part2 (1106111), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

< А_трен > = ¹³ .

Выразим cos²(w₀t + j) через функцию двойного угла: cos² a = (1+cos2a) и подставим его в выражение для < А_трен > :

< А_трен > = = , ( 8-18)

поскольку значение второго интеграла в ( 8-18) равно нулю (среднее значение за период любой гармонической функции равно 0, т.к. эта функция половину периода положительна, а половину - отрицательна).

Очевидно, что за весь период Т на преодоление силы трения будет затрачена энергия W_потер = < А_трен > Т, и добротность колебательной системы может быть определена как:

, ( 8-19)

где . Из выражения ( 8-19) видно, что добротность системы определяется ее упругими, инерционными и диссипативными¹⁴ свойствами. Можно сказать также, что добротность - это число, показывающее за сколько периодов колебаний вся энергия, запасенная в системе, будет превращена в работу против сил трения, т.е. в тепло.

Как правило, добротность механических систем довольно высока. Здесь уместно вспомнить о звучании музыкальных инструментов: отдельная нота может звучать несколько секунд, хотя частота колебаний составляет несколько килогерц.

Колебания груза на пружине также могут продолжаться довольно долго, однако в последнем случае существенно заметить, все рассмотренные случаи колебаний касались движения, где изменялась одна координата, в то время как известно, что
для полного описания движения точки необходимо задать три координаты. Все эти координаты считаются равноправными, поэтому, если по каким-то причинам в системе возникают колебания в двух или трех направлениях, то первоначально запасенная энергия станет равномерно распределяться между всеми направлениями колебаний; другими словами, если груз будет совершать не строго вертикальные колебания вдоль одной прямой, то его колебания затухнут быстрее.

§ 8-4. Колебания математического и физического маятников.

Из школьного курса физики известно, что математический маятник представляет собой точечную массу, подвешенную на длинной невесомой и нерастяжимой нити. На первый взгляд раскачивание такой системы связано с изменением

по меньшей мере двух координат сразу так, что для описания такого движения на-
до записывать второй закон Ньютона ( уравнение движения ) для каждой из координат в отдельности, а затем искать связь между ними. Однако задача может быть упрощена, если обратить внимание на то, что движение математического маятника происходит при постоянной длине нити подвеса, т.е. его можно рассматривать как частный случай вращательного движения, когда в качестве единственной переменной выбирается угол отклонения от положения равновесия. В этом случае вместо уравнения движения в форме второго закона Ньютона необходимо использовать основное уравнение динамики вращательного движения:

I , ( 8-20)

где I - момент инерции точечной массы относительно точки подвеса, М - момент

рез точку подвеса, равен M = mg h = mg lsin j, и уравнение динамики вращательного движения принимает вид:

, ( 8-21)

или после сокращения обеих частей на величину ml :

. ( 8-22 )

Знак минус в уравнениях ( 8-21) и ( 8-22 ) появился потому, что направление отсчета угла j взято против часовой стрелки, тогда как момент силы тяжести стремится повернуть маятник по часовой стрелке.

Для малых углов отклонения j синус угла можно разложить в ряд Тэйлора по малому параметру j:

f (x) = f (0) +

Поскольку sin 0 = 0, то в разложении синуса исчезнут члены, содержащие f(0) и

вторую производную и синус угла j равен:

sin j = j -

Даже для углов отклонения около 30⁰, т.е. 0,5 рад ( в математике угол обычно измеряется в радианах; один радиан » 57⁰ ), вторая поправка в разложении синуса дает величину, чуть большую двух процентов, поэтому с достаточной степенью точности функцию синуса можно заменить его аргументом так, что уравнение

( 8-22 ) приобретает такой вид:

, ( 8-23 )

что полностью совпадает с уравнением движения груза на пружине. Поэтому нетрудно придти к заключению, что частота колебаний математического маятника определится также, как частота собственных колебаний груза на пружине:

. ( 8-24)

производиться не будет. Частота собственных колебаний физического маятника равна:

W = . ( 8-26)

Лекция 9. Вынужденные колебания и волны.

§ 9-1. Уравнение вынужденных колебаний.

Вынужденными называются колебания, которые происходят под действием внешней периодической силы. В этом случае частота колебаний не определяется параметрами самой системы, а задается внешним источником. Для груза на пружине уравнение движения может быть получено формальным введением в уравнение ( 8-8) еще одной - внешней периодической силы F(t) = F₀sin wt :

+ mg - k (x +x) + F₀sin wt ; ( 9-1 )

после преобразований и обозначений, аналогичных прошлой лекции, получим:

f₀ sin wt, ( 9-2 )

где f₀ = Остальные обозначения сохраняют свой смысл. Т.к. груз колеблется с частотой вынуждающей силы, решение дифференциального уравнения ( 9-2 ) может быть записано в следующем виде: x(t) = A sin( wt + j). Появление фазового сдвига между колебаниями груза и внешним воздействием связано с определенной инерционностью системы, реагирующей на внешнее воздействие с некоторым опозданием. Однако, для упрощения последующих выкладок, удобнее изменить начало отсчета сдвига фаз: пусть колебания груза происходят по закону x(t)=
=Asinwt, а внешняя сила получает некоторое опережение по фазе, т.е.f₀ sin(wt -j) =

= f (t) или заменяя j на (- y) , f (t) = f₀ sin(wt +y)

Тогда неизвестной величиной в выражении x(t) = Asinwt остается только амплитуда колебаний. Для ее определения используем векторный способ решения уравнения (9-2). Вычислим последовательно первую и вторую производные от х(t) и

подставим эти производные в ( 9-2): = ; ; после приведения подобных получим:

и . ( 9-5 )

Из найденного выражения для амплитуды вынужденных колебаний ( 9-4 ) видно, что величина А зависит от частоты вынуждающего воздействия. Для нахождения экстремального значения этой амплитуды найдем производную знаменателя и приравняем ее к нулю: 4( , откуда следует, что «экстре-мальное» или резонансное значение частоты определяется как:

. ( 9-6 )

н ужденных колебаний в области частот, близких к резонансной - резонансная кривая - показана на рис.36. Чтобы оценить относительное изменение амплитуды при резонансе, необходимо знать величину амплитуды на двух частотах - на резонансной и на частоте, достаточно далекой от w _рез. Рассматривая (9-4) нетрудно за-
метить, что такой «далекой» частотой удобно выбрать w 0.В этом случае А₀= .
На резонансной частоте при условии, что b << w₀ и w _рез » w₀ , амплитуда колебаний равна

, поэтому отношение выбранных амплитуд = Q, т.е. амплитуда при резонансе увеличивается в Q раз ( Q - добротность системы). При достаточно высокой добротности смещение отдельных частей системы может превышать пределы допустимых деформаций, что приведет к разрушению системы. Особенно опасны такие явления там, где разрушение колеблющейся системы может повлечь за собой гибель людей, - например, на механическом транспорте. Вращение винтов, валов с определенной частотой может вызвать резонансные колебания корпусов самолетов, судов и машин. Чтобы предотвратить подобные явления, конструктора вынуждены заранее тщательно рассчитывать как собственные частоты транспортных средств, так и возможные частоты, возникающие при различных режимах работы двигателей.

Характеристики

Список файлов лекций