Иванов Б.Н. - Мир физической гидродинамики. От проблем турбулентности до физики космоса (1107606), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Эти поверхности разрыва отделяют невозмущенную область З 11. Знокоиыпесь с ударныио аолнаио потока от возмущенной. Сам возмущенный поток находится в области, ограниченной конической ударной поверхностью. Любопытно отметить, что исторически представление о поверхности разрыва а потоке газа было получено не из качественных рассуждений, а из строгого рассмотрения решений уравнений газовой динамики. Авторы этого открытия не поверили своим результатам, ибо они были убеждены, что в непрерывном газовом потоке и все величины должны меняться гладко, непрерывно, без скачков.
Однако представление о скачкообразном изменении величин на ударном разрыве не противоречит общим законам механики и термодинамики. Об основных этапах истории открытия ударных волн см. в Приложении. Очерк к 5 1!. Прежде чем перейти к детальному изучению свойств потока на ударном разрыве, остановимся на ряде количественных оценок, касающихся звуковых возмущений.
Покажем, что скорость распространения звука в газе порядка величины средней тепловой скорости его молекул. Используем уравнение состояния идеального газа Р РУ = — = 1'кйТ, р где И = 1/р есть объем единицы массы газа. Поскольку то, согласно (9.8), скорость звука с, /МИ~. (11.1) Зтот результат показывает, что скорость звука в газе зависит только от температуры, но не от давления или плотности. Воспользуемся, далее, соотношением гпоз ВТ, где гп — масса молекулы, а о2 — ее средняя квадратичная скорость. Тогда (11.1) запишется в виде с, тггйщо~. Поскольку же, по условию, рассматривается единица массы газа, то Фгп = 1.
В итоге, для скорости звука получим с, о. В связи со сделанной оценкой, убедимся в том важнейшем обстоятельстве, что течения газа со звуковыми и сверхзвуковыми скоростями можно рассматривать как лишенные вязкости. В самом деле, кинематическая вязкость и Н с,1, 99 Э 11. Знанамыпесь с ударными волнами где 1 — длина свободного пробега молекул, а Б — средняя тепловая скорость молекул, которая, как мы видели, по порядку величины совпа- дает со скоростью звука с,. Поскольку и скорости и макроскопического движения сравнимы со звуковой, то число Рейнольдса нЬ сЬ Ь йе =— и с,1 (11.2) принимает очень большие численные значения (Ь есть характерный размер, в данном случае размер обтекаемого потоком тела). Большие же значения йе соответствуют малой вязкости.
11.3. Общие соотношения для ударного скачка Как количественно описывать ударные волны? Хотя параметры газа б, Р, р при прохождении через «поверхность разрывах испытывают скачок, но соответствующие им потоки должны быть непрерывными. Это следует из законов сохранения массы, импульса н энергии. Рассмотрим элемент поверхности удар- уггарный ной волны перпендикулярной к потоку, и свя- скачек жем с этим элементом систему координат с осью Х направленной по нормали к нему (см.
рис. 1!.2). Тогда, вследствие сохранения Х вещества, плотность потока массы должна иметь одно и то же значение по обе стороны от поверхности разрыва, т.е. Рвс. И.2 (11.3) Р|а1« = Ргвгх. Обратимся к условию непрерывности для потока импульса на разрыве. Импульс единицы объема газа есть ре.
Казалось бы, что плотность потока импульса в направлении движения самого газа должна быть равна (Рах)пх а условие на поверхности разрыва могло бы записаться как равенство этих выражений по обе стороны скачка. Однако такая запись была бы не полна, ибо, если газ покоится, то должны быть равны давления соседних участков газа друг на друга. В результате получим Рг+ Ргем = Рг+ Ргег 2 (11.4) Выпишем выражение для потока энергии.
Полная энергия единицы объема имеет вид — +Е соответственно плотность потока энергии запишется Рех + вг з 11. Эналомылесь г уДпрнымо волнамн 100 (11.б) (11.7) Ргет Р2е2 = Л 2 2 Р1 + Р1 е1 = Рг + Ргег, е2 е2 от~ + — = етг+— 2 2 (11.8) Ударная волна в газе имеет конечную ширину и является переходным неравновесным слоем, разделяющим две равновесные области среды при различных значениях термодинамических величии. Найдем соотношения, которые определяют связь между термодинамическими величинами по обе стороны ударного разрыва. Будем исходить из общих условий (11.6)-(11.10).
Введем удельные объемы Уг — — 1!Ры Уг = 1/Рг газа по обе стороны разрыва. Из (11.б) тогда будем иметь: ег = 7У1 ег = 7У2. Подставляя зто в (11.7), получим Р~+2 ~~ = Рг+7 Уг, (11.10) (1 1.9) или Рг — Р, у = К Уг Так как 72 — величина положительная, то должно быть одновременно (11.11) Рг ) Р, и У~ ) Уг '21. (1 1.12) Таким образом, давление газа за скачком выше, чем перед скачком. То же самое относится и к плотности газа (рг ) р~ ). Для скачка скоростей ег — ег газа по обе стороны разрыва, равного, согласно (11.9), 7'(У1 — 1'2), можно написать, используя (11.11), выражение .,-ч=фн-'лхт,-та (пзз) Неравенства (11.12) приводят к тому, что (11.14) Е! ~ Е2.
п1 1Более летальное рассмотренне показывает, что обратные неравенства в атом случае невозможны. здесь использовалось соотношение (9.3). Само же условие непрерывности потока энергии на скачке будет Р1е~ ~ — + ег1) = Ргеге ~ + езг (11.5) Заметим, что условие (11.5), вследствие наличия (11.3), может быть упрощено. Имея также в виду, что при нашем выборе ориентации системы координат е, = ег, рассмотренные условия на поверхности разрыва могут быль переписаны в виде: Э 1!.
3наномылесь с ударными волнами 101 В результате, скорость потока за скачком падает. Рассмотрим теперь условие (!1.8), которое перепишем в виде г!гг уг1гг яч+ = гог+ 2 2 (1!.15) здесь использованы равенства (!1.9). Подставляя в (11.15) выражение (11.11), получим ! гиг — гаг + -Я + Рг)(Рг — Рг) = О. 2 (11.16) Значение тепловой функции за скачком выше, чем перед скачком («вг > иг). Перейдем в (11.16) от тепловой функции «в = в+РУ к внутренней энергии е.
Тогда получим 1 е ~ — ег + — ® — г'г) (Рг + Рг) = О. 2 (11.17) Внутренняя энергия газа возрастает за скачком (ег > ег). Соотношения (1!.16) и (11.17) являются важнейшими для теории ударных волн и определяют связь между термодинамическнми величинами по обе сторона от ударной поверхности. Что касается изменения энтропии, то при прохождении газа через ударный слой, оиа может лишь возрасти (в силу закона возрастания энтропии), т.е.
вг >вь (!1.18). Это неравенспю, как кажется иа первый взглял, не находится в сооуветствии с тем, что говорилось в конце прелылущего параграфа (э 1!.2), А именно, движения газа со звуковыми и сверхзвуковыми скоростями можно рассматривать как движения «идеальной жндкости», т.е. среды лишенной вязкости и теплопроводности. При таких движениях, как нам известно, энтропия остается постоянной. Таким образом, ударные разрывы являются механизмом возрастания энтропии в «идеальной жидкости». Другими словами, на ширине ударной волны проявятся свойства вязкости и теплопроводности среды.
Поскольку же вязкость существенна для движений с малыми числами Рейиольдса, то нз (!1.2) следует, что ширина Х ударной волны может быть лишь порядка длины свободного пробега 1 молекул. Этот результат не находится в противоречии с предположением о том, что в рамках газодинамики сплошной среды ударный фронт является геометрической поверхностью. Дело в том, что сама газодинамнка игнорирует молекулярную структуру срелы и полагает 1 «О. Что касается структуры и процессов, идущих на ширине ударного скачка, то они могут полно и последовательно изучаться методами статистической физико-химической кинетики. 102 Э 11. Знаномылесь г ударнымо волномо В заключение этого параграфа важно подчеркнуть следующее.
При выводе соотношений и неравенств, касающихся поведения термодинамических величин прн переходе ударного скачка, мы не использовали уравнения состояния вещества. Это означает, что полученные соотношения и неравенства имеют общий характер и применимы при распространении ударных волн в любых средах: твердых, жидких, газообразных. т.е. 7 — 1 — — 1 1 5 з 7+! з+! рг Рг рг — — 4рь Для двухатомного газа рг = брь Для отношения температур в предельном случае ударных волн большой интенсивности, вытекает формула Тг 7 1Рг (!1.20) Т, 7+!Р, В результате, отношение Тг(Т~ неограниченно растет вместе с Рг(Рн Иначе говоря, скачок температуры, как и скачок давления, в ударной волне может быть сколь упгдно большим. 11.4.
Ъдариые волны в идеальиом газе Здесь мы конкретизируем среду: возьмем простейшую — идеальный молекулярный газ. Напомним, что под термином «Идеальный газ» в статистической термодинамике разумеют газ из весьма слабо взаимодействующих частиц. Чтобы теоретически исследовать поведение термодинамических величин такого газа на ударном скачке, используя общие соотношения в 11.3, необходимо уравнение состояния идеального газа и выражения для его внутренней энергии и тепловой функции. Опираясь на расчет !см.
Приложение. Очерк к э 11), рассмотрим его следствия, касающиеся ударных волн весьма большой интенсивности. При условии, что давление за фронтом ударной волны много больше давления перед фронтом !Рг >) Р~), следует Рг 7 (11.19) Рг 7+1 Отсюда видно, что отношение плотностей стремится к постоянному пределу. Так, для одноатомного газа с (5/2)В 5 с„(3/2)В 3' 103 б 11. Знономыоесь с ударными волнами Наконец, для скорости распространения ударной волны большой интенсивности, будем иметь соответственно 7+~ — — Ргрн 2 Ь- 1)' и, = РзЦ.
2(у+ 1) (! 1. 21) Зги скорости растут пропорционально корню из давления Р~. Ударные волны могут возникать при взрывах. Скорость распространения ударной волны выше, чем скорость распространения звука. Зто видно, например, из первого равенства формул (11.21), которое при Рз- Р, переходит в о,~ т — =с„ (11.22) т. е. ударные волны слабой интенсивности распространяются со скоростью близкой к звуковой. В сильной ударной волне давление и плотность энергии гораздо больше, чем в невозмушенном газе. Такова, например, волна с давлением 100 атм в воздухе. Зта волна сжимает воздух почти в 8 раз и распространяется со скоростью более 3 км/с, т, е. в 1О раз быстрее звука. Температура в ней достигает 3500' С.
При такой температуре заметная часть молекул воздуха уже днссоциирована, т. е. распалась на атомы. Для гораздо большей оставшейся части молекул при указанной температуре уже существенны не только поступательные и вращательные степени свободы, но и колебательные. В этом случае предельное сжатие будет восьмикратно, в отличие от шестикратною при отсутствии колебательных состояний. Ударная волна, в которой давление равно 1000 атм, нагревает воздух до 14000' С. При этих температурах в игру вступают электронные атомные состояния. Возникают процессы перехода атомов из основного состояния в возбужденные; обратные переходы сопровождаются излучением атомов в видимой области спектра. В этих условиях предельное сжатие газа десятикратное.
Сам нагретый воздух становится непрозрачным для собственного излучения. Поверхность фронта сильной ударной волны в газе излучает так же, как раскаленное твердое тело при той же температуре. Поверхность в 1 см такой волны излучает в 1 секунду в 36 раз больше энергии, чем равная поверхность на Солнце. Напомним, что температура излучаюшего слоя Соанца 5700 С. При ядерном взрыве образуются ярко светящиеся ударные волны, огненные шары.
Если огненный шар с температурой 14 000' С виден под углом в 5,3 раза большим, чем солнечный диск, то он светит ярче тысячи солнц (3б х 5,3' ) 1000). Но столь яркое свечение ллится недолго, меньше союй дали секунды. Э 11. 3нанамыпесь с ударными волнами 1б4 Остается лишь помножить это отношение на 1'/В5, чтобы получить искомую безразмерную комбинацию Е11 — 1. (») 1В5 Замечательно, что она единственная, и это обеспечивает выполнение закона подобия при распространении сильных сферических ударных волн от точечного источника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
