Л.Г. Антошина, С.В. Павлов, Л.А. Скипетрова - Общая физика (сборник задач) (1109674), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Опыт Перрена. В 1909 г. Перреном проведена серия опытов по определению числа Авогадро на основе распределенияБольцмана. В опытах использовалась взвесь шариков гуммигута(сгущенного млечного сока из коры некоторых видов деревьев,растущих в Индии и на Цейлоне) в воде. Плотность гуммигута ρ == 1254 кг/м3, температура смеси равнялась t = 20 °С. Радиус шариков r = 0,212 мкм.
При перемещении тубуса микроскопа на Δh == 30 мкм число шариков, наблюдавшихся в микроскоп, изменялось в j = 2,1 раза. Исходя из этих данных, найти постояннуюАвогадро NA.Решение. Число частиц, находящихся на глубине h и попадающих в поле зрения микроскопа, равно ΔN = n(h)S Δh, где n(h) —концентрация частиц на высоте h, S — площадь поля зрения микроскопа, Δh — глубина поля зрения микроскопа.Применяя к частицам гуммигута формулу распределенияБольцмана (2.1.11), можно написатьn(h) = n0 e−phkT ,где n0 — концентрация частиц при h = 0; p = m0 g — ρв gV — весчастицы с учетом силы Архимеда в воде, m0 = ρV — масса частицы,V = 43 πr 3 — объем частицы.121На высоте h1 число частицΔN1 = n0 e−ph1kT S Δh,−ph2kT S Δh,на высоте h2ΔN 2 = n0 eПо условию задачиp( h − h )12−ΔN1= e kT .ΔN 2Логарифмируя последнее равенство, получаемj =ln j =p(h2 − h1 ) pΔh=,kTkTоткудаk=4 πr 3 g (ρ3− ρв )ΔhT ln jилиNA =R3RT ln j== 6, 06 моль −1.k 4πr 3 g (ρ − ρв )ΔhЗадачи без решений2.1.11.
Каково давление, оказываемое идеальным газом на днои стенки сосуда, объем которого V = 3 м3, если в нем содержитсяN = 15·1026 молекул и каждая обладает средней кинетической энергией поступательного движения Е = 6·10–22 Дж?2.1.12. Дано соединение Ca(NO3)2.
1) Какова в граммах массаодной молекулы? 2) Какова в килограммах масса 120 молей?3) Сколько молекул содержится в 0,7 кг соединения?2.1.13. В сосуде вместимостью V = 0,04 м3 находится ν =1,8 молей газа. Плотность газа ρ = 0,9 кг/м3. Определить, какой этогаз?2.1.14. Вычислить давление, оказываемое кислородом с концентрацией n = 3·1021 м–3, если средняя квадратичная скоростьдвижения равна vкв = 500 м/с.2.1.15. Найти температуру Т, при которой средняя квадратичная скорость молекул азота (N2) больше средней арифметическойскорости на Δv = 40,0 м/с.1222.1.16. При какой температуре Т воздуха средние арифметические скорости молекул азота (N2) и кислорода (O2) отличаютсяна Δv = 30,0 м/с?2.1.17.
Преобразовать функцию распределения Максвелла, перейдя от переменной v к переменной n = v/vв, где vв — наиболеевероятная скорость молекул.2.1.18. В запаянном стеклянном баллоне заключен 1 моль одноатомного идеального газа при температуре Т = 293 К. Какоеколичество теплоты Q нужно сообщить газу, чтобы средняя арифметическая скорость его молекул увеличилась на 1%?2.1.19. Вычислить наиболее вероятную, среднюю арифметическуюи среднеквадратичную скорости молекул азота (N2) при 20 °С.2.1.20. Некоторый газ находится в равновесном состоянии.Какой процент молекул газа обладает скоростями, отличными отнаиболее вероятной не более чем на 1%?2.1.21.
Используя функцию распределения молекул идеального газа по энергиям, найти среднюю кинетическую энергию молекул ε и наиболее вероятное значение энергии εв молекул.2.1.22. Считая атмосферу изотермической, а ускорение свободного падения не зависящим от высоты, вычислить давление а) навысоте 6 км, б) на высоте 12 км, в) в шахте на глубине 3 км. Расчетпроизвести для Т = 300 К. Давление на уровне моря принять равным р0.2.1.23. Вблизи поверхности Земли отношение объемных концентраций кислорода (O2) и азота (N2) в воздухе равно η0 == 20,95/78,08 = 0,268. Полагая температуру атмосферы не зависящей от высоты и равной 0 °С, определить это отношение η навысоте h = 10 км.2.1.24.
Полагая температуру воздуха и ускорение свободногопадения не зависящими от высоты, определить, на какой высоте hнад уровнем моря плотность воздуха меньше своего значения науровне моря: а) в 2 раза, б) в е раз? Температуру воздуха положитьравной 0 °С.2.1.25. На какой высоте давление воздуха составляет n = 70%от давления на уровне моря? Считать, что температура везде одинакова и равна 25 °С.2.1.26. Имеется N частиц, энергия которых может приниматьлишь два значения Е1 и Е2. Частицы находятся в равновесномсостоянии при температуре Т.
Чему равна суммарная энергия Евсех частиц в этом состоянии?123ТЕМА 2.2УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА.ИЗОПРОЦЕССЫИдеальный газ — теоретическая модель газа, в которой не учитывается взаимодействие частиц газа (средняя кинетическая энергия частиц много больше энергии их взаимодействия).Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона)pV =(m/μ)RT,(2.2.1)где p, V и T — давление, объем и абсолютная температура газасоответственно, m и μ — масса и молярная масса газа, R == 8,31 Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная.Равновесные изопроцессы идеального газа: изотермический,изобарный, изохорный и адиабатический.Изотермическим называют процесс, протекающий при постоянной температуре Т = const. Он описывается законом Бойля–Мариотта рV = const.Изохорным называют процесс, протекающий при постоянномобъеме V = const.
Для него справедлив закон Шарля р/Т = const.Изобарным называют процесс, протекающий при постоянномдавлении р = const. Уравнение этого процесса V/Т = const называется законом Гей–Люссака.На рис. 2.2 представлено графическое изображение изопроцессов.Качественные задачи2.2.1. Является ли макроскопическим тело, линейные размерыкоторого сравнимы с величиной 10–10 м?2.2.2. Выполняется ли универсальный газовый закон для идеального газа, количество которого не сохраняется?2.2.3. Почему баллоны со сжатым газом взрывоопасны, а трубы с водой под давлением — нет?2.2.4. При значительном повышении температуры газа, состоящего из многоатомных молекул, может начаться диссоциация.К каким отклонениям от закона Шарля может это привести?2.2.5. Объем газа уменьшили в 2 раза, а температуру увеличилив 1,5 раза. Как изменилось давление?124Рис.
2.22.2.6. Объем воздушного пузырька удваивается при подъеме содна озера на поверхность. Какова глубина озера?2.2.7. Почему электрическая лампочка заполняется инертнымгазом при давлении, значительно меньшим атмосферного?2.2.8.
Как изменяется сила, выталкивающая из воды воздушный пузырек, во время его подъема со дна на поверхность?2.2.9. Два сосуда различных объемов, наполненные воздухом,закрывают при нормальных условиях и нагревают до 100 °С.Одинаковы ли давления воздуха в сосудах после нагрева?Задачи с решениями2.2.10. В баллоне находится гелий при температуре Т = 350 К.Определить температуру гелия после того, как половина газа былавыпущена из баллона, а его давление при этом уменьшилось наα = 60%.Решение. Уравнение Менделеева–Клапейрона (2.2.1) до выпуска газа имеет видmpV = RT .μ125После того как половину газа выпустили, уравнение изменилосьследующим образом:mα ⎞⎛RTx .⎜1 −⎟ pV =2μ⎝ 100 ⎠Подставляя из первого уравнения значение pV, получаемα ⎞mm⎛RTx .⎜1 −⎟ RT =2μ⎝ 100 ⎠ μРешая последнее относительно Тх, окончательно имеемα ⎞⎛Tx = 2 ⎜1 −⎟T = 0,8T = 280 К.⎝ 100 ⎠Ответ: T = 280 К.2.2.11.
Объем некоторой массы идеального газа при нагревании1частьна ΔТ = 1 К при постоянном давлении увеличился на α =335первоначального объема. Какова исходная температура газа?Решение. Поскольку процесс, описанный в задаче, изобарический, следовательно, V/T = const.
ТогдаV V + αV.=T T + ΔTРешая это уравнение относительно Т, получаемΔTT + ΔT = T + αT ,T == 335 К.αОтвет: T = 335 К.2.2.12. Газ при t1 = 107 °С находится под давлением р1 = 106 Па.На сколько уменьшится давление газа при охлаждении его припостоянном объеме до t2 = –13 °С?Решение. Для изохорического процесса p/T = const, поэтомуp1p − Δp= 1,T1T2где Δр — уменьшение давления. Из последнего соотношения следует⎛ T ⎞Δp = p1 ⎜1 − 2 ⎟ = 3,16 ⋅ 105 Па.T1 ⎠⎝126Обратим внимание на то, что температура в последней формуле определяется по шкале Кельвина: Т(К) = 273 + t(°C).Ответ: Δp = 3,16·105 Па.2.2.13. Баллон, содержащий объем V1 = 0,035 м3 воздуха поддавлением p1 = 100 кПа, соединяют с баллоном объемом V2 == 0,015 м3, из которого выкачан воздух.
Найти давление p2, установившееся в баллонах после их соединения. Температура постоянна.Решение. Поскольку процесс изотермический, то pV = const.Следовательно, p1V1 = p2(V1 + V2), так как сначала газ занималобъем V1, а потом к нему добавился объем V2. Из последнего уравнения p2 = p1V1/(V1 + V2) = 70 кПа.Ответ: p2 = 70 кПа.2.2.14. Изобразить на диаграммах p–V и p–T процесс, проводимый с идеальным газом, приведенный на рис.
2.3, а.Рис. 2.3Решение. Прежде всего определим, отрезки каких изопроцессовпредставлены на рис. 2.3, а. Прямая 1–2 представляет собой отрезок изобары (p = const), в процессе перехода 2–3 T = const, и,наконец, отрезок 3–4 — изохора V = const. В теоретическом введении в тему приведены графики всех изопроцессов во всех возможных системах координат: p–V, V–T и p–T.В координатах p–V (рис. 2.3, б) изобарный процесс — отрезокпрямой, перпендикулярный оси р. Поскольку процесс идет с увеличением объема, то цифра 1 на графике будет левее цифры 2.127Процесс 2–3 изотермический, изображается в координатах p–Vотрезком гиперболы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
