Л.Г. Антошина, С.В. Павлов, Л.А. Скипетрова - Общая физика (сборник задач) (1109674), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Максимальная скорость телаvmax, время движения τ. Определить путь, пройденный телом.1.1.14. Модуль скорости v частицы меняется со временем позакону v = kt + b, где k и b — положительные постоянные. Модульускорения равен a = 3k. Найдите значения тангенциального инормального ускорений, а также зависимость радиуса кривизнытраектории от времени R(t).1.1.15. Зависимостьчастицы от времени имеетрадиус-векторавид r = kti − bt 2 j , где i , j — единичные орты вдоль осей x и y;k и b — положительные постоянные. Определите а) уравнение траектории; б) скорость v и ускорение a частицы.1.1.16. Даны уравнения движения точки: x = 8 – t 2; y = t2 – cost.Определите проекцию ускорения ау в момент времени, когда координата х = 0.1.1.17.
Даны графики ускорений a n(t ) и a τ(t ) (рис. 1.3).Определите tgϕ, где ϕ — угол, который образует полное ускорениес направлением скорости в момент времени t = 2 с.1.1.18. Тело брошено вертикально вверх. Во сколько раз нужноизменить скорость тела в момент бросания, чтобы максимальнаявысота подъема изменилась в k раз? Сопротивлением воздуха пренебречь.8Рис. 1.31.1.19.
Какую скорость набирает тело в конце первой минутысвободного падения? Сопротивлением воздуха пренебречь.Ускорение свободного падения равно g.1.1.20. Под каким углом к горизонту следует бросить тело, чтобы максимальная высота подъема равнялась ¼ дальности его полета? Сопротивлением воздуха пренебречь.Задачи с решениями1.1.21.
Материальная точка движется в плоскости согласноуравнениям x = A1 + B1t + C1t 2 и y = A2 + B2t + C2t 2, где B1 = 7 м/c,C1 = –2 м/с2, B2 = –1 м/с, С2 = 0,2 м/с2.Найти модули скорости v и ускорения a точки в момент времени t = 5 с.Решение. Рассмотрим два независимых движения вдоль оси х иdxdyвдоль оси у. Используя формулы vx =, v y = , получаемdtdtvx = B1 + 2C1t, vy = B2 + 2C2t. Так как векторы vx и vy взаимно перпендикулярны, то модуль скорости v определяется по теоремеПифагора:v = vx2 + v y2 = (B1 + 2C1t )2 + (B2 + 2C2t )2 ≈ 13 м/с.Составляющие ax и ay ускорения точки найдем по формуламd2 yd2 xax = 2 , ay = 2 : ax = 2C1, ay = 2C2. Соответственно модуль усdtdtкорения определяется выражениемa = ax2 + ay2 = 2 C12 + C22 ≈ 4 м / с2 .Ответ: v ≈ 13 м/с, a ≈ 4 м/с2.9Рис.
1.41.1.22. Человек в лодке переплывает реку, отправляясь из точки А (рис. 1.4). Если он будет держать курс перпендикулярно берегам, то через t⊥ = 10 мин после отправления попадет в точку С,лежащую на расстоянии s = 120 м ниже точки В по течению реки.Если он будет держать курс под некоторым углом α к прямой АВпротив течения, то через tα = 12,5 мин попадет в точку В.Определить ширину реки L, скорость лодки относительно водыv, угол α, под которым плыл лодочник во втором случае, скоростьтечения реки u.Решение. Делаем схематический чертеж и вводим обозначения:L — ширина реки, u — скорость течения реки, v — скорость лодкиотносительно воды. Выбираем систему координат хОу и рассматриваем движение лодки по х и у.Лодочник держит курс перпендикулярно берегам:x = ut⊥ = s;y = vt⊥ = L.Лодочник держит курс под углом α к АВ:vх = u – v sin α,x = (u – v sinα) tα;vу = v cos α,y = v cosα · tα.Решаем полученную систему уравнений:u = s/t⊥ = 0,33 м/с; cosα = t⊥/tα = 0,8;v = u/sinα = u/ 1 − cos 2 α = 0,55 м/с; L = vt⊥ = 198 м.Ответ: u = 0,33 м/с; cosα = 0,8; v = 0,55 м/с; L = 198 м.101.1.23.
Точка движется вдоль оси x согласно графику, изображенному на рис. 1.5. Построить графики изменения ускоренияa(t) и скорости v(t) движения. Определить начальную v0 и среднююvcp скорости движения.Решение. Отметим тот факт, что в момент t = 4 с тело начинаетдвигаться в обратном направлении, следовательно, меняется характер движения с равнозамедленного на участке 0–4 (v > 0,a < 0) на равноускоренный на участке 4–8 (v < 0, a < 0, т.е. знакиускорения и скорости совпали).
Используя формулу (1.1.9), имеемx(t ) = v0t – a t2/2. По графику получим координаты точки в моменты времени t = 0 c (x = 0 м); t = 4 c (x = 16 м); t = 8 c(x = 0 м). Решая систему⎧⎪8v0 − 32 a = 0,⎨⎪⎩4v0 − 8 a = 16,получаем a = 2 м/с2, v0 = 8 м/с.Сказанное выше позволяет построить графики а(t) и v(t ) (см.рис. 1.5).По определению средней скорости движения имеем vср == sполн /tполн = 4 м/c.Ответ: v0 = 8 м/с, vср = 4 м/c.Рис. 1.5111.1.24. Материальная точка движется прямолинейно с начальной скоростью v0 = 10 м/с и с постоянным ускорением a == –5 м/с2 (рис.
1.6). Определить, чему равен путь s, пройденныйточкой, и модуль ее перемещения Δr спустя время t = 4 с посленачала отсчета времени.Рис. 1.6Решение. Выберем систему координат, поместив начало отсчета в точку начала движения, и начертим график изменения скорости v(t) = v0 – a t. Путь — это площадь заштрихованной фигуры,ограниченной графиком v(t ) и осью времени t, таким образом,s = 20 м.
Напишем формулу изменения координаты от времениx(t ) = v0t – a t 2/2, подставим v0 = 10 м/c, a = 5 м/c2, t = 4 c, подсчитаем и получим х = 0 (т.е. точка вернулась в исходное положение), следовательно, перемещение Δr = 0, так как перемещение —это вектор, соединяющий начальное и конечное положения точкии направленный в сторону конечной точки перемещения.Ответ: s = 20 м, Δ r = 0.1.1.25. За время τ тело прошло путь s, причем его начальнаяскорость увеличилась в k раз. Определить величину ускорениятела a.Решение.
Обозначим начальную скорость движения v0, а ускорение а. Движение равноускоренное, поэтому можно воспользоваться формулами (1.1.8) и (1.1.9):v = v0 + aτ, s = v0τ + aτ2/2, v = kv0.12Решая эту систему, получаем s =Ответ: a =2s(k − 1).τ2 (k + 1)2s(k − 1)aτ2 (k + 1), отсюда a = 2.2(k − 1)τ (k + 1)1.1.26. По прямой начинает двигаться материальная точка спостоянным ускорением. Спустя время Т после начала ее движения ускорение меняет знак на противоположный, оставаясь неизменным по величине. Определить, через какое время t после начала движения точка вернется в исходное положение.Решение. Задачу решим графически: начертим график зависимости скорости материальной точки от времени (рис.
1.7).Рис. 1.7В точке А знак ускорения материальной точки меняется на противоположный, но она продолжает двигаться в ту же сторону.В точке К материальная точка стала двигаться в противоположнуюсторону, так как скорость поменяла свой знак. В точке В материальная точка приходит в исходное положение. Из графическогоопределения пути и условия, что путь s из точки O в точку К равенпути s из К в В, получаем, что площади фигур SΔOAK и SΔKLB равны.Из графического определения ускорения a = tg α имеем:SΔОAK = T 2 tgα; SΔKLB = ½(t – 2T )2 tgα; SΔОAK = SΔKLB,так как по условию задачи t > 2T, получаем 2T = t – 2T.
Такимобразом, t = T( 2 + 2).Ответ: t = T( 2 + 2).131.1.27. Каменъ брошен с некоторой высоты горизонтально соскоростью v0 = 10 м/c. Найти радиус кривизны R траектории камня через τ = 3 с после начала движения, а также значения нормального an и тангенциального aτ ускорений в этот момент времени. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.Решение. Выберем систему координат, как показано нарис. 1.8.Рис. 1.8 Рассмотрим, какую скорость v и какое ускорение a = g имееткамень в момент времени τ. Разложим полную скорость по осям,а также полное ускорение — на нормальную и тангенциальнуюсоставляющие, т.е.
построим треугольники скорости и ускорения.Напишем геометрические соотношения, существующие междуними:vx = v0; vy = gt ; cosα = v0 /(v02 + (gt)2)½; sin α = gt/(v02 + (gt )2)½,an = g cos α ≈ 3,16 м/c2, aτ = g sinα ≈ 9,49 м/с2.3На основе (1.1.4) имеем R = v 2/an = (v02 + ( gt )2 ) 2/gv0 = 316,2 м.Ответ: an ≈ 3,16 м/c2, aτ = 9,49 м/с2, R = 316,2 м.1.1.28. Тело бросают под углом α к горизонту с начальной скоростью v0. Исследовать аналитически движение тела, пренебрегаясопротивлением воздуха.
Найти:1) вертикальную и горизонтальную компоненты вектора скорости и абсолютную величину скорости как функцию времени;2) зависимость угла между вектором скорости и горизонтом отвремени;143) декартовы координаты x и y как функции времени;4) уравнение траектории;5) максимальную высоту полета h, дальность полета s и полноевремя движения t.Решение. Прямоугольную систему координат выбираем так,чтобы ее начало совпало с точкой бросания, а оси были направлены вдоль поверхности земли и по нормали к ней (рис. 1.9).Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как результат сложения двух прямолинейных движений —по оси x и по оси y. Полное ускорение тела в каждый момент времени равно g и направлено вертикально вниз.
Следовательно,движение по x равномерное, а по y — равнопеременное.Рис. 1.91) Используем выражение (1.1.8):x: v0 x = v0 cosα = vx = const;y: v0y = v0 sinα, vy = v0 sinα – gt.Применяя теорему Пифагора, получаем v = (vx2 + vy2)1/2 == [v02 – 2v0 gt sinα + (gt)2]1/2.2) tgϕ = vy /v x = (v0 sinα – gt )/v0 cosα = tg α – gt /v0 cosα.3) Согласно формулам (1.1.6) и (1.1.9): x = v0 cos α ⋅ t; y == v0 sinα ⋅ t – gt 2/2.154) Траекторией движения материальной точки называют линию, описываемую этой точкой в пространстве в процессе движения, т.е. в данном случае следует получить зависимость y(x).Используя выражения, полученные в пункте 3), имеем t = x/v0 cosα,y = v0 sin α ⋅ (x/v0 cos α) – (g /2)(x/v0 cos α)2.
Получаем y = x tg α –– x2 g/2v02 cos2 α. Таким образом, мы получили, что тело, брошенноепод углом к горизонту, в отсутствие сопротивления воздуха движется по параболе.5) Решая полученное квадратное уравнение у = y(x), находимдальность полета s: y = 0; x(tg α – xg/2(v0 cosα)2) = 0; x1 = 0 (начало движения), x2 = s = (v02 sin 2α)/g.Время движения t = x/v0 cosα = (2v0 sin α)/g.Максимальная высота подъема: y (при x = s/2) = h == (v0 sinα)2/2g.Ответ: 1) vx = v0 cos α, vy = v0 sin α – gt, v = (v02 – 2v0 gt sinα ++ (gt)2)1/2; 2) tgϕ = tgα – gt/v0 cosα; 3) x = v0 cosα ⋅ t; y = v0 sinα ⋅ t –– gt 2/2; 4) y = x tgα – x2 g/2v02 cos2 α; 5) s = (v02 sin2α)/g, t = (2v0 sinα)/g,h = (v0 sinα)2/2g.1.1.29. Камень бросают со cкоростью v0 под углом α к горизонту. Через какое время t скорость камня будет составлять угол β сгоризонтом? Сопротивлением воздуха пренебречь.Решение.
Траектория камня y(x) представляет собой параболу,и вектор скорости в каждой точке касателен к траектории. Возьмемпроизвольную точку траектории и начертим треугольник скорости.Из тригонометрических соображений получаем: tg β = vy /vx == (v0 sin α – gt )/v0 cos α = tg α – gt/v0 cos α. Решая это уравнениеотносительно t, получаем t = (tgα – tgβ) (v0 /g) cosα.Ответ: t = (tgα – tgβ) (v0 /g) cos α.1.1.30. Материальная точка движется, замедляясь, по прямойс ускорением a, модуль которого зависит от ее скорости v по закону a = b v , где b — положительная постоянная.
В начальныймомент скорость точки равна v0. Какой путь она пройдет до остановки? За какое время она пройдет этот путь?Решение. По условию задачи точка движется замедляясь, следовательно, если v > 0, то а < 0, получаем зависимость ускоренияa = −b v . Вспомним определение ускорения a = dv/dt = –b v .Таким образом, получаем dt = –dv/b v .
Обозначим tп — времядвижения точки до остановки, и проинтегрируем обе части по16tп0dv. Получаем tп = 2 v0 /b. Теперь0v0 b vопределим путь, который прошло тело до полной остановки:следнего равенства:∫ dt = − ∫tпs = ∫ v(t )dt . Таким образом, необходимо определить зависимость0v(t). Для этого мы предыдущий интеграл возьмем, как неопределенный, и получим t = 2 v/b, откуда v = (bt/2)2.
Теперь определимs=tп2⎛ bt ⎞∫ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ dt = b2tп3/12 = 2v03/2/3b.0Ответ: s = 2v03/2/3b, tп = 2 v0 /b.Задачи без решения1.1.31. Уравнение движения материальной точки вдоль осиимеет вид x = A + Bt + Ct3, где A = 2 м, B = 1 м/с, С = –0,5 м/с3.Найти координату x, скорость vx и ускорение ax в момент времениτ = 2 с.1.1.32. Города А и В расположены на одном берегу реки, причемгород В расположен ниже по течению. Одновременно из города Ав город В отправляется плот, а из города В в город А — лодка, которая встречается с плотом через τ = 5 ч. Доплыв до города А,лодка поворачивает обратно и приплывает в город В одновременно с плотом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
