part2 (1106111), страница 3
Текст из файла (страница 3)
всех сил, действующих на эту точку - как внутренних так и внешних:
D T i = A i . ( 6-17 )
Cложив выражения ( 6-17 ) для всех точек системы, получим:
. ( 6-18 )
Левая часть этого уравнения является кинетической энергией всей системы, которую можно обозначить D Т, а правая часть есть общая работа всех сил, которую
можно представить как сумму трех слагаемых:
-
работы всех внутренних потенциальных сил - А внутр. пот ;
-
работы всех внутренних непотенциальных сил - А внутр. непот ;
-
работы всех внешних сил - А внеш . При этом надо учесть, что суммарная работа всех внутренних потенциальных сил с обратным знаком равна изменению потенциальной энергии системы D U. Поэтому равенство ( 6-18 ) приобретает такой вид: DТ = - DU + А внутр. непотен + А внеш . Перенося DU в левую часть этого равенства и замечая, что D Т + DU = DЕ, получим:
D Е = А внутр. непотен + А внеш . ( 6-19 )
Выражение ( 6-19 ) представляет собой закон изменения механической энергии:
изменение полной механической энергии системы материальных точек за некоторый промежуток времени равно суммарной работе всех внутренних непотенциальных и всех внешних сил за этот промежуток времени.
Если система замкнута, т.е. на нее не действуют никакие внешние силы или сумма всех внешних сил равна нулю, а все внутренние силы являются потенциальными, то D Е = 0, и выражение
Е = Т + U = const ( 6-20 )
представляет собой закон сохранения полной механической энергии .
В качестве примера применения этого закона рассмотрим вывод так называемой второй космической скорости, под которой подразумевается скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно оказалось способным преодолеть притяжение Земли. Для этого используем выражение ( 6-7 ) для работы силы тяжести при удалении тела на бесконечно большое расстояние от Земли:
А = - 
.
Т
.к. гравитационные силы потенциальны, величина этой работы, взятая с обратным знаком, определяет значение потенциальной энергии притяжения тела к Земле - А = - U . Тогда из закона сохранения энергии следует что, тело может преодолеть притяжение Земли, если ему сообщить кинетическую энергию TII , которая равна потенциальной энергии притяжения:
,
( g - ускорение свободного падения на поверхности Земли ), откуда следует, что вторая космическая скорость VII равна:
» 11,2 кМ/С . ( 6-21 )
Лекция 7. Колебания.
§ 7-1. Гармонические колебания.
Колебаниями называются такие изменения какой - либо физической величины, когда эта величина через определенные промежутки времени принимает одни и те же значения. Любое колебание может быть охарактеризовано такими параметрами:
1. амплитудой колебаний, т.е. величиной наибольшего отклонения от
положения равновесия,
2. периодом колебаний, т.е. временем одного полного колебания; ве-
личина, обратная периоду называется частотой;
-
законом изменения колеблющейся величины со временем; гармо-
ническое колебание происходит по закону синуса или косинуса; -
фазой колебаний, характеризующей состояние колебаний в любой момент времени.
Гармоническое колебание может быть представлено в трех видах: графическом, аналитическом и векторным. Графическое представление колебаний изображено
| t Рис.24.Графическое представ- ление колебаний. | на рис.24. Аналитическое представление гармонических колебаний не менее известно: x (t) = A sin (wt + j ) , ( 7-1 ) где j - начальная фаза колебаний, а весь аргумент синуса ( wt + j ) - фаза колебания, А -амплитуда колебаний, а w = 2p/ T - угловая частота колебаний ( Т - период колебаний ). |
х(t)Наконец, в векторном представлении колебание представляется в виде вектора,
| w j Рис.25. Векторное пред- ставление колебаний. | длина которого пропорциональна амплитуде колебаний (см. рис 25). Сам вектор вращается в плоскости чертежа с угловой скоростью w вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости и проходящей через начало вектора колебания. Первоначальное отклонение вектора от горизонтали изображает начальную фазу колебания. Этот вид представления колебаний особенно |
Аудобен для сложения колебаний, когда результирующее колебание находится как векторная сумма всех слагаемых, и будет использоваться во всем курсе.
§ 7-2. Сложение гармонических колебаний.
Наиболее простым примером является сложение двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты, каждое из которые можно
| A2 j2-j1 j j2 A1 j1 x1 x2 Рис.26. Сложение двух колебаний. | представить в аналитическом виде x1(t) = A1sin (wt + j1) и x2(t) = A2 sin (wt + j2) и векторном виде - см. рис.26. Поскольку оба слагаемых вращаются с одинаковой ча-стотой, суммарный вектор также вращается с этой же частотой, т.е. результатом суммы x1(t) и x2(t) будет гар-моническое колебание той же частоты, амплитуда кото-рого находится как диагональ параллелограмма АS, |
AS построенного на векторах А1 и А2:
; ( 7-2 )
разность j2-j1 определяется из рисунка 26. Величина начальной фазы j результирующего колебания определяется из величины тангенса этого угла:
,
где АS y и АS х представляют собой проекции амплитуды суммарного колебания на оси Y и X соответственно. Как следует из рисунка, значение АS х равно сумме проекций на ось Х каждого из слагаемых колебаний:
АS х = Х2 + Х1 = А2 cos j2 + A1 cos j1 . ( 7-3 )
Аналогичное выражение может быть получено и для суммарной проекции на ось Y ( для простоты Y - проекции на рис.26 не показаны):
АS y = Y2 + Y1 = A2 sin j2 + A1 sin j1 . ( 7-4 )
Тогда
. ( 7-5 )
Таким образом определены основные параметры суммарного колебания: амплитуда, частота и начальная фаза. Несколько сложнее найти сумму двух колебаний, если их частоты отличаются друг от друга. Практически интересным является случай, когда это различие незначительно, т.е. w1= w0 + W и w2 = w0 - W, причем W<< w0 . Пусть для простоты амплитуды обоих колебаний и их начальные фазы одинаковы. Тогда x1(t) = Asin(w0 + W)t и x2(t) = Asin(w0 - W)t . Суммируя эти выражения, получим
x1(t)+ x2(t) = A{sin(w0 + W)t + sin(w0 - W)t} = [2AcosWt] sin w0t, ( 7-6 )
| Рис.27. Биения. | где величину, стоящую в квадратных скоб-ках, можно рассматривать как медленно ме-няющуюся амплитуду. Результат суммы таких колебаний, представленный на рис.27 , называется биениями. Примером биений является известное «завывание» двигателей многомоторных самолетов, при условии их грамотной технической эксплуатации. Если |
амплитуды слагаемых колебаний неодинаковы, то картина наблюдающихся бие-
| Рис.28. Сумма колебаний с близкими | ний отличается от предыдущей, т.к. те- нием времени. (рис.28). |
§ 7-3. Сложение перпендикулярных колебаний.
Пусть имеются два гармонических колебания одинаковой частоты, направления колебаний которых взаимно перпендикулярны друг другу. Выберем начало
| Рис.29. Результат сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний оди- наковой частоты. | отсчета времени так, чтобы начальная фаза одного из колебаний была равна нулю. При таком условии колебания можно записать так: x = a sin wt , y = b sin(wt + j), где величина j представляет разность фаз обоих колебаний. Первое уравнение можно переписать так: тогда как второе после преобразования по формуле суммы синусов двух углов принимает вид |
Из первого уравнения следует, что
= ±
. ( 7-9)
Заменяя в уравнении ( 7-8 ) sinwt и coswt их эквивалентами из уравнений ( 7-7 ) и ( 7-9 ) , можно найти:
,
или 
( 7-10 )
Возводя обе части уравнения ( 7-10 ) в квадрат и учитывая, что sin2 j + cos2 j = 1,
получим:
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
