Кирпичёв В.Л. - Беседы о механике (1107612), страница 31
Текст из файла (страница 31)
О (49) Леиая часть означает колпчсс~во движения, приобретенное массою т за время й правая может быть названа суммою толчков (имиульсов), полученных этой массой за то же время от переменной силы Р. До сих пор мы считали, что имеем дело с одной массой лг, т. е. с одной материальной точкой.
Теперь переходим к произвольной материальной системс, т. е. любой совокупности магериальпых точек. !1режде всего освободим эти точки, т. е. заменим все взаимные связи их внутреннимп силами. Тогда можно сиота~в каждую ~очку свободной, отделенной от прочих, и применять ь ней уравнение (49); ио теперь Р о~начнет сумму проекппй внешних и внутренних сил, приложенных к точке ли Наяшием уравнения вида (49) для каждой материальной точки нашей системы и сложим все эти уравнения. Употребляя али обозначения суммы символ г., получим уравнение: ~„ги У вЂ” ~, лгоа =.= ~', ~ Р й1 .
а (50) Левая час~ь равенства содержит в себе сумму количесзв двихгения, приобретенных отдельными гочкаии. В правой— находится сумма тогшков (иатульсоп), сообщенных всеми силами, действующими иа точки, входящие в состав системы, Уравнение это выражае~ теорему: В праной части равенства иолучашся сумма бесконечно большого числа членов: 714 закон количгств двнжвнпя н закон живых сил ,рэ — 2д.ь если начальная скорость была равна нулю.
Если же имелась начальная скорость оо, то по прохождении пути л получается скорость о, определяемая уравнением; оа — нот — — 2дй. Умножая на массу падающего тела т, получим: — '=лг Ь, 2 2 о илп, заменяя произведение ед весом тела Р: глот л1оа 2 — — — = Рл. 2 2 (51) Половина произведения нз массы на квадоат скорости называется ж в в о й с и л о й движущегося тела '). ° Разность элот то о э) яй!э Щм໠— по латыни. Термин этот ведет свое начало от Лейбпниа. 11о прежде часто называан живой силой произведение тоэ, а не половину его.
Количество движения, приобретенное всей системой по какому-нибудь направлению (т. е. по направлению какой-нибудь координатной оси), равно сумме импульсон, сообщенных всеми силами по тому же направлению. Эта теорема и представляет закон количеств лвижения, Он нзображается тремя уравнениями такого вида, как [50), т. е. по одному уравнению для каждой координатной оси. 74.
Закон живых сял. Оставим на время закон количеств движения и выведем закон живых снл. Эти два основные закона очень удобно рассматривать параллельно и сравнительно; выяснив сходство н различие их, мы увидим, в каких случаях должен применяться тот или другой закон. Закон живых сил мы получим, также всходя из простого явления — падения тяжелых тел. Котла путь, пройденный пада1ощим телом, есть л, то скорость падения о получается из формулы: 175 ЗАКОН ЖИВЫХ СИЛ стоящая в левой части уравнения (51), есть приращение живой силы„происшедшее на пути 7а.
В правой части равенства (51) находится произведение силы на пройденный путь. Озо называется работой силы Р, произведенной ею на протяжении пути 75. Приняв этн термины, мы прочтем уравнение (51) в виде следующей теоремы; Живая сила, приобретенная телом при прохождении известного пути, равна работе, произведенной силой на протяжении этого пути. Для падения тяжелых тел эта теорема не дает ничего нового; она только выражаег другими словамн давно известные законы явления.
По для нас уравнение (51) имеет значение как тип, под который мы постараемся подвести гораздо более сложные случаи движении. Первое усложнение состоит в том, что, движение часто бывает не прямолинейное, а криволинейное. аа(ы знаем, что тогда ускорение по касательнвй равно производной от скоа" У рости по времени „вЂ” , Но, с другой стороны, мы получим то же ускорение, если возьмем слагааощую Рсоа(5 внешней силы по касательной и разделим ее на массу движущейся материальной точки т. Приравнивая эти два выражения, получим для криволинейного движения; аГН Рсоа ч ЛГ Ач Чежду тем для прямолинейного движения получается: ааа Р ай гга Единстиенааое различие межлу этими двумя выраженаимн состоит в тапа, что в случае криволинейного движения влаесто полной силы Р стоит ее проекция Рсоза(а на касательную к пути, Такое сходство указывает, что все выводы относительно величины скорости, полученные для прямолинейного двиакения, можно прямо применить и к случаю криволинейного, заменив лишь силу Р ее проекцией Рсоа р.
Поэтому мы можем сде- 176 закон количвств движвння и закон живых сил лать это и с уравнением (44) и получим: 11Ш1 ™а 2 Оз и Д 2 2 (62) Тогда получим ряд уравнений: 111 э-' лше т е — Рсоа„.„111 2 тнт тэ1 — — — =Р, соз а .1И 2 2 1 1 1ИО., 1ЛО1 — — — ==Ра С05 'фа ЙИ, 2 2 а 1лтГ1 л1э„ 2 2 а л — - — —,— = — Р со5 й 1771, Сложим все эти уравнения; в результате в левой части, по сокращении, получим: Лйм 1пи о 2 т. е, живую силу, приобретенную на протяжении всего пути л, В правой же части получим сумму элементарных работ, т.
е. Условимся здесь называть р а б о т о й с и л ы произведение Реизов 71, тогда уравнение (62) может быть прочтено в форме буквально той же самой теоремы, как и уравнение (62) для прямолинейного движения. Введем дальнейшее усложнение: пусть сила Рсоа а не постоянная, а изменяется на протяжении пути 71. Тогда уравнение (62) можно применять только на протяженна бесконечно малого пути п11. Весь путь Ь разделим на бесконечно малые части а111 н применим уравнение (52) для каждой из этих частей. Последовательные значения скоростей назовем буквами: а значения силы Рсоа х для последовательных частей полного пути 71 пусть будут: Рсо5 т, Р1 со5 р1,..., Рл соь'тл' 177 СРАВНЕНИЕ ЗАКОНОВ сумму работ, произведенных силою на протязкении элементов пути.
спело членов суммы бесконечно большое, и для обоаначения ее примем символ: ) Рсоа рг)И. о Итак, суммирование даст нам уравнение г н'"о — — — = ( Рсоа рс)И, 2 2 о (53) которое на с.човах выражается той же теоремой о жигой силе, как и прежде, а именно, указывает на равенство между приобретенной живой силой и работой, Наконец, введем последнее усложнение: нместо одной материальной точки введем произвольную механическую систему. Ее можно рассматривать как совокупность произвольного числа иатериальных точек; заменяя все внешние и внутренние связи спламн, мы можем каждую из этих точек считать свободной, и, следовательно, можно для каждой из них написать ураннение такого же вида и содержания, как (53). Напишем все эти уравнения и затем просуммируем их.
Получим: а ~~р~ Рл ~~р~ ын~ 2 — — — ~ Рсоа)в а'И, 2 о (54) 12 В, Л. Кирпиввв Это уравнение выражает закон живых снл лля системы: Живая сила, приобретенная всей системой на протяжении известных путей ее точек, равна сумме работ, произведенных на этих путях силами, приложеннымн ко всем точкам системы. 75. Сравнение закона количеств движения с законом живых сил. Как в тот, так и в другой из этих законов входят скорости лиижсния — начальныс и конечные. В этом состоит сходство двух законов, Посмотрим, в каких отношениях онн различаются ме,кду собою; ~акое сравнение укажез нам, когда нунсио применять первый закон и когда — вгорой.
178 закон количаств движвнкя и закон живых снл В уравнение количеств движения входят проекции сил, умноженные на элементы времени, и для каждой материальной точки сумма импульсов представляется бесконечной суммой Р г7~ + К гы+ Рг г7~+ ° ° Если проекции сил выражаются как некоторые функции времени, то такая бесконечная сумма нзобразится определенным интегралом ~ РШ, б нижний предел которого соответствует начальному моменту времени, а верхний в окончательному. Такой интеграл может быть найден, причем или мы получим точное выражение его в известных функциях, илн выразим его величину приблизительно, при помощи формул для квадратур. Если это относится ко всем материальным точкам системы, то вторая часть уравнения ~50), т.
е. будет найдена, и, следовательно, мы получаем уравнение, в которое входят и е ус ко р е н н я, как в начале Даламбера, а скорости. Это уже будет интеграл уравнений движения; итак, н этом случае закон количеств движения может быть назван интегралом количеств движения, Обращаясь к уравнению живых сил, мы встречаемся с бесконечной суммой, в которой проекции сил умножаются на элементы пути: Рсоа рг76+ Р,соз р, ил+... Если проекции сил представляют известные функции пройденного пути, то эта бесконечная сумма изобразится определенным интегралом л Рсоа у вЪ; 179 сглвнвнив законов пределы интегрнронания — начальное и окончательное положение движущейся точки, Такой интеграл может быть найден.
Если это относится ко всем точкам системы, то мы получим сумму работ всех сил а ~ ~чр~ Р соз у сИ о и будем знать ее величину. Тогда уравнение 154) будет интегралом уравнений движения; это — и н т е г р а л ж и в ы х с и л. Итак, оба наши закона дают интегралы уравнений движения; закон количеств движения дает такой интеграл, когда проекции сил суть функции времени; закон живых сил дает интеграл в тех случаях, когда проекции снл представляют функция пройденного пути. Этим определяется выбор того или другого закона для решенпя частного заданного вопроса. Укажем для примера на задачу внутренней баллистики зная давленне пороховых газов в пушке, найти скорость, с которой снаряд вылетит нз орудия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
