Л.Г. Антошина, С.В. Павлов, Л.А. Скипетрова - Общая физика (сборник задач) (1109674), страница 5
Текст из файла (страница 5)
1.22. Массой блоков и силой трения пренебречь. Наклонные плоскости считать закрепленными жестко.Решение. Рассмотрим силы, действующие на каждое из тел системы. Выберем направления координатных осей, как показано нарисунке:T1 – m1g sin α = m1a1,T1 – m2 g sinα = m2a2,34Рис. 1.222T1 – T2 = 0,Mg – T2 = Ma3,a3 = (a1 + a2)/2.Последнее соотношение следует из условий, что нить нерастяжима, следовательно, если тело m1 продвинулось на расстояниеs1 = a1τ2/2, а тело m2 — на расстояние s2 = a2τ2/2, то тело М опустилось на s3 = (s1 + s2)/2, причем s3 = a3τ2/2.Преобразуя данную систему уравнений, получаем систему двухуравнений с двумя неизвестными, которая легко решается припомощи определителей:–(m1 + m2)a2 + 2m1a3 = (m2 – m1) g sinα,(m2 – m1)a2 + (2m1 + M)a3 = Mg – (m1 + m2) g sin α;−(m1 + m2 )(m2 − m1 ) g sin αm2 − m1Mg − (m1 + m2 ) g sin αa3 =.−(m1 + m2 )2m12m1 + Mm2 − m1Отсюдаa3 = gM (m1 + m2 ) − 4m1m2 sin α.M (m1 + m2 ) + 4m1m2Ответ: a3 = gM (m1 + m2 ) − 4m1m2 sin α.M (m1 + m2 ) + 4m1m2351.2.21.
Тяжелый шарик подвешен на нити длиной l. Нить равномерно вращается в пространстве, образуя с вертикалью угол α(конический маятник). Вся система установлена в ракете, поднимающейся с ускорением a вертикально вверх. Сколько оборотовn сделает шарик за время τ?Решение. Рассмотрим силы, действующие на шарик, выберемнаправление координатных осей x и y (рис. 1.23) и напишем уравнение движения шарика в системе координат, связанной с Землей.Следует отметить, что шарик участвует в двух движениях: вращается с ускорением an = ω2R и поднимается вместе с ракетой вверхс ускорением a, таким образом, полное ускорение шарикаa0 = an + a.Рис. 1.23Уравнение движения T + mg = ma0 ,⎫⎪⎪⎪y: T cos α − mg = ma, ⎬⎪ωτ⎪R = l sin α, n =,⎪⎭2πx: T sin α = mω2 R ,Получаемn=τ g+a.2π l cos αОтвет: n =36τ g+a.2π l cos αm( g + a);cos αT sin α = mω2l sin α.T =Задачи без решений1.2.22.
Определить силу давления N шарика массой m на наклонную плоскость и силу натяжения нити T (рис. 1.24). Уголнаклона плоскости α, угол между нитью и вертикалью β. Трениеммежду шариком и плоскостью пренебречь.Рис. 1.241.2.23. По желобу, изогнутому в виде полуокружности радиусомR, может без трения скользить тело массой M. На какой высоте hбудет находиться тело, если желобок равномерно вращать с угловой скоростью ω (рис. 1.25). С какой силой F тело давит на желобок?Рис. 1.251.2.24. Определить ускорение a грузов в системе, изображеннойна рис. 1.26. Массами блоков, нити и трением пренебречь.371.2.25. Через блок перекинута нерастяжимая и невесомая нить,на концах которой висят грузы массами m1 и m2 (m1 > m2).
Блокначали поднимать вверх с ускорением a 0 относительно земли(рис. 1.27). Полагая, что нить скользит по блоку без трения, найти силу натяжения нити Т и ускорение a1 груза m1 относительноземли. Определить соотношение масс m1/m2, при котором ускорение груза m1 относительно земли равно нулю?Рис. 1.26Рис. 1.27 1.2.26. Определить ускорение грузов a1, a2, a3 в системе, изображенной на рис. 1.28.
Массами блоков и нити, а также трениемможно пренебречь. Массы тел известны.1.2.27. Груз массой M = 45 кг вращается на канате длинойL = 5 м в горизонтальной плоскости (рис. 1.29), совершаяn = 16 об/мин. Какой угол α с вертикалью образует канат и какова сила его натяжения T?Рис. 1.2838Рис. 1.291.2.28. На гладкое проволочное кольцо радиусом R надет маленький шарик массой M. Кольцо вместе с шариком вращаетсявокруг вертикальной оси, проходящей через диаметр кольца(рис. 1.30) с угловой скоростью ω. Где находится шарик?(Определить угол α.)1.2.29.
На сферической поверхности радиусом R находитсятело. Коэффициент трения тела о поверхность сферы k, угол между вертикалью и радиус-вектором тела α (рис. 1.31). Какова максимальная угловая скорость вращения сферы ω, при которой телоудерживается на ее поверхности и не скользит по ней?1.2.30. Шарик массой m и радиусом r удерживается на неподвижном шаре радиусом R невесомой нитью длиной l, закрепленной в верхней точке шара С (рис. 1.32). Других точек соприкосновения между нитью и шаром нет.
Пренебрегая трением, найтинатяжение нити T.Рис. 1.30Рис. 1.31Рис. 1.32ТЕМА 1.3ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСАИ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. РАБОТАРешение задач в рамках механики Ньютона существенно упрощается, если исходить из анализа изменения (сохранения) такихвеличин, как полный импульс механической системыp = ∑ mi vi(1.3.1)iи полная механическая энергияЕ = Еп + Ек.(1.3.2)Здесь mi, vi — соответственно масса и скорость отдельных входящих в систему тел, Eп и Eк — потенциальная и кинетическаяэнергии. При определении последних величин часто используютвыражения, согласно которым кинетическая энергия тела, движущегося поступательно со скоростью v,Ек = mv2/2;(1.3.3)потенциальная энергия тела, поднятого вблизи поверхности Землина высоту h,Eп = mgh;(1.3.4)потенциальная энергия упругодеформированного телаЕп = kx2/2,(1.3.5)где k — коэффициент упругости.Работа, совершаемая силой F при элементарном перемещенииΔr , определяется соотношением (1.3.6)A = F ⋅ Δr = F Δs cos α,где Δs = Δr — элементарный путь, α — угол между векторами F иΔr .Работа переменной силы F на пути ssA = ∫ F cos α ds.(1.3.7)0Силы, работа которых зависит лишь от начальной и конечнойточек траектории, но не зависит от ее формы, называются потенциальными (консервативными).
Изменение полной энергии сис40темы равно работе, совершенной внешними силами, приложенными к системе:E2 – E1 = Aвнеш.(1.3.8)Систему взаимодействующих тел называют замкнутой, если нанее извне не действуют другие тела. Для такой системы выполняется закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы неизменяется при любых процессах, происходящих внутри этой системы, т.е.p = const, если ∑ Fвнеш = 0.(1.3.9)Закон сохранения энергии в механике формулируется следующим образом: полная механическая энергия замкнутой системы,в которой действуют только консервативные силы, есть величинапостоянная, т.е.Ек + Еп = const.(1.3.10).Качественные задачи1.3.1.
Кинетические энергии легкого и тяжелого тела одинаковы. У какого из них больше импульс?1.3.2. Тело бросают под углом α к горизонту с начальной скоростью v0. Используя закон сохранения механической энергии,определить максимальную высоту подъема.1.3.3. Правильно ли утверждение, что камень, брошенный снекоторой начальной скоростью с вершины скалы в море, войдетв воду со скоростью, которая будет одна и та же как в случае, когда его бросают горизонтально, так и при броске под углом к горизонту? Объясните ответ.1.3.4. Имеется наклонная плоскость высотой Н. Тело массойm скользит без начальной скорости из верхней точки. Зависит лискорость этого тела у основания наклонной плоскости от угла,который она составляет с горизонтом, если: а) трение не учитывать; б) силу трения учитывать?1.3.5.
Сохраняется ли механическая энергия тел при неупругомударе?1.3.6. В каком случае закон сохранения импульса можно применить к неизолированной системе?41Задачи с решениями1.3.7. Деревянный поршень при движении в цилиндре сжимает невесомую пружину жесткостью k. Между поршнем и цилиндром при движении возникает постоянная по величине сила трения F. В поршень попадает и застревает в нем пуля, которая имела скорость v0, направленную вдоль оси цилиндра (рис. 1.33).Масса пули m, масса поршня М.
На какую величину x сместитсяпоршень? Цилиндр закреплен.Рис. 1.33Решение. Разобьем процессы, происходящие во времени, в соответствии с условием задачи на два этапа. На первом определяющим будет взаимодействие в системе пуля–поршень. Эту систему можно считать замкнутой (но не консервативной, посколькуна пулю в те мгновения, когда она углубляется в поршень, действуют диссипативные силы сопротивления). Применим к нейзакон сохранения импульса.
В начальный момент полный импульсбыл равен р1 = mv0, в конечный — p2 = (m + М)u, где u — скоростьпули и поршня как целого. Тогда, следуя (1.3.9), имеем mv0 == (m + M)u. На втором этапе все будет определяться взаимодействием в системе поршень (вместе с застрявшей пулей) — пружина — цилиндр. Воспользуемся теперь законом изменения механической энергии системы (1.3.10). Начальная энергия системыопределяется кинетической энергией поршня с пулейEнач = (m + M)u2/2, а конечная — потенциальной энергией сжатойпружины Екон = kх2/2, разница между этими энергиями идет наработу против сил трения Eкон – Eнач = А = –Fx:m+M 2 1 2u − kx = Fx,22x2 +42(mv0 )22Fx−= 0.kk(m + M )Решая полученное уравнение, получаем2x1,2 = −(mv0 )2F⎛F ⎞± ⎜ ⎟ +.kk(m + M )⎝k⎠Корень со знаком «–» отбрасываем, исходя из физическогосодержания задачи.
Таким образом, получаем, что поршень сместится на величину2x=−(mv0 )2F⎛F ⎞.+ ⎜ ⎟ +kk(m + M )⎝k⎠2Ответ: x = −(mv0 )2F⎛F ⎞.+ ⎜ ⎟ +kk(m + M )⎝k⎠1.3.8. Маятник с грузиком массой М подняли на высоту Н иотпустили. В нижней точке своей траектории грузик налетает накусочек пластилина массой m (рис. 1.34).
До какой высоты h поднимется грузик с налипшим на нем пластилином? Какая частьмеханической энергия при этом ударе перешла во внутреннююэнергию Q?Рис. 1.34Решение. В данном случае мы имеем дело с абсолютно неупругим ударом — так называется столкновение двух тел, в результатекоторого они соединяются вместе и движутся дальше как однотело.Физические явления при неупругом столкновении тел довольно сложны. Сталкивающиеся тела деформируются, возникаютупругие силы, силы трения и т.д., иначе говоря, во время столкновения в системе действуют диссипативные силы, уменьшающиекинетическую энергию макроскопического движения. Поэтому43применять закон сохранения механической энергии к процессам,происходящим во время неупругого удара, нельзя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
