Л.Г. Антошина, С.В. Павлов, Л.А. Скипетрова - Общая физика (сборник задач) (1109674), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Кроме того,ω′, тем меньшеясно, что чем меньше угловая скорость прецессиии соответствующий момент импульса L′. При ω ω′ Lω L′,поэтомурезультирующий момент импульса L практически равенLω как по величине, так и по направлению. Следовательно, можно считать, что(3)L = I ω.96Зная поведение вектора L, мы найдем и характер движения осиволчка-гироскопа. Согласно уравнению моментов (1) относительно точки О имеем:dL = M dt,(4)где M — момент внешних сил относительно точки O (в данномслучае это момент силы тяжести).Из рисунка видно, что приращение dL за время dt импульсаперпендикулярно моменту импульса L, т.е. dL ⊥ L, и совпадает понаправлению с моментом сил. В результате вектор L (следовательно, и ось волчка) будет поворачиваться с вектором M вокруг вертикали, описывая круговой конус с углом полураствора θ.
Волчокгироскоп будет прецессировать вокруг вертикальной оси с некоторой угловой скоростью ω′.Теперь приступим к решению основной задачи и определим угловую скорость прецессии ω′. Найдем связь между M , L и ω′.Согласно рисункуdL = L sin θω′ dt,(5)или в векторном виде dL = [ω′, L] dt .(6)Теперь подставим (6) в (4): (7)[ω, L] = M .Из этого уравнения видно, что момент M изменяет угловуюскорость прецессииω′, а не ускорение.
Поэтому мгновенное устранение момента M приводит к мгновенному исчезновению ипрецессии. Заметим, что момент сил, действующих на гироскоп,может иметь любую природу.Для обеспечения регулярности прецессии(постоянной угловойскорости ω′) важно, чтобы вектор M не менялся по модулю, поворачивался вместе с осью гироскопа.Распишем уравнение гироскопа (7) для нашего случая:ω′I ω sinθ = mgl sinθ,Определим угловую скорость прецессииω′ = mgl/Iω.Интересно, что величина ω′ не зависит от угла наклона θ осиволчка.
Кроме того, ω′ обратно пропорциональна ω, т.е. чем боль97ше угловая скорость волчка ω, тем меньше угловая скорость егопрецессии ω′.Ответ: ω′ = mgl/Iω.Задачи без решения1.6.14. Одинаковую ли скорость будет иметь центр шара у основания наклонной плоскости, если один раз он соскальзывает(без трения), а другой — скатывается с нее?1.6.15. Обруч и диск одинаковой массы катятся без скольженияс одинаковой линейной скоростью. Кинетическая энергия обручаE1. Найти кинетическую энергию диска E2.1.6.16.
Шарик радиусом r скатывается без начальной скоростии без скольжения по поверхности сферы из самого верхнего положения. Определить точку, определяемую углом α, в которой оноторвется от сферы и начнет свободно двигаться под действиемсилы тяжести (рис. 1.70).1.6.17.
Диск А вращается вокруг гладкой вертикальной оси сугловой скоростью ωА (рис. 1.71). На него падает диск В, вращающийся с угловой скоростью ωВ. Вследствие трения между нимиоба диска через некоторое время начинают вращаться как единоецелое. Найти изменение кинетической энергии ΔEк, если моменты инерции дисков относительно оси вращения равны IA и IB соответственно.Рис. 1.70Рис. 1.711.6.18. Сплошной однородный шар массой m и радиусом R,вращающийся с угловой скоростью ω0, ставится на горизонтальную плоскость без сообщения ему поступательного движения.98Учитывая трение скольжения, но пренебрегая трением качения,найти линейную скорость v центра шара, когда его движение перейдет в чистое качение.
Определить потерю кинетической энергии ΔEк на трение.1.6.19. Однородный стержень массой M и длиной l подвешенна шарнире без трения. Небольшой кусок замазки массой m прилипает к стержню на уровне его середины. До прилипания скорость куска замазки равнялась v и была направлена горизонтально.Найти максимальный угол α отклонения стержня от вертикали.1.6.20. Тонкий однородный стержень длиной l может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня,перпендикулярно ему. Стержень отклонили на 90° от положенияравновесия и отпустили.
Определить скорость v нижнего конца вмомент прохождения положения равновесия.ТЕМА 1.7КОЛЕБАНИЯКолебаниями называются движения и процессы, обладающиетой или иной степенью повторяемости во времени. К гармоническим колебаниям относят колебательные движения, при которых координата тела меняется во времени по законуx = A sin(ωt + ϕ0), или х = А cos (ωt + ϕ0),где величина (ωt + ϕ0), выраженная в радианах, носит названиефазы колебания, ϕ0 — начальная фаза, ω — круговая (или циклическая) частота, связанная с периодом Т (время между двумя последовательными прохождениями тела через одно и то же положение в одном и том же направлении) соотношением ω = 2π/T,А — амплитуда колебания (наибольшее отклонение колеблющегося тела от среднего положения равновесия).Если колебательная система выведена из положения равновесияи затем предоставлена самой себе, то она совершает колебания,которые называются свободными колебаниями.
При наличии силтрения свободные колебания будут затухающими; их амплитуданепрерывно уменьшается вследствие потерь энергии. Если свободные механические колебания происходят без потерь энергии,то они называются собственными колебаниями, а их частота —частотой собственных колебаний. Если система совершает колебания под внешним воздействием, изменяющимся периодически,то такие колебания называются вынужденными.Периодическая сила, вызывающая механические колебания,называется вынуждающей силой. Частота вынужденных механических колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы. У каждой колебательной системы имеется особая частота, называемаярезонансной.
При совпадении частоты вынуждающей силы с резонансной частотой амплитуда вынужденных колебаний достигаетмаксимального значения. Это явление называется резонансом.Качественные задачи1.7.1. Как между собой связаны амплитуды скорости и отклонения в гармоническом колебании?1.7.2. По какой траектории будет двигаться шарик математического маятника, если нить маятника пережечь в тот момент,когда шарик проходит положение равновесия?1001.7.3. Как следует передвинуть чечевицу маятника при отставании часов?1.7.4. Чему равна средняя кинетическая и средняя потенциальная энергии гармонически колеблющегося точечного тела?1.7.5. Как будет зависеть период колебаний математическогомаятника от географической широты места? Каким он будет всостоянии невесомости?1.7.6. Чему равен период колебаний потенциальной энергиигруза, подвешенного на пружине, если известна частота колебанийгруза?1.7.7.
Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательногосоединения пружин перейти к параллельному их соединению?1.7.8. Каково условие превращения затухающих колебаний вапериодические?1.7.9. Если частица совершает гармонические колебания с амплитудой А, то какой путь она проходит за один период?Задачи с решениями1.7.10. Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси x. По прошествии времени t1 = 0,1 с от начала движения смещение точки от положения равновесия x1 = 5 см, скорость v1x = 62 см/с, ускорение a1x = –540 см/с2. Определить: 1) амплитуду A, круговую частоту ω и начальную фазу колебаний α0;2) смещение x, скорость vx и ускорение ax в начальный моментвремени t = 0.Решение.
Напишем закон движения материальной точкиx = A sin(ωt + α0).(1)Законы изменения скорости vx и ускорения аx со временем могут быть найдены дифференцированием по времени смещения:⎧ x1 = A sin(0,1ω + α 0 ),⎪⎪⎨v1x = Aω cos(0,1ω + α 0 ),⎪2⎪⎩a1x = − Aω sin(0,1ω + α 0 ),откудаx1= sin(0,1ω + α 0 ),Aa1x = − Aω2x1= −ω2 x1.A101Таким образом, круговая частота ω =Далее−a1x= 10, 4 с−1.x1⎧⎪ x12 = A 2 sin 2 (0,1ω + α 0 ),⎨ 222⎩⎪v1x = ( Aω) cos (0,1ω + α 0 ).v2Складывая эти уравнения, получаем x12 + 12x = A 2 .ωОтсюдаA=x12 +v12x= 7,8 ⋅ 10 −2 м.ω2Период колебаний Т = 2π/ω = 0,6 с.Для того чтобы определить фазовые соотношения, осуществимпреобразования. Для начальной фазы α0 получимx1 = А sin(ωt1 + α0) = A sin ((2πt1/T) + α0) = A sin (2π/6 + α0),2πxπоткуда α 0 = − .+ α 0 = arcsin 1 = arcsin 0, 64,6A9Используя (1), находим теперь смещение x(t = 0) = –2,7 см,скорость vx(t = 0) = 76 см/с и ускорение ax(t = 0) = 289 см/с2.πОтвет: А = 7,8 ⋅ 10–2 м, ω = 10,4 с–1, α 0 = − , x = –2,7 см,9v = 76 см/с, a = 289 см/с2.xx1.7.11.
Шарик массой m = 20 г колеблется с периодом T = 2 с.В начальный момент времени шарик обладал энергией Е = 0,01 Джи находился от положения равновесия на расстоянии x1 = 0,25 м.Написать уравнение гармонического колебания шарика.Решение. Полная энергия колеблющейся точки, независимо отее положения, определяется выражениемЕ = mω2A2/2,(1)где A — амплитуда колебания, ω = 2π/T — круговая частота.Уравнение колебаний имеет вид х = А cos (ωt + ϕ0), в моментt = 0 x1 = A cosϕ0, cos ϕ0 = A/x1 = 0,78; ϕ0 ≈ 51° ≈ 0,3π.Определив начальную фазу, найдем из (1) амплитуду колебаний:A2 =1022E4 ET 2=,mω2m ⋅ 4 π2A=T 2E= 0,32 м.2π mТаким образом, получаем уравнение колебаний точких = 0,32 cosπ(t + 0,3).Ответ: х = 0,32 cosπ(t + 0,3) м.1.7.12.
На горизонтальной плоскости лежит цилиндр массой mи радиусом r. Момент инерции относительно продольной геометрической оси равен I. К оси цилиндра прикреплены две одинаковые горизонтально расположенные пружины, другие концыкоторых закреплены в стене (рис. 1.72, вид сверху). Коэффициентупругости каждой пружины равен k. Найти период Т малых колебаний цилиндра, которые возникнут, если вывести его из положения равновесия и дать возможность кататься без скольжения погоризонтальной плоскости.Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
