Л.Г. Антошина, С.В. Павлов, Л.А. Скипетрова - Общая физика (сборник задач) (1109674), страница 7
Текст из файла (страница 7)
определить скорость пули v0′ , при которой тело сразу же оторвется от полусферы,достаточно высоту отрыва h в уравнении (6) приравнять к радиусуR и решить уравнение22R1 ⎛ mv0′ ⎞R=+⎜⎟ .33g ⎝ m + M ⎠ПолучимM +mgR .v0′ =m2Ответ: h =M +m2R 1 ⎛ mv0 ⎞gR .+⎜⎟ , v0′ =m33g ⎝ m + M ⎠1.3.16. Шар массой m = 2,6 кг падает без начальной скоростис высоты h = 55 см на расположенную вертикально пружину, которая при ударе сжимается. Если у пружины коэффициент упругости k = 72 Н/м, то на какую максимальную длину ymax сожметсяпружина? Все расстояния измерять от точки соприкосновенияшара с недеформированной пружиной.Решение. Обозначим максимальную величину деформации пружины через ymax (рис. 1.41). Полная механическая энергия системы шар–пружина в исходном состоянии E1 = mgh.
При максимальном сжатии пружины полная энергия пружины запишется ввидеE2 = ky2max /2 – mgymax.Рис. 1.4154Первое слагаемое представляет собой упругую энергию пружины, а второе — потенциальную энергию. Поскольку полная механическая энергия в рассматриваемой консервативной системесохраняется, т.е. E1 = E2, можно написать следующее равенство:mgh = ky2max /2 – mgymax,откуда ky2max /2 – mgymax – mgh = 0,ymax =mg + (mg )2 + 2mghk.kМы выбираем корень со знаком «+», поскольку по предположению уmax > 0.
Таким образом, получаем уmax1 = 1,1 м. Корень сознаком «–» уmax2 = –0,36 м соответствует тому, что связанные между собой шар и пружина подпрыгнули вверх на расстояние 0,36 мот недеформированного (у = 0) положения пружины.Ответ: ymax =mg + (mg )2 + 2mghk.k1.3.17. Снаряд, летевший на высоте H горизонтально со скоростью v0, разрывается на две равные части. Одна часть снарядаспустя время τ падает на землю точно под местом взрыва.Определить скорость u другой части сразу после взрыва.Решение. В течение времени взрыва снаряд как систему можносчитать замкнутой, так как силы, возникающие при взрыве (внутренние силы), настолько велики, что действием сил тяжести, сопротивлением воздуха и др.
можно пренебречь. Следовательно,можно применить закон сохранения импульса (1.3.9). Обозначимv — скорость той части снаряда, которая падает вертикально вниз,u — скорость другой части.Выберем систему координат x и y и нарисуем векторы импульсов (рис. 1.42). Затем запишем уравнение (1.3.9) и проекции импульсов на оси x и y:Mv0 = mu + mv ,(1)Mu cos α,2Mu sin α Mvy: 0 =−.22Решаем систему (2), (3):x: Mv0 =(2)(3)55Рис. 1.42⎪⎧2v0 = u cos α,⎨⎪⎩v = u sin α,vtg α =.2v0(4)Напишем уравнение движения первой части снаряда:H = vτ +g τ2.2H gτОпределим скорость v =−τ2в (4):tg α =и подставим это выражение2 H − g τ2.2τ ⋅ 2v0Вспомним тригонометрическое соотношение cos α =Из уравнения (2) имеем u =и получаем u = 2v0 1 + tg 2α.Таким образом,2⎛ 2 H − g τ2 ⎞u = 2v0 1 + ⎜⎜⎟⎟ .⎝ 4τv0 ⎠561.1 + tg 2α2v0, подставляем это равенство в (4)cos α2Ответ: u = 2v0⎛ 2 H − g τ2 ⎞1 + ⎜⎜⎟⎟ .⎝ 4τv0 ⎠1.3.18.
α−частица, летящая со скоростью v0, испытывает упругое столкновение с неподвижным ядром и летит под углом 90° кпервоначальному направлению движения. Определить скоростиα-частицы v и ядра u после столкновения. Определить также уголβ между направлением скорости ядра и первоначальным направлением α-частицы. Масса ядра М, масса α-частицы m (M > m).Решение. В данном случае мы имеем дело с абсолютно упругимударом — так называется столкновение тел, в результате которогоих внутренние энергии не меняются. Для описания упругого удара можно применять как закон сохранения импульса (1.3.9), таки закон сохранения механической энергии (1.3.10). Выберем систему координат (рис. 1.43) и применим вышеуказанные законысохранения:mv0 = mv + Mu,(1)mv02 mv 2 Mu2=+.222(2)Рис.
1.43Напишем проекции импульсов тел на каждую ось:х: mv0 = Mu cosβ,mv0 = Mu cos β,у: 0 = mv – Mu sin β, mv = Mu sinβ,(3)(4)57Так как импульс — величина векторная, сложим импульсы поправилу треугольника и воспользуемся теоремой Пифагора:P 2 = p02 + p2 ,( Mu )2 = (mv0 )2 + (mv )2 .(5)Из (2) и (5) получаем систему уравнений:⎧⎪mv02 = mv 2 + Mu2 ,⎨⎪⎩( Mu)2 = (mv0 )2 + (mv)2 .Решая ее, определяемMu2 =(mv0 )2 + (mv)2,Mmv02 = mv 2 +(mv0 )2 + (mv)2;Mmv0M −m2M; u=.M +mM M +mРазделив (4) на (3) и используя значение v, получимv = v0tg β =v=v0M −mM −m, откуда β = arctg.M +mM +mОтвет: v = v0mv0M −m;u=MM +m2MM −m; β = arctg.M +mM +m1.3.19.
Два абсолютно упругих шара движутся навстречу другдругу по идеально гладкой горизонтальной поверхности. Массышаров m1 и m2, скорости v1 и v2 соответственно. Определить скорости шаров u1 и u2 после соударения. Рассмотреть частный случай:массы шаров одинаковы и один из них покоится.Решение. Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса (1.3.9) и законом сохранения механической энергии(1.3.10):(1)⎧m1v1 + m2 v2 = m1u1 + m2u2 ,⎪⎨ m1v12 m2 v22 m1u12 m2u22+=+.(2)⎪⎩ 2222Выберем положительное направление координатной оси x, совпадающие с направлением скорости v1, и запишем уравнение (1)в видеx: m1v1 – m2v2 = m1u1 + m2u2,58(3)m1v12 + m2v22 = m1u12 + m2u22.(4)Решаем полученную систему уравнений:⎪⎧m1 (v1 − u1 ) = m2 (u2 + v2 ),⎨2222⎪⎩m1 (v1 − u1 ) = m2 (u2 − v2 ).(5)(6)Делим почленно уравнение (6) на (5) и запишем систему уравнений в виде(7)⎧v1 + u1 = u2 − v2 ,⎨(8)⎩m1v1 − m1u1 = m2u2 + m2 v2 .Из уравнения (7) получаем u2 = v1 + u1 + v2 и, подставляя в (8),определяемu1 =(m1 − m2 )v1 − 2m2 v2.m1 + m2(9)Подставляя (9) в (7), находим(m − m2 )v2 + 2m1v1(10).u2 = 1m1 + m2Рассмотрим частный случай.
Массы шаров равны m1 = m2 = m,второй шар покоится (до удара), v2 = 0. Подставляя эти условия в(9) и (10), получаем u1 = 0, u2 = v1, т.е. первый шар остановится, авторой с первоначальной скоростью первого шара начнет движение — шары обменяются скоростями.(m − m2 )v2 + 2m1v1(m − m2 )v1 − 2m2 v2.Ответ: u1 = 1, u2 = 1m1 + m2m1 + m2Задачи без решения1.3.20. Шарик подвешен на нити длиной l.
Какую минимальную скорость vmin нужно сообщить шарику, висящему в вертикальном положении, чтобы он начал вращаться в вертикальной плоскости?1.3.21. Маленькое тело начинает скользить по наклонной плоскости с высоты H. Наклонная плоскость составляет с горизонтомугол α. В нижней точке тело ударяется о стенку, поставленнуюперпендикулярно наклонной плоскости (рис. 1.44). Удар абсолютно упругий. Найти высоту подъема тела по наклонной плоскости h.Коэффициент трения между наклонной плоскостью и телом k.591.3.22. Тяжелый шарик соскальзывает по наклонному гладкому желобу, образующему «мертвую петлю» радиусом R (рис.
1.45).С какой высоты Н шарик должен начать движение, чтобы не оторваться от желоба в верхней точке траектории?Рис. 1.44Рис. 1.451.3.23. Камень брошен под некоторым углом к горизонту соскоростью v0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить,на какой высоте h скорость камня уменьшится вдвое?1.3.24. Брусок массой m скользит по наклонной плоскости суглом наклона α с высоты Н. В начальный момент его скоростьна вершине была v0 = 0. У основания скорость бруска v. Определить,какую работу A совершила сила трения Fтр и чему она равна.Считать силу трения постоянной.1.3.25. В баллистический маятник массой M ударяет пуля массой m и застревает в нем. После удара маятник поднимается навысоту h (рис.
1.46). Определить, какую скорость v0 имела пуля доудара.Рис. 1.461.3.26. Тело скользит сначала по наклонной плоскости с угломнаклона α, а затем по горизонтальной поверхности. Определить,чему равен коэффициент трения k, если известно, что тело проходит по горизонтали такое же расстояние, как и по наклоннойплоскости.601.3.27. Шарик массой m1 движется без трения по горизонтальной поверхности и сталкивается с покоящимся шариком массой m2. Удар считать центральным и абсолютно упругим.
При каком соотношении масс шариков k они разлетятся в противоположные стороны с равными по величине скоростями?1.3.28. В шар массой m1, движущийся со скоростью v1, ударяется другой шар массой m2, догоняющий первый в том же направлении со скоростью v2. Считая удар абсолютно неупругим, найтискорости шаров u после удара, а также их кинетическую энергию Eк.1.3.29. С высоты h падает маленький шарик, который ударяется о движущуюся вверх со скоростью v горизонтальную плоскость,принадлежащую массивному телу.
Соударение абсолютно упругоеи происходит на уровне, от которого отсчитываются все высоты.До какой высоты H отскочит шарик после соударения?1.3.30. На наклонной плоскости с углом наклона α лежит брусок массой M, опирающийся на упор (рис. 1.47). Пуля массой m,летящая параллельно наклонной плоскости со скоростью v0, попадает в брусок и застревает в нем. Какой путь l вдоль наклоннойплоскости пройдет брусок до остановки? Трением пренебречь.Рис. 1.471.3.31. При упругом ударе нейтрона о ядро углерода он движется в направлении, перпендикулярном первоначальному. Считая,что масса ядра углерода в n = 12 раз больше массы нейтрона, определить, во сколько раз k уменьшается энергия нейтрона в результате удара?ТЕМА 1.4НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТАСуществует целый класс задач, которые удобнее решать с использованием неинерциальной системы отсчета.
Неинерциальнойсистемой отсчета называется система, движущаяся ускоренно относительно инерциальной. При решении задач в неинерциальныхсистемах предполагается, что в них, так же как и в инерциальных,ускорения вызываются силами, но наряду с «обычными» силамивзаимодействия существуют еще силы особой природы, называемые силами инерции. Поэтому второй закон Ньютона в неинерциальной системе имеет вид (1.4.1)maин = F + Fин ,где aин — ускорение в неинерциальной системе отсчета (относительное ускорение), F — обычныесилы, появляющиеся в результате взаимодействия тел, Fин — силы инерции.В неинерциальных системах отсчета, движущихся прямолинейно и поступательно, сила инерции определяется выражениемFин = −ma0 ,(1.4.2)где a0 — ускорение неинерциальной системы (переносное ускорение).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
