Кирпичёв В.Л. - Беседы о механике (1107612), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Мы можем не знать нн величин, ни направлений этих сил; зная только, что они раним между собою и противоположны, мы часто можем достигнуть того, что в уравнениях этп две силы сокращают одна другую. 67. Доказательство закона движения центра тяжести. Переходим теперь к выводу общего закона движении центра доклзлтальс~ во злконл даижания цснтгл тяжгсти 157 отсюда ВС ги СА+ВС М вЂ” ~и+ти ' т.
е. ВС и~ ВА М (45) Эга пропорция определяет положение общего центра С по данным А и В. Если точка А затем переместится в А', а В останется на месте, то новое положение общего центра тяжести будет точка С', лежащая на прямой ВЛ' п делящая ВА' в, том жс отношении, как по условию (45), т, е. ВС' ~и ВА' М' Отсюда заключаем, что треугольники ВСС' н ВАА' подобны, т.
е. СС' параллельна АЛ', и величины СС' и АЛ' будут в том же самом отношении, как и вслпчины ВС и ВЛ, т. е, СС' и1 АА' М' масс. В следующем доказательсгве мы будем подражать Ньютону и Даламбсру. Рассмотрим, как перемещается общий цен|р нескольких масс вследствие перемещения одной из этих масс. Выберем, например, одну из материальных частиц ги нашей системы, находящуюся в точке А (риг.
104); пусть она перемещается, а все прочие части систсмы' неподвижны. Если полная масса, системы с' Я, то, выкая>чая подвижную массу лт, получим неподвижный осзаток, имеющий массу М вЂ” т; пусть центр В~., В А(иг) 1й1-иг) тяжести этого остатка есть точка В. Отме~им точкой С положение общего Фиг. 104. центра всей массы М; нз определения понятия центра тяжести, или центра масс, имеем, что точка С лежит на прямой АВ и делит расстояние ЛВ на части, обратно пропорциональные массам, сосредоточенным в А п В, т. е. ВС ги СА М вЂ” т' 158 ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ Итак, сели перемещается только одна масса и, а прочие массы остаются в покое, то псремещение общего центра тяжести параллельно перемещению массы т п меньше его в отношении — .
Это условие справедливо как для конечных перемсщсний, так и для бесконечно малых. Отсюда получаем такие следствш1: а) Если масса и описывает кривую АА'А"... (фнг. 105), то центр С описывает кривую СС'С"..., обладающую тем свойством, что все хорды сс СС', СС", Ф" С'С",... параллельны и пропорциональ- ны соотвечствующим хордач пути точ- С" кп А АЛ', АА", А'А",... СлсдоватгльС' но, центр С описывает кривую, которая подобна пути то ки Л и подобным обра- 8 зом расположена. )1ентром подобая слу- жит точка й. Фнг.
!05. б) Скорости центра масс и отдель- ной массы гл в соотв тствующпх поло кениах параллельны одна другой, и между величинами их суще- >а ствуст то же отношеюш --, как и между перемещениями, Действительно, по опредсл ни о понятия о скорости имеем, например, для скорости в точке А. направление ее есть предел направления хорды АА', получающийся, когда точка А' постепенно приближается к А; величина же скорости в точке Л есчь предел частного, получающегося от деления хорды ЛА' на время, потребное для прохождения пути АЛ'. !!Одобным же образом найдем н скорость центра масс для положения его в С, заменив только в прсдыдущем рассунсдеьнп хорду АА' хордой СС'. Ио так как точка С' копируст движения точки А, ль только уменьшив их в отношении —, то, несомненно, скорость центра масс в точке С окажется параллельной скорости массы гл в точке Л и уменьшенной в том же отношении в) Ускорения движения общего центра масс и о ~ дельной массы т для соответствующих положений будут параллельны одно другому и относятся между собой, как —, лт ' Действительно, обратимся к определению ускорения; пусть (фиг.
106) лнния Л1т изображает направление и величину ско- доклзлтвльство закона движения цен>их тяжести 159 рости массы >п для положения А; и пусть А'$"' означает на- правление и велпчииу скорости для положения А', бесконечно близкого к А. Построив параллелограмм А1гК К, сгороиы ко- торого А!>, АК равны и параллельны скорое>ям массы лг в точках А, А', получаем вектор А К, называсьгый и з и е н е- нне и скорости; будем пос>епс>гно приближать точку А' к А, тогда предел направления АК называется направлшшем ускорения, Величина же ускорения есть предел отношения АК ко вре- 1> мели прохождения пути л, У' АЛ'.
Подобное же расл суждение применимо ик й> 4 ускорению центра масс Фиг. 10б. С, а так как эта точка копирует скорости точки А, уменьшив их в отношении †, то, разумеется, ускорение центра масс буде> параллельно уско- рению массы >и и м ньше его в точ же самом о>нош.нии. Ич я ускор нпе материальной точки >л, с~ йчас же получим силу, движущую шу точку, т. е. равгод,йстг>уюиту>г> всех внеш- инх н виутреннях сил, приложенных к массе >и Сила будет ипи параллельно ускорении> а н равняться произведению уско- рения на массу, т.
с, сила будет равна р = >ла. Вслн бы эта сила была дана, то мы сейчас же нашли бы все обстоятельства движения материальной точки и. г!то касается центра масс, то эга точка г!.пкгг>иная, воображаемая, не связанная в действигельнос>гг с какой нибудь материальной массой; это геометрическая, а не материальная точка. Но мы можем условно вообразг>ть себе материальную точку, у которой масса равна массе >И вс.й нашей системы и которая движется так, как иаш центр масс.
Г>удем разбирать условия движения такой материальной точки. Подобное условное рассмотрение называется с о с р е л. о т о ч е и и е м массы всей сястемы в ее центре тяж сги. Сделав такое сосредоточение, определим, какую силу нужно прило>вить к этой воображаемой материальной точке, чтобы вызвать то движение, которое наши рассуждения указали для ценгра масс. 160 закан движения центРА тяжести Искомая сила Р должна быть параллечьна ускорению центра масс, следовательно, параллельна ускорению массы и, а также и силе, приложенной к т. Далее, величина силы Р получится умножением массы Мне ускорение ее, которое меньше ускореюп ння а точки т в отношении — .
Таким образом получим: М' Р=Ма — =та, М т. е. Р=р. Итак, получаем следующее закаменение относительно сил: Чтобы сообщить центру масс, в котором считаем сосрелаточеннай всю массу системы, то движение, которое ан инее~ в действительности, мы должны приложить к нему силу, параллельну~о и равную той силе р, которая действует на материальную точку и. Другимп словами: Нентр масс движется, как материальная точка, в которой сосредоточена массз всей системы и к которой приложена сила, лействующая на массу т.
Это правило представляет ответ на поставленный нами вопрос: как перемещается центр всех масс вследствие перемещения одной из ниху Иы считали, что перемещается только масса гл, а прочие массы остаются в покое. То, ч~о сделзва для массыт, важно повторить и лля каждой из всех масс, составляющих сястему; можно перебрать их одну за другая: и, т', лг",..., и для каждой в отдельности определить, какое движение получает центр масс вследствие движения одной отдельной массы Каждый раз придется искать лвнженис материальной точки массы М под действием тай силы, которая приложена к массе и' илн и или т и т. л. Но предположим теперь, что наши мзссы т, т' и',...
движутся не поодиночке, а все сразу. Какое при атом получится движение центра ызссг Очевидно, оно получится как результат геометрического сложения тех его дваженпй, которые центр получал при частных движениях масс и, т', и",... поодиночке, т. е. нужно сложить (геометрически) те частные дви'кения, которые полу- доказательство закона движения цвнггл тяжести 161 чает масса М под влиянием сил, приложенных к массам лг, т',... Но вспомним закон независимости совокупного действия сил (второй закон Ньютона); этот закон устанавливает, что результат геометрического сложепяя таких дви кеипй, производимых отдельными силами, тождественен с движением, которое вызовется, если на ту же массу будет действовать одновременно, сразу, вся совокупность этих сил. Итак, оказывается, что движение центра масс, получающееся, когда сразу движутся все отдельные материальные точка, составляющие систему, может быть описано в форме следующей теоремы: Центр масс движется, как материальная точка, которая имеет массу, равную массе всей системы, и к которой приложены все силы, действующие на отдельные чзсти системы.
Но если мы перенесем в одну точку внешние и внутренние силы, действующие в системе, то внутренние силы окажутся всегда по две равные и противоположные; следовательно, они взаимно уничтожатся. Останутся только внешние силы системы. Итак, в вышеприведенной теореме можно прямо вместо слов все силн вставить: все внешние силы, Изложенная теорема и представляет общий закон двпж е н н я ц е н т р а и а с с. Он был найден Даламбером и изложен в его «Динамике» вЂ” сочинении, в котором впервые была построена динамика системы '). Следует обратить особое виимзние на то, что движение центра масс вполне определяется в н е ш н н и п силами и что вся совокупность внутренних сил не оказывает никакого влияния на зто явив<ение.
Возьмем частный случай: пусть на систему вовсе не действ)чот внешние силы, и она предоставлена исключительно свопм внутренним силам. Это будет система замкнутая, и з о л и р о в а н и а я от всяких внешних влияний; но внутри нее могут действовать многочисленные н разнообразные внутренние взаимодействия, Общий закон движения центра масс показывает, что в таких случаях этот центр будет двигаться как материальная точка, на которую вовсе не действуют силы.
Такая точка будет или покоиться, илн двигаться по инерции, т. е. прямолинейно и равномерно. Итак: ') Дааамаер Ж., Динамика. Гостехизлат, 1950. (Лрцн. рад.) И в. л. кнрпиьеа 162 закон лвихеення центРА тяжести Пентр масс изолированной системы или находится в покое, или движется прямолинейно и равномерно. Этот частный случай обшей теоремы был найден еще Ньютоном и изложен в его «Математических началах натуральной философии» '). 68. Разложение движения на три прчмолинейных движения по трем координатным о;ям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
