Кирпичёв В.Л. - Беседы о механике (1107612), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Определим более полно, что следует подразумевать под этим понятием «подобные движения». Мы сказали, что вторая система должна копировать движение первой, изменив масштаб; это изменение должно равняться отношению линейных размеров, т. е. Т. Если текущие координаты частицы и« первой системы суть х, у, х, то координаты соответственной точки второй системы х', у', г' должны иметь значения х' ='«х, у' = «у, х' = )г, т, е.
должно быть соотношение; — = У = — =1=сопз1. х у л Тогда перемещения второй системы будут параллельны перемещениям первой системы и в Т раз больше. В этом и состоит подобие перемещений двух систем, Теперь нужно ввести условие относительно того, с какой скоростью вторая система будет копировать перемещения первой. Предположим, что соответственные части путей проходятся двумя системами не я одно и то же время; пусть вторая система употребляет для этого время в т раз большее, чем первая; т — число произвольное, но постоянное во все время движения н одинзковое для всех точек, составляющих систему.
Итак, если в первой системе частица массы л« в момент времени 1 имеет координаты х, у, г, то во второй системе соответственная частица, имеющая массу тр, будет иметь в момент времени 1' =Й координаты «х, «у, «з. Теперь мы вполне определили, что называем подобными двюкениямп диух систем, Как следствие этого определения получаем соотношения скоростей и ускорений сходственных точек двух систем; при этом сравниваем скорости и ускоренна, получающиеся для соответственных времен, т.
е. для первой системы берем момент времени г, а для второй — момент врез«ез«м 1' =т1, Так как лдя этих моментов времени имеем: х'=ах, (зй ВЫВОД ТЕОРЕМЫ то, дифференцируя и помня, что т и ). не зависят от времени, получим: ж =м(, ггх' =), г(х, Следовательно, ах' т гГх (34) ггх' Мх т. е. отношение скоростей —, и — для сходственных времен Ж' равно постоянной и одинаковой для всех частиц величине — , .
Дифференцируя уравнение (34), получим; ('лх ) г ('ах~ а деля обе части этого уравнения на Ш', нли, что все равно, на тггг, найдем: т. е. Кгх 1,Ггх Лтг гг <да' (35) Следовательно, отношение ускорений соответственных точек двух систем для соответственных времен представляется постоянным и одинаковым для всех частиц мнохогтелегг —. «г Отношением сил инерции, т.
е. произведений из массы ~й на ускорение будет: — , . Таковы соотношения в тех движениях, которые мы назвали подобными. Посмотрим, какие активные силы должны быть приложены к этим системам, чтобы они получили подобные движения. Если в первой системе на точку лг действуют силы Х, У, х, то какие силы Х', )", й' должны быгь прнложекы к соответствующей точке второй снстемыу Для ответа на этот вопрос обратимся к уравнению (33), изображающему движение первой системы, и посмотрим, как нужно преобразовать его, чтобы получить движение второй системы. ((о теОРБМА О пОдоБии В динАмика Заметим, что вторая система должна быть подобна первой во всех отношениях, т.
с. не только части второй системы должны быть подобны частям первой системы, но должно соблаодаться также и подобие снязей. Следовательно, возможные перемещения второй системы могут отличаться от возможных перемещений Зх, еу, Зя первой системы только множителем, общим для всех частиц; его мо»<но отбросить.
аах Затеаа вместо снл инерции — ла — — во второй системе \ Лта а а« появятся те же величины, умноженные ва —,' . Вместо активных сил Х, У; Е во второй системе будут силы Л", Г, Е'. Таким образом, уравнением движения второй системы будет: а', тя аа» ~ + ( х' — — „—,) да 1 = О. (36) Нужно найти, какие силы Х', У', Р' удовлетворяют этому уравнению; это будут силы, сообщающие второй системе движение, подобное тому движению первой системы, которое определяется уравнением (33). Но, сравнивая уравнения (36) и (33) между собою, видим, что, если уравнение (33) удовлетворено, то можно удовлетворить уравнению (36), принимая Х'=ТХ, )"=Т); ~ =у~ и полагая при этом 1р Т:,а На самом деле, прн такой подстановке уравнение (36) делается вполне согласным с уравнением (33), за исключеав пнем лишь постоянного мно»опеля у =- — '„, на который можно сократить, так как этот множитель входит во все члены уравнения.
Итак, силы, которые сообщают второй системе движение, родобное движению первой системы, должны удовлетворять 141 вывод 'тяоеемы следующим условиям: х =ух, у'=(у, г=ук и )в В технике имеет особое значение величина работы, производимой машиной в единицу времени; она выра>кается обыкновенно в лошадиных силах. Отношение таких работ для днух подобных систем получится делением выражения (37) на отношение времен т: >да ы (38) Эту совокупность отношений отношениями скоростей >. дополним вышеуказанными (39) п ускорений (40) ы Мы можем притти к тому же результату, подходя к вопросу с совершенно другой точки зрения, а именно, рассмат- т.
е. 1) активные силы второй системы должны быть параллельны п пропорциональны соответстнующим силам первой системы; 2) коэФфициент пропорциональности сил должен равняться произведению из отношения линейных размеров двух систем на отношение соответственных масс этих систем, рааделенному на квадрат отношения соответствующих времен. В этом и заключается теорема Ньютона о подобии. Для сил связи, конечно, получится такое же соотношение, как указанное для активных сил. Работа получается как произведение силы па перемещение: поэтому отношение соответственных работ для двух подобных систем пзобразится величиной (3У) 142 теогемл о половин В динлмикв ривая размерность величин, входящих в уравненияя движения. В уравнение движения входят разнородные величины; из них трп величины основные, а именин: длина (Е1, масса (М1 и время (Тй прочие же величины — производные.
Ускорение имеет своей размерностью: а так как сила равна произведению массы на ускорение, то размерностью ее будет: МП'-'. Вообразим себе любой случай движения системы, определяемый одним или несколькими уравнениями. Изменим единицы, которызщ измеряются величины, вхотяигие в уравнения движения; тогда зти величины будут изображаться другими числами, чем прежде, сообразно с изменением единиц. Произведем следующее изменение еданпц: уменыинм единицу длины в Х раз, единицу массы в р.
раз и единицу времени в т раз. Тогда единица для измерения спл уменьшится 1ь в —,, раз. Числа же, представляющие вслпчины длин, масс, времен и сил, увеличатся в тех же отношениях, т. е. в 'ь, 1н р,т, —,раз. Эти новые числа должны удовлетворять прсзкнпм уравнениям движения, так кзк они представляют данные, относящиеся к дзнженшо прежней системы. Итак, если в любом уравнении движения мы все длины умножпм на произвольную постоянную величину 1, все массы — на р, все времена — на т и все силы— на †,, то уравнение попрежнему будет удовлетворено.
Но мы можем смотреть на это видоизмененное уравнение с другой точки зрения. Прежде мы считали, что оно изображает движение прежней системы, с изменением лишь единиц, которыми измеряются величины. Теперь предположим, что единицы остались прежние. Уйы можем толковать видоизмененное уравнение как уравнение движения другой системы, которая получается из первоначальной путем увеличения нссх длин в х раз, всех масс в р раз, всех времен в т раз и всех сил в †, раз.
143 центРАльнОе движении Этз новзя система подобна первоначальной, и сравнение нх уравнений лвнженпя показывает, что новое лвнже ше подобно прежнему движению. Итак, получаем вновь теорему о подобии; условие подобия, т. е. соотношение сич, конечно, получилось то же самое, что и в предыдущем способе доказательства. Изложенное второе доказательство показывает, что закон полобия в динамике представляет непосредственное следствие необходимой однородности всех членов, нходюцпх в какое уголно уравнение; его можно называть «законом однородностиэ. Отсюда легко вывести распространение этого закона на различные вопросы математяческой физики '].
Приложения теоремы о подобии весьма многочисленны и Лают очень важные результаты, так чзо один из теаретнконмехаников справеллпво называет теорему о подобии не л н к и и п р и н ц н и о м п о д о б и я. Мы приведем примеры нз разнообразных областей науки н техники. 58. Центраяьиое движение. Пусть система состоит из материальной точки т, движущейся под влиянием притяжения к неподвижному центру Я; сила притяжения пропорциональна величине массы и и расстоянию г, возвышенному в от~пень л.
Другая система ей подобна. Ка!сне указания на соотнршенпя движений этих систем даст теорема о подобнну Она указывает, что отношение снл должно быть —,. С другой стороны, заданный закон прнтнжьншя указывает, что отношение сил в двух системах составляет р'д". Следовательно, имеем; ).и — = )л'л", ы з) Теорема о подобии в теории тепла была выведена Фурье; этот вопрос разобран э мало иэаесгнои мемуаре е!о, носяшоч заглавие «Мепю1ге эиг !а 41«1(пс(!ои беа гас(пе«ппая(па1геа с1сдч См.
а собрании сочинений Фурье (Оеитгеа де Роипег), т.!1, стр. 135 — 144. Эза раоота относится к !827 г,, т. е. пояэнаась нитью годами позже, чем «Твеог1е апа!унйие де 1а с(за!еигаз. См. также статью: Ю. В еггг а од, Яш Глоп!ойбпе((е бана 1ез 1огпш1е«бе р(зуэ(цие, «Сотр1еэ йспдиюн 86, стр. 916 (1878). Здесь рассмотрено подобие в теории тепла и теории электричества. (Вопросы подобия и разиерности изложены е книге: Седов Х!. «1, Методы теории разчерностей н теории подобия в механике. Гостехиздат, 1944. (Прим. рад.)) 144 теогвмл о подовпи в дкнлмняз откуда (41) г — )г-л Здесь т представляет отношение соответствующих времен; если, например, точка т описывает замкнутую кривую (орбиту) около притягивающего центра Я, то т означает отношение вр.мен обращения масс около центра 8. Уравнение (41) представляет слсдугощий закон: квадраты времен о б р а- щения относятся, как (1 — л)-е степени лвнейн размеров орбит.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
