 – m2 g = m2a2,a2 = a1/2.Последнее соотношение следует из следующих кинематическихсоображений: если первое тело опустилось на s1 = a1τ2/2, то за этоже время тело, висящее на подвижном блоке, поднялось наs2 = a2τ2/2, причем s2 = s1/2.
За время τ тела прошли путь h, который определяется следующим образом:h = a1τ2/2 + a2τ2/2 = 3a1τ2/4.Решаем полученные системы уравнений:⎪⎧T2 − m2 g = m2a1 / 2,⎨⎩⎪T2 = 2T1 ,⎪⎧4T1 − 2m2 g = m2a1 ,⎨⎩⎪m1 g − T1 = m1a1 ,⎧⎪4T1 − 2m2 g = m2a1 ,⎨⎩⎪4m1 g − 4T1 = 4m1a1 ,a1 =4m1 − 2m2g.4m1 + m2Из h = 3a1τ2/4 получаем a1 = 4h/3τ2; в результатеm1( 4h / 3τ=2)+ 2 g m24 g − 16h / 3τ2= 0, 3 кг.Ответ: m1 = 0,3 кг.1.2.20. Определить ускорение a3 тела массой М в системе, изображенной на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
