Л.Г. Антошина, С.В. Павлов, Л.А. Скипетрова - Общая физика (сборник задач) (1109674), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Горизонтально расположенный стержень вращается вокруг оси, проходящей через его конец, с постоянной угловой скоростью ω = 1 рад/с. Расстояние от оси до другого конца стержня71Рис. 1.55L = 1 м. На стержень надета муфта массой m = 0,1 кг. Муфта закреплена с помощью нити на расстоянии L0 = 0,1 м от оси вращения. В момент t = 0 с нить пережигают, и муфта начинает скользить по стержню практически без трения. Найти: 1) время τ, спустя которое муфта слетит со стержня; 2) силу F, с которой стерженьдействует на муфту в момент τ; 3) работу А, которая совершаетсянад муфтой за время τ.1.4.16.
Стержни центробежного регулятора, на которых закреплены шары массой m = 5 кг каждый, имеют длину L = 60 см исоединяются посредине горизонтальной пружиной с кольцом вцентре, через которое проходит, не касаясь его, ось регулятора(рис. 1.56). Длина пружины в ненапряженном состоянии L0 == 20 см; жесткость пружины k = 200 Н/м. С какой частотой n вращается регулятор, если угол отклонения стержней от вертикалиα = 30°? Массой стержней пренебречъ.Рис. 1.561.4.17. В потолок лифта вмонтирована вертикальная ось, к которой на нити длиной L = 40 см прикреплено тело массой m == 800 г. Ось вращается с частотой n = 90 об/мин. Найти силу на72тяжения нити Т и угол α отклонения нити от вертикали, когдалифт движется вверх с ускорением a0 = 3 м/с2.
Массой нити пренебречь.1.4.18. Электровоз массой m = 184 т движется вдоль меридиана со скоростью v = 72 км/ч на широте ϕ = 45°. Определитьгоризонтальную составляющую силы, с которой электровоз давитна рельсы.ТЕМА 1.5ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛАПри решении задач движение твердого тела можно рассматривать как сумму двух движений: вращательного относительно какой-либо оси и поступательного со скоростью оси. При этом осьвращения обычно выбирают так, чтобы она проходила через центрмасс тела.Центром масс системы материальных точек (твердого тела) называется точка С, положение которой в пространстве определяетсярадиус-вектором, имеющим начало в произвольной точке О и равнымmi ri ∑ mi ri∑(1.5.1)=,rC =m∑ miгде mi — масса i-й материальной точки, ri — ее радиус-вектор сначалом в той же точке О, m — масса всей системы (твердого тела).При изучении вращения твердого тела пользуются понятиямимомента инерции I, момента силы M и момента импульса L.Моментом инерции системы (тела) I относительно оси вращенияназывается физическая величина, равная сумме произведений массn материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:I =n∑ mi ri2 .(1.5.2)i =1В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралуI = ∫ r 2dm,(1.5.3)Vгде интегрирование производится по всему объему тела.
Величинаr в этом случае есть функция положения точки с координатамиx, у, z.Момент силы F относительно неподвижной точки О определяется векторным произведением радиус-вектора r , проведенногоиз точки О в точку приложения силы, на силу F : M = [r , F ].(1.5.4)Модуль момента силыM = rF sinα,74(1.5.5) где α — угол между r и F , r sinα = l — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О (плечо силы).Моментом импульса материальной точки L относительно неподвижной точки называется физическая величина, определяемаявекторным произведением: (1.5.6)L = [r , p] = [r , mv ],где r — радиус-вектор, p = mv — импульсматериальной точки.Момент импульса твердого тела L относительно оси равен сумме моментов импульсов отдельных частиц:nn L = ∑ mi [ri , vi ] = ∑ mi ri2ω = I ω.(1.5.7)i =1i =1Таким образом, момент импульса твердого тела относительнооси определяется произведением момента инерции тела I относительно той же оси на угловую скорость ω.Уравнения, описывающие движение твердого тела, можно записать следующим образом:maC = ∑ Fi ,(1.5.8)i(второй закон Ньютона для движения центра масс твердого тела),где aC — ускорение центра масс,I zβ =∑ M iz ,(1.5.9)i(основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела), где ∑ M iz = M z — результирующий момент всех внешнихiсил, приложенных к телу, относительно оси z, Iz — момент инерцииотносительно оси z, β — угловое ускорение твердого тела.Качественные задачи1.5.1.
Какую линейную скорость относительно земли имеютточки А и В (рис. 1.57), находящиеся на ободе катящегося без проскальзывания колеса?1.5.2. Как движутся кабины в аттракционе «колесо обозрения»:поступательно или вращательно?1.5.3. В какую сторону вдоль оси вращения направлен векторугловой скорости Земли при ее суточном вращении?75Рис. 1.571.5.4. Посмотрите на циферблат часов с секундной стрелкой.Как направлен момент импульса секундной стрелки?1.5.5.
Может ли меньшая сила создать больший моментсилы?1.5.6. Если равнодействующая всех сил, действующих на систему, равна нулю, то равен ли нулю результирующий момент сил?Если результирующий момент сил, действующих на систему, равеннулю, равна ли нулю результирующая сила?1.5.7. Частица движется с постоянной скоростью вдоль прямойлинии. Как изменяется с течением времени момент импульса частицы, вычисленный относительно любой точки, не лежащей наэтой прямой?1.5.8. Два однородных диска одной толщины и одинаковоймассы вращаются вокруг осей, проходящих через их центры. Еслиони изготовлены из материалов с различными плотностями, то укакого из них момент инерции будет больше?Задачи с решениями1.5.9. На рис.
1.58 заштрихованная область представляет собойоднородную пластину в форме буквы L. Определить координатыxC и yC ее центра масс.Решение. По определению радиус-вектор центра масс находится по формуле (1.5.1), следовательно, координаты хC и уC центрамасс определяются соотношениямиxC =∑ mi xi ,yC =∑ mi yi .mmРазбиваем пластину на квадраты так, как показано на рисунке,и определяем координаты центра масс, исходя из следующихсумм:76Рис. 1.58xC =m ⋅ 12 + m ⋅ 12 + m ⋅ 12 + m ⋅ 32 + m ⋅ 52 + m ⋅ 72 3= ,6m2m ⋅ 52 + m ⋅ 32 + m ⋅ 12 + m ⋅ 12 + m ⋅ 12 + m ⋅ 12= 1.6m3Ответ: xC = , yC = 1.2yC =1.5.10.
Получить формулу для момента инерции:1) однородного диска массой М радиусом R относительно оси,перпендикулярной его плоскости и проходящей через его центр;2) шара относительно его диаметра (масса шара M, радиус R);3) тонкого стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину;4) тонкого стержня относительно оси, перпендикулярнойстержню и проходящей через его конец (длина стержня l ).Решение. Для решения задачи воспользуемся выражением(1.5.3).1) Рассмотрим диск, выделим кольцо радиусом r и толщинойdr (рис.
1.59, а), масса этого кольца dm = ρ⋅2πr dr h, плотностьMM2Mr drρ==, следовательно, dm =.2VπR hR2Момент инерции dI кольца относительно оси2Mr 3drdI = r 2dm =,R2отсюда следуетRIд =MR 22M 3rrd=.∫2R2 0(1)77Рис. 1.592) Разбиваем шар на тонкие диски, перпендикулярные осивращения (рис. 1.59, б). Масса дискаdm = ρπr 2dz =M π(R 2 − z 2 ) dz.4 πR 33Момент инерции такого диска относительно оси Z, согласно (1)3Mr 2dm(R 2 − z 2 )2 dz.=24R3 ⋅ 2Таким образом, момент инерции шара оказывается равнымdI =R3M 22(R − z 2 )2 dz = MR 2 .350 8RIш = 2∫(2)3) Рассмотрим тонкий стержень.
Разбиваем его на элементарные массы dm толщиной dh (рис. 1.59, в):78MMπR 2dh =dh.2lπR lМомент инерции этой массы dI = h2 dm. Следовательно, моментинерции стержняdm = ρπR 2dh =l /2I ст = 2∫h2dm =0Ml 2.12(3)4) Воспользуемся теоремой Штейнера: если известен моментинерции тела I0 относительно оси, проходящей через центр массэтого тела, то момент инерции I относительно любой другой оси,параллельной данной и отстоящей от нее на расстоянии а, выражается формулой I = I0 + ma2, где m — масса тела.
Опираясь наэту теорему и используя формулу (3), получаем2I =Ml 2Ml 2⎛l ⎞.+M⎜ ⎟ =123⎝2⎠Ответ: 1) I д =MR 2Ml 22Ml 2, 2) I ш = MR 2, 3) I ст =, 4) I =.212531.5.11. В однородном диске массой M и радиусом R вырезанокруглое отверстие диаметром d, центр которого находится на расстоянии l от оси диска (рис. 1.60). Найти момент инерции I полученного тела относительно оси, проходящей через его центр, перпендикулярно к плоскости диска.Рис. 1.60Решение. Воспользуемся следующим формальным приемом:будем рассматривать наш диск с радиусом R и массой M и дискрадиусом d/2 и массой –m. Таким образом, момент инерции исследуемого тела будет представлять собой сумму моментов инерции этих двух дисков с применением теоремы Штейнера.79Проведем ряд математических преобразований:M = πR 2 hρ,m=hρ =M,πR 2πd 2 hρ πd 2 M d 2 M;==44πR 24R 2d 2M 2M 2 d 2M dl ,−R −⋅24R 2 2 ⋅ 4 4R 2получимI =⎛ 2d4d 2l 2 ⎞−−R⎜⎜⎟.16R 2 2R 2 ⎟⎠⎝M⎛ 2d4d 2l 2 ⎞−Ответ: I =⎜⎜ R −⎟.2 ⎝16R 2 2R 2 ⎟⎠I =M21.5.12.
Через неподвижный блок радиусом R с моментом инерции I переброшена нить, на которой висят грузы массами m1 и m2.Каковы будут натяжения нити T1 и T2 по обе стороны блока иускорение a движения тел (рис. 1.61)?Рис. 1.61Решение. Поскольку блок закреплен, то ускорение центра массблока aC бл = 0 (блок только вращается). Следовательно, уравнениядвижения (1.5.8) и (1.5.9) запишутся в виде(1)∑ Fi = 0, (2)∑ M i = I β.На ось действуют сила тяжести mбл g , силы натяжения нити T1и T2, сила реакции оси N . Так как все вектора коллинеарные, тоуравнение (1) можно записать в скалярной форме:80–N + mбл g + T1 + T2 = 0.Блок вращается под действием моментов сил натяжения нитейТ1 и Т2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
